线段与角的动点问题1 如图，射线0M上有三点A、B、C,满足OA = 20cm, AB= 60cm, BC= 10cm (如图所示)，点P从点O出发，沿OM方向以1cm/秒的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动(点Q运动到点O时停止运动)，两点同时出发.(1)当P运动到线段AB上且PA= 2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段OC的三等分点，求点Q的运动速度；(2)若点Q运动速度为3cm/秒，经过多长时间P、Q两点相距70cm?【解答】解：(1) P在线段AB上，由PA = 2PB及AB = 60,可求得PA = 40, OP = 60,故点P运动时间为60秒.60 十60 = 1 (cm/s).(2)设运动时间为t秒，贝U t+3t = 90± 70,解得t= 5或40,•••点Q运动到O点时停止运动，•••点Q最多运动30秒，当点Q运动30秒到点O时PQ = OP= 30cm，之后点P继续运动40秒，则PQ = OP= 70cm，此时t= 70 秒，故经过5秒或70秒两点相距70cm.2.如图，直线I上依次有三个点O, A, B, OA= 40cm, OB= 160cm.(1)若点P从点O出发，沿OA方向以4cm/s的速度匀速运动，点Q从点B出发，沿BO方向匀速运动，两点同时出发①若点Q运动速度为1cm/s,则经过t秒后P, Q两点之间的距离为1160 —5t| cm (用含t的式子表示)②若点Q运动到恰好是线段AB的中点位置时，点P恰好满足PA= 2PB,求点Q的运动速度.(2)若两点P, Q分别在线段OA, AB 上,分别取OQ和BP的中点M , N，求：的值.0A B【解答】解：(1)①依题意得，PQ= |160 - 5t|;若CQ=^OC 时, CQ= 30,点Q的运动速度为30 - 60=二(cm/s);2若OQ = CQ = 60,点Q的运动速度为故答案是：|160-5t|;②如图 1 所示：4t - 40= 2 ( 160 - 4t )，解得 t = 30 ,如图 2 所示：4t - 40= 2(4t - 160)，解得 t = 7, 则点Q 的运动速度为：旦1=上_ (cm/s );70 7综上所述，点Q 的运动速度为2cm/s 或丄cm/s ;7(2)如图3,两点P , Q 分别在线段 OA , AB 上，分别取OQ 和BP 的中点M , N ,求上 …千—® ----- T --- . —________ 11>占图3 (1)» ■-17 0AQ■P图：, 1■i.图13•如图，射线 OM 上有三点 A 、B 、C ,满足 OA = 60cm , AB = 60cm , BC = 10cm (如图所 示)，点P 从点O 出发，沿OM 方向以1cm/秒的速度匀速运动. (1) 当点P 运动到AB 的中点时，所用的时间为90秒.(2) 若另有一动点 Q 同时从点C 出发在线段CO 上向点O 匀速运动，速度为 3cm/秒，求 经过多长时间 P 、Q 两点相距30cm ?I ----------- 1 ---------------------------- 1 1 -------------------O AB C【解答】 解：(1)当点P 运动到AB 的中点时，点P 运动的路径为60cm+30cm = 90cm ,gn所以点P 运动的时间=〒=90 (秒); 故答案为90;(2)当点P 和点Q 在相遇前，t+30+3t = 60+60+10，解得t = 25 (秒)，则点Q 的运动速度为:的(160- y ) +x(x+y ),当点P和点Q在相遇后，t+3t - 30= 60+60+10，解得t= 40 (秒)，答：经过25秒或40秒时，P、Q两点相距30cm.4. 如图，在数轴上点A表示的数是-3，点B在点A的右侧，且到点A的距离是18;点C 在点A与点B之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍.(1 )点B表示的数是15 ;点C表示的数是 3 ;(2)若点P从点A出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动•设运动时间为t秒，在运动过程中，当t为何值时，点P与点Q之间的距离为6?(3)在(2)的条件下，若点P与点C之间的距离表示为PC,点Q与点B之间的距离表示为QB，在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC+QB= 4?若存在，请求出此时点P 表示的数；若不存在，请说明理由.| ■•鼻A O C B【解答】解：(1)点B表示的数是-3+18 = 15;点C表示的数是-3+18X丄=3.3故答案为：15, 3;(2)点P与点Q相遇前，4t+2t= 18 - 6,解得t= 2;点P与点Q相遇后，4t+2t= 18+6，解得t= 4;(3)假设存在，当点P在点C左侧时，PC = 6 -4t, QB = 2t,•/ PC+QB= 4,••• 6 - 4t+2t= 4,解得t= 1.此时点P表示的数是1 ;当点P在点C右侧时，PC = 4t - 6, QB = 2t,•/ PC+QB= 4, • 4t - 6+2t= 4，解得t =殳.3此时点P表示的数是—.综上所述，在运动过程中存在PC+QB= 4，此时点P表示的数为1或 .5. 将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O.(2)如图①，你发现/ AOD与/ BOC的大小有何关系？/ AOB与/ DOC有何关系？