南开大学 2014 年硕士研究生入学考试试题
学 院：011 陈省身数学研究所、012 数学科学学院
考试科目：802 高等代数
专 业：基础数学、计算数学、概率论与数理统计、
应用数学、★生物信息学
a11 a12 ⋯ a1n
一． 设 n 阶行列式 det=
a21 ⋮
a22 ⋮
… ⋱
a2n ⋮
=1，且满足
an1 an2 … ann
九．A,B 都是反对称矩阵，且 A 可逆。求证：∣A2 − B∣＞ 0.
aij = −aji ， i，j=1,2，…，n.对任意 x，求 n 阶行列式
a11 + x a12 + x ⋯ a1n + x
det
a21 + x ⋮
a22 + x ⋮
⋯ ⋱
a2n + x ⋮
an1 + x an2 + x ⋯ ann + x
二．已知向量α1 ，α2，β1，β2，β3。V1是由α1 ，α2组成，V2
七．设σ，τ为线性变换且σ 有n 个不同的特征值。证明：若 στ = τσ 则 τ可由 I，σ，σ2，…，σn−1线性表出。其中 I 为 恒等变换。
八．f(x)是 A 的特征多项式。存在互素且次数分别为 p，q 的多项式 g（x），h（x）且 f（x）=g（x）h（x）。求证：秩 g（A）=q，秩 h（A）=p。
由β1 ， β2， β3组成。 求 V1 +V2 和 V1 ∩V2 的维数和 一组基 。
110 三．A= 0 0 1
0 −1 0
（1）证明A2014 =−A2012 + A2 + E
(2)求A2014
0? ?
10 0
四．已知矩阵 A= ? x 0 0 10
（1）求 x，y
（2）求正交矩阵 T 使T−1AT=B
五．设 A 为 s×n 矩阵。证明 s-秩（Es -AA′）= n-秩（En -A′A）
六．设 A 为对称矩阵，存在线性无关的向量X1，X2使X1′AX1＞ 0 ， X2′AX2 ＜ 0 ， 证 明 ： 存 在 线 性 无 关 的 向 量 X3，X4 使 X1，X2，X3，X4线性相关，且X3′AX3 = X4′AX4 = 0.