四川大学2003高等代数考研
09
川大高代
一、1.()2008()f x F f x 是数域上的次多项式,证明的根
2.用代数基本定理证明R 上的不可约多项式只有一次多项式或者满足
2240:b ac ax bx c −<++的二次多项式
3.不用hamilton-calay 定理证明对数域F 上的n 阶矩阵A ,存在F 上的多项式
()()0f x f A =使得
4.设
212322
2
1
23213312()321,())))
f x x x f x αααααααααααα=+++++,,是的三个根,求值
(((
二、1.叙述并证明线性方程组的Grammer 法则 2.F,K 是数域且
,F K A F F ββ⊆是中矩阵,是中向量,证明A x =在F 中有解当且仅当它在K 中有解
3.222214241A −
=− −−
大概数字是这样吧,具体忘了
1(X)=X AX,(X)A F f f ′()在上是否相似与对角矩阵,说明理由(2)求A 的最小多项式
(3)
求的一个标准形
4.好像是前几年的一个类似题吧,说明A 与B 在任何数域上都不相似,另一问忘记了,这些忘记的题一般都不难,掌握方法都很简单的。
呵呵 三、设1():0
{()},n A n A A M F A T X M F A XA X V T −∈≠=∈==∩
,即V 是所有可逆矩阵构造出来
的A T 的交,求dimV 和V 的一组基。
四
、
21210
20000
,{()0},(),,!00k X
r r r k r X M E B X M F X M MX X M F e k E
∞
++=
′==∈+=∀∈=
∑
X X X (1)det(e )1
(3)(,)(0,...,1,...0),1,2,..,2 1.(e ,e )(,)
i
B i r M εαβαβαβ===+=i 求的维数和一组基(2)证明设是F 上的一个双线性型,是这个双线性型在上述基下的一个度量矩阵,证明对任意的,有
五、证明数域F 上的任意一个n 元多项式都可以表示成一次齐次多项式幂的线性组合。
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四川大学2011年硕士研究生考试——高等代数
一、
1、设V 是数域上的维空间,F n (1)i V i s α∈≤≤,1i i i
i s W k k α≤≤⎧
⎫
=∈⎨
⎬⎩⎭
∑F ,证明:W 是的子空间;
V 2、设是数域上的2阶方阵组成的线性空间,V 是由如下四个矩阵生成的的子空间:,,()2M F 1A F 1420()2M F −⎛⎞=⎜
⎟⎝⎠25103A ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠3A 3214−⎛⎞
=⎜⎟
−⎝⎠
, 42945A −⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠(1)求和V 的一个基;
()dim V (2)映射为::f V →F ()()f A tr A =(其中()tr A 是矩阵的迹),
A {}ker ()0f A V f A =∈=,求()dim ker f 并写出ker f 的一个基。
二、设数域满足
,F S ⊂F S 1、设是上n 维列向量,则()1i i s α≤≤F ()1i i s α≤≤在上线性相关的充要条件是
F (1i i s α≤≤)在S 上线性相关;
2、设,则在上相似的充要条件是在相似;
,n n
A B ×∈F
,A B F ,A B S 3、设()f x 为上的n 次多项式,F ()f x 在S 上有n 个根()1i x i n ≤≤,则
()
2
1i
j
i j n
x x ≤<≤−∈∏F ;
4、证明:S 关于数的加法、乘法是在数域上的线性空间。
F
三、设为任意可逆矩阵,列举至少四种求A 1
A −的方法。
四、设()1
21p p f x x
x x −−=++++L ,其中p 为素数
1、证明:()f x 在数域上不可约;
2、令(){}
()0n M A M f A =∈= ,其中()n M 是复数域上的阶方阵组成的集合,如下将n M 中元素分类:若存在中可逆矩阵使()n M D 1
A DBD −=,则同类,问:,A
B M 中
矩阵可以分成几类?
五、设V 是数域上的n 维线性空间,F ()End V 是上的全体线性变换组成的线性空间 V 1、求()dim End V 及()End V 的一个基; 2、设()A End V ∈且的特征多项式为A ()f x
(1)证明:如果V 可分解为非平凡的-不变子空间的直和,则A ()f x 在可约; F (2)上述命题的逆命题成立与否,说明理由。
六、设V 是维欧氏空间,内积为n (
),
1、若是V 中一个线性无关组,证明:V 中存在两两正交的使 (1i i s α≤≤)()1i i s β≤≤对任意1,有与k s ≤≤()1i i k α≤≤()1i i k β≤≤等价;
2、设,证明:(1i V i t γ∈≤≤))(1i i t γ≤≤线性无关的充要条件是()(()()1111
,,,,t t t )t γγγγγγγ⎛⎞
⎜
⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠L M L
M
L γ是正定矩阵。
七、设()2,A B M ∈ (二阶实方阵)
,0AB BA +=且2
2
A B E ==(单位矩阵),证明: 存在可逆矩阵使()
2T M ∈
1
1001T AT −⎛⎞=⎜
⎟−⎝⎠(可能是)且。
1
1001TAT −⎛⎞=⎜−⎝⎠
⎟10110T BT −⎛⎞
=⎜⎟⎝⎠
八、求矩阵X 使。
4
300031000X ⎛⎞
⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠。