文科数学押题卷(二)一、选择题：本大题共12小题， 每小题5分， 共60分。
在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{x |x ≤2}， B ＝{0， 1， 2， 3}， 则A ∩B ＝( )A ．{0， 1}B ．{0， 1， 2}C ．{1， 2}D ．{0， 1， 2， 3}2．已知复数z ＝1－2i（1＋i ）2， 则z 的虚部为( )A ．－12B ．12C ．－12iD ．12i3．某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：A ．利润率与人均销售额成正相关关系B ．利润率与人均销售额成负相关关系C ．利润率与人均销售额成正比例函数关系D ．利润率与人均销售额成反比例函数关系4．已知a ＝⎝⎛⎭⎫13π， b ＝⎝⎛⎭⎫1312， c ＝π12， 则下列不等式正确的是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．c >b >a5．已知某空间几何体的三视图如图所示， 其中正视图和侧视图是边长为3的正三角形， 则该几何体的体积为( )A ．πB ．π2 C ．3π8 D ．π46．已知△ABC 的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ， 若cos A ＝－35， cos B ＝45， a＝20， 则c ＝( )A ．10B ．7C ．6D ．5 7．函数f (x )＝ln|x |·sin x 的图象大致为( )A B C D 8．执行如图所示的程序框图， 则输出的k 值为( )A ．4B ．6C ．8D ．109．已知F 1， F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点， B 为C 的短轴的一个端点， 直线BF 1与C 的另一个交点为A ， 若△BAF 2为等腰三角形， 则|AF 1||AF 2|＝( )A ．13B ．12C ．23D ．310．数学中有很多公式都是数学家欧拉(Leonhard Euler)发现的， 它们都叫欧拉公式， 分散在各个数学分支之中， 任意一个凸多面体的顶点数V 、棱数E 、面数F 之间， 都满足关系式V －E ＋F ＝2， 这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”。
若一个凸二十面体的每个面均为三角形， 则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为( )A ．10B ．12C ．15D ．2011．三棱锥S －ABC 中， SA ， SB ， SC 两两垂直， 已知SA ＝a ， SB ＝b ， SC ＝2， 且2a ＋b ＝52， 则此三棱锥的外接球的表面积的最小值为( )A ．21π4B ．17π4C ．4πD ．6π12．已知函数f (x )＝2x ＋log 32＋x 2－x， 若不等式f ⎝⎛⎭⎫1m >3成立， 则实数m 的取值范围是( )A ．(1， ＋∞)B ．(－∞， 1)C ．⎝⎛⎭⎫0，12 D ．⎝⎛⎭⎫12，1 二、填空题：本大题共4小题， 每小题5分， 共20分。
13．设x ， y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x >0y >0x －y ＋1>0x ＋y －3<0， 则z ＝2x －y 的取值范围为________。
14．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形。
谢尔宾斯基三角形是一种分形， 由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出。
具体操作是取一个实心三角形， 沿三角形的三边中点连线， 将它分成4个小三角形， 去掉中间的那一个小三角形后， 对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形， 如图。
现在上述图③中随机选取一个点， 则此点取自阴影部分的概率为________。
15．已知数列{a n }满足a n ＝n n ＋1， 则a 1＋a 222＋a 332＋…＋a 2 0182 0182＝________。
16．已知函数f (x )＝sin x cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ， 把函数f (x )的图象向右平移m (m >0)个单位长度， 得到函数y＝g (x )的图象， 若函数y ＝g (x )的图象关于y 轴对称， 则m 的最小值为________。
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题， 每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题， 考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分。
17．(本小题满分12分)△ABC 的内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ， 已知△ABC 的面积为 32ac cos B ， 且sin A ＝3sin C 。
(1)求角B 的大小；(2)若c ＝2， AC 的中点为D ， 求BD 的长。
18．(本小题满分12分)如图， 四边形ABCD 为平行四边形， 沿BD 将△ABD 折起， 使点A 到达点P 。
(1)点M ， N 分别在线段PC ， PD 上， CD ∥平面BMN ， 试确定M ， N 的位置， 使得平面BMN 平分三棱锥P －BCD 的体积；(2)若AD ＝2AB ， ∠A ＝60°， 平面PBD ⊥平面BCD ， 求证：平面PCD ⊥平面PBD 。
