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2020年普通高等学校招生全国统一考试
文 科 数 学（二）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设22i
1i
z -=+，则z =（ ） A ．2
B ．2
C ．5
D ．3
2．设{}
1A x x =>，{}
2
20B x x x =--<，则()
A B =R I ð（ ） A ．{}
1x x >-
B ．{}
11x x -<≤
C ．{}
11x x -<<
D ．{}
12x x <<
3．若1
2
2a =，ln 2b =，1
lg 2
c =，则有（ ） A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c b a >>
D ．b c a >>
4．设a b ，是两个实数，给出下列条件：①1a b +>；②2a b +=；③2a b +>；
④22
2a b +>．其中能推出“a b ，中至少有一个大于1”的条件是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．③
5．已知定义在R 上的偶函数()()e sin x
f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕ<<π）的部分图象如图所示，设0x 为()f x 的极大值点，则0cos x ω=（ ）
A ．
5
5
B ．
25
5
C ．
35
D ．
45
6．从随机编号为0001，0002，L ，1500的1500名参加这次南昌市四校联考期末测试的学生中用系统抽样的方法抽取一个样本进行成绩分析，已知样本中编号最小的两个编号分别为0018，
0068，则样本中最大的编号应该是（ ）
A ．1466
B ．1467
C ．1468
D ．1469
7．已知()()3cos 222sin 3cos 5
αααπ⎛⎫+ ⎪
⎝⎭=π-+-，则tan α=（ ）
A ．6-
B ．23
-
C ．
23
D ．6
8．设向量，，a b c 满足++=0a b c ，()-⊥a b c ，⊥a b ，若1=a ，则2
2
2
++=
a b c （ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
9．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）
A ．5
B ．6
C ．8
D ．13
10．已知双曲线2
2
1mx ny +=与抛物线2
8y x =有共同的焦点F ，且点F 到双曲线渐近线的距离
等于1，则双曲线的方程为（ ）
A ．2
213
x y -= B ．2
213
y x -= C ．2
215x y -= D ．2
2
15
y x -= 此
卷
只
装
订
不
密
封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
11．在ABC △中，角,A B C ，所对的边分别为a b c ，，，6A =π，4
B =π
，a =b =（ ） A
．B
C
．D
．
12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在原点，焦点12F F ，在x
轴上，离心率为2
， 过1F 的直线l 交椭圆于A B ，两点，且2ABF △的周长为16，则椭圆C 的方程为（ ）
A ．22
184
x y += B ．
22
1164
x y
+= C ．
22
1816
x y += D ．
22
1168
x y +=
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数ln y x x =+在1x =处的切线方程是 ． 14．若数列{}n a 满足：11a =，11
2
n n a a +=（*n ∈N ），则n S = ． 15
4cos 102sin10=︒-︒
． 16．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面正方形ABCD 内（不包括边界），若1B P ∥平面1A BM ，则1C P 长度的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：
[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方
图．
（1）求a 的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的22⨯列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性
别有关”？
参考公式及数据：()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -
=++++，n a b c d =+
+
+．
18．（12分）等差数列{}n a 的首项为23，公差为整数，且第6项为正数，从第7项起为负数， 求此数列的公差d 及前n 项和n S ．
19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，2DC =，2AD =，
2AB =，90DAB ADC ∠=∠=︒
，PB =PDC △为等边三角形．
（1）证明：PD BC ⊥； （2）求点B 到平面PCD 的距离．
20．（12分）已知函数()()1
2ln 2f x a x ax x
=-++（0a <）． （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若对任意的()3,2a ∈--，1x ，[]12,1,3x x ∈，()()()12ln32ln3m a f x f x +->-恒成立，求实数m 的取值范围．
21．（12分）已知圆()2
21:232F x y ++=，点()22,0F ，点Q 在圆1F 上运动，2QF 的垂直平分线交1QF 于点P ．
（1）求证12PF PF +为定值及求动点P 的轨迹M 的方程；
（2）不在x 轴上的A 点为M 上任意一点，B 与A 关于原点O 对称，直线2BF 交椭圆于另外一点
D ．求证：直线DA 与直线DB 的斜率的乘积为定值，并求出该定值．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系xOy 中，直线1C
的参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（其中t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2
cos 3sin ρθθ=． （1）求1C 和2C 的直角坐标方程；
（2）设点()0,2P ，直线1C 交曲线2C 于M ，N 两点，求2
2
PM PN +的值．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 设x y z ∈R ，，，且1x y z ++=．
（1）求()()()222
111x y z -++++的最小值； （2）若()()()2
2
2
1
213
x y z a -+-+≥-成立，证明：3a ≤-或1a ≥-．。