一.三角形的基础知识
全等三角形
1、全等三角形的对应边相等，对应角相等。
全等三角形对应角的平分线相等。
全等三角形对应边上的高线、中线对应相等。
2、有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“SAS”）。
3、有两多角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA”）。
4、有两角和其中一角的对边相等的两个三角形全等（简写成“AAS”）。
5、有三条边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS”）。
6、有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL”）。
7、在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
8、到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
等腰三角形
1、等腰三角形
有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．
2、等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．
特别的：（1）等腰三角形是轴对称图形.
（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.
3、等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
等边三角形
1、等边三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．
2、等边三角形的性质
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°
3、等边三角形的判定方法
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
三角形中的边角不等关系
（1）在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大.（简称为：大边对大角）
（2）在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大.（简称为：大角对大边）
二.例题
例1. 如图1，已知AB ＝DE ，AB//DE ，AF ＝DC 。
试说明△ABC ≌△DEF 全等的理由。
图1
解：∵AB//DE ∴∠A ＝∠D 又AF ＝DC
∴AF ＋FC ＝FC ＋DC 即AC ＝DF
在△ABC 和△DEF 中，
⎪⎩⎪⎨⎧∠∠=（已证）
＝（已证）＝（已知）DF AC D
A DE A
B )(SAS DEF AB
C ∆≅∆∴
例2. 已知如图2，在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 边上的高，在BE 的延长线上截取BM ＝AC ，在CF 的延长线上截取CN ＝AB ，请说明：（1）AM ＝AN 。
（2）AM ⊥AN 。
图2
解：（1）∵BE ，CF 为△ABC 的两条高。
∴∠AFC ＝∠AEB ＝90°（垂直定义）
∴∠BAC ＋∠ABE ＝∠BAC ＋∠ACF ＝90°
即ACF ABE ∠=∠
在△ABM 和△NCA 中，
⎪⎩⎪⎨⎧∠∠=（已知）
＝（已证）＝（已知）AC MB ACF
ABE AC AB
∆
∴
≅
ABM∆
(SAS
NCA
)
∴AN
AM=（全等三角形对应边相等）
BAM
=
∠（全等三角形对应角相等）
N∠
（2）︒
NAF
∠90
N
+
=
∠
∴∠BAM＋∠NAF＝90°
∴∠NAM＝90°
即AM⊥AN。
例3.已知如图3中，AB＝AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE ＝CF，EF交BC于点D，
图3
求证：DE＝DF。
证法1：过点E作EG//AF交BC于点G，所以∠1＝∠2，
所以∠EGD=∠DCF，又因为AB=AC，所以∠B=∠2，
所以∠1=∠B，故BE=EG，又因为BE=CF，
所以EG=CF，于是△DEG和△DFC中∠3=∠4，∠EGD=∠DCF，GE=CF。
故△DEG≌△DFC，所以DE=DF。
证法2：如图4，过点F作FM//BA交BC延长线于点M，所以∠B=∠M，因为AB=AC，所以∠B=∠1。
图4
所以∠1=∠M，∠1=∠2，所以∠M=∠2，故CF=MF
又因为BE=CF，所以BE=MF
在△EBD和△FMD中∠B=∠M，∠3=∠4，BE=MF
所以△EBD≌△FMD，故ED=DF
证法3：如图5，过点E作EG⊥BC于点G，过F作FH⊥BC交BC的延长线于点H
图5
所以∠EGB=∠H=∠EGD=90°
因为AB=AC ，所以∠B=∠3
因为∠3=∠4，所以∠B=∠4，
在△EBG 和△FCH 中，∠EGB=∠H ，∠B=∠4，BE=CF
所以△EBG ≌△FCH ，所以EG=FH ，
又因为∠EGD=∠H ，∠1=∠2，
所以△EGD ≌△FHD ，故ED=DF
例4. 如图6，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB+BD=AC ，
图6
求证：∠B ：∠C 的值。
解：延长AB 到M ，使AM=AC ，连结DM 。
因为AC=AB+BD ，所以AM=AB+BD=AB+BM ，
所以BM=BD ，即∠M=∠BDM ，
因为AM=AC ，∠1=∠2，AD=AD ，
所以△AMD ≌△ACD 。
所以∠M=∠C ，
所以∠ABC=2∠M=2∠C ，即有∠ABC ：∠C=2：1
三.家庭作业
1.如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O. 求证：(1)BC=DE ；(2) OB ＝OE .
O C E B D A
2.如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=900, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、C 在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E 。
(1)试说明: BD=DE+CE.
(2) 若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD<CE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的关系如何? 直接写结论,可不说明理由。
(3) 若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的关系如何? 直接写结论,可不说明理由。