19．(本小题满分12分)近年来，以马拉松为龙头的群众体育运动蓬勃发展，引领了全民健身新时尚。
某城市举办城市马拉松比赛，比赛结束后采用分层抽样的方式随机抽取了100名选手，对选手的(2)为了调查跑全程马拉松比赛是否需要志愿志提供帮助，现对100名选手进行调查，调查结果如下，据此调查，能否有99%附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）(n＝a＋b＋c＋d)。
20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左， 右焦点分别为F 1， F 2， 椭圆上存在一点P 满足PF 1⊥F 1F 2， 且sin ∠F 2PF 1＝45， △F 2PF 1的周长为6。
(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 2作斜率存在且不为零的直线交椭圆于A ， B 两点， 如图， 已知直线l ：x ＝4， 过点A 作l 的垂线交l 于点M ， 连接F 2M ， MB ， 设直线F 2M ， MB 的斜率分别为k 1， k 2， 求证：k 2＝2k 1。
21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2ln x －x ＋1x。
(1)讨论f (x )的单调性；(2)若a >0， b >0， 证明：ab <a －b ln a －ln b <a ＋b2。
(二)选考题：共10分， 请考生在22、23两题中任选一题作答， 如果多做， 则按所做的第一题计分。
22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中， 直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)， 以坐标原点为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C 的极坐标方程为ρ＝8cos θ1－cos2θ。
(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)直线l 与曲线C 交于A ， B 两点， 过点(1， 0)且与l 垂直的直线l ′与曲线C 交于C ， D 两点， 求|AB |＋|CD |的最小值。
23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋2|。
(1)求不等式f (x )≤5的解集；(2)设f (x )的最小值m ， 若a ， b 为正实数， 且2a ＋3b ＝m ， 求证：1a ＋b ＋4a ＋2b>m 。
参考答案与试题解析1．B A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }＝{0， 1， 2}。
故选B 。
2．A z ＝1－2i （1＋i ）2＝1－2i 2i ＝（1－2i ）·i －2＝i ＋2－2＝－1－12i ， 所以虚部为－12。
故选A 。
3．A 画出利润率与人均销售额的散点图， 如图。
由图可知利润率与人均销售额成正相关关系。
故选A 。
4．D 函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在定义域内是减函数， 所以⎝⎛⎭⎫13π<⎝⎛⎭⎫1312<⎝⎛⎭⎫130＝1<π12， 即a <b <c 。
故选D 。
5．C 由三视图可知该几何体是一个圆锥， 其底面半径为32， 高为3×32＝32， 所以圆锥的体积V ＝13π⎝⎛⎭⎫322×32＝3π8。
故选C 。
6．B 由cos A ＝－35， cos B ＝45， 得sin A ＝45， sin B ＝35， 所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×45－35×35＝725。
根据正弦定理， 得a sin A ＝c sin C ， 即2045＝c725， 解得c ＝7。
故选B 。
7．A 由于f (－x )＝ln|－x |·sin(－x )＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数， 图象关于原点对称， 又当0<x <1时， f (x )＝ln x ·sin x <0。
故选A 。
8．C 初始值S ＝100， k ＝0， 第一次循环， S ＝99， k ＝2；第二次循环， S ＝95， k ＝4；第三次循环， S ＝79， k ＝6；第四次循环， S ＝15， k ＝8；第五次循环， S ＝－241， 此时满足S ≤－100， 输出k ＝8。
故选C 。
9．A 如图， 不妨设点B 在y 轴的正半轴上， 根据椭圆的定义， 得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， |AF 1|＋|AF 2|＝2a ， 由题意知|AB |＝|AF 2|， 所以|BF 1|＝|BF 2|＝a ， |AF 1|＝a 2， |AF 2|＝3a 2。
所以|AF 1||AF 2|＝13。
故选A 。
10．B 二十面体的每个面均为三角形， 每条棱都是两个面共用， 所以棱数E ＝20×3×12＝30，面数F ＝20， 顶点数V ＝E －F ＋2＝12。
故选B 。
11．A 由题意， 设三棱锥的外接球的半径为R ， 因为SA ， SB ， SC 两两垂直， 所以以SA ， SB ， SC 为棱构造长方体， 其体对角线即三棱锥的外接球的直径， 因为SA ＝a ， SB ＝b ，SC ＝2， 所以4R 2＝a 2＋b 2＋4＝a 2＋⎝⎛⎭⎫52－2a 2＋4＝5(a －1)2＋214， 所以a ＝1时， (4R 2)min ＝214， 所以三棱锥的外接球的表面积的最小值为21π4。