直接写出你发现的结论.(3)如图②，当△ AOC与厶BOD没有重合部分时，(2)中你发现的结论是否还仍然成立，请说明理由.【解答】解：(1)Z AOD = Z BOC = 155°- 90°= 65°,/ DOC =Z BOD -Z BOC= 90°- 65°= 25°;(2)Z AOD = Z BOC,Z AOB + Z DOC = 180°;(3)Z AOB+Z COD + Z AOC+Z BOD = 360° ,vZ AOC = Z BOD = 90°,•••Z AOB+Z DOC = 180°.6. 以直线AB上点O为端点作射线OC,使Z BOC = 60°,将直角△ DOE的直角顶点放在点O处.(1)如图1,若直角△ DOE的边OD放在射线OB上，则Z COE = 30°;(2)如图2,将直角△ DOE绕点O按逆时针方向转动，使得OE平分Z AOC ,说明OD所在射线是Z BOC的平分线；(3)如图3,将直角△ DOE绕点O按逆时针方向转动，使得Z COD =—Z AOE.求Z BOD的度数.又vZ COB= 60°,•••/ COE = 30°,故答案为：30°;(2 )T OE 平分/ AOC ,•••/ COE = Z AOE = — COA,2•••/ EOD = 90°,•••/ AOE+Z DOB = 90°,/ COE+ / COD = 90 ° ,•••/ COD = / DOB ,•OD所在射线是/ BOC的平分线；(3)设/ COD = x°，则/ AOE = 5x°,•// DOE = 90°,/ BOC = 60°,•- 6x = 30 或5x+90 - x= 120•- x= 5 或7.5,即/ COD = 5° 或7.5°•/ BOD = 65° 或52.5°.7. 如图1,点O为直线AB上一点，过点O作射线OC,使/ BOC = 130°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方.(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2,使一边OM在/ BOC的内部，且恰好平分/BOC,问：此时直线ON是否平分/ AOC ?请直接写出结论：直线ON 平分 (平分或不平分)/ AOC .(2)将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角/ AOC，则t的值为13或49 .(直接写出结果)(3)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转，请探究：当ON始终在/ AOC的内部时(如图3) , / AOM与/ NOC的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明.【解答】解：（1）平分，理由：延长NO到D ,•••/ MON = 90°「./ MOD = 90°•••/ MOB+ / NOB= 90°,/ MOC + / COD = 90 ° ,•••/ MOB = Z MOC ,•••/ NOB = Z COD ,•••/ NOB = Z AOD ,•••/ COD = Z AOD ,•直线NO平分/ AOC ;(2)分两种情况：①如图2,•••/ BOC = 130°•••/ AOC = 50°,当直线ON恰好平分锐角/ AOC时，/ AOD = Z COD = 25°,•••/ BON = 25°,/ BOM = 65°,即逆时针旋转的角度为65 °,由题意得，5t = 65°解得t= 13 ( s);②如图3，当NO平分/ AOC时，/ NOA = 25°,•••/ AOM = 65°,即逆时针旋转的角度为：180° +65 ° = 245 ° ,由题意得，5t = 245 ° ,解得t= 49 ( s),综上所述，t= 13s或49s时，直线ON恰好平分锐角/ AOC ;(3)Z AOM -Z NOC = 40理由：T Z AOM = 90 °-Z AON Z NOC = 50°-Z AON , •••Z AOM -Z NOC=(90°-Z AON)9. 已知Z AOC = 40°,Z BOD = 30°,Z AOC和Z BOD均可绕点O进行旋转，点M , O, N在同一条直线上，OP是Z COD的平分线.(1)如图1,当点A与点M重合，点B与点N重合，且射线OC和射线OD在直线MN的同侧时，求Z BOP的余角的度数；(2)在(1 )的基础上，若Z BOD从ON处开始绕点O逆时针方向旋转，转速为5° /s，同时ZAOC从OM处开始绕点O逆时针方向旋转，转速为3° /s,如图2所示，当旋转6s 时，求Z DOP的度数.【解答】解：(1)T Z AOC = 40°,Z BOD = 30°,•Z COD = 180° - 40°- 30°= 110°,•/ OP是Z COD的平分线，•Z DOP = —Z COD = 55°,2•Z BOP = 85°,•Z BOP的余角的度数为5 ° ;(2) Z DOP 的度数为49°,旋转6s 时，Z MOA = 3X 6° = 18°, Z NOB = 5X 6° = 30°,•Z COM = 22°,Z DON = 60° ,•Z COD = 180° -Z COM -Z DON = 98°,•/ OP是Z COD的平分线，•Z DOP = —Z COD = 49°.210. 如图1,点O为直线AB上一点，过点O作射线OC,将一直角三角形的直角顶点放在50°-Z AON)点0处，一边 0M 在射线0B 上，另一边 ON 在直线AB 的下方.(1) 将图1中的三角板绕点 0逆时针旋转至图2,使一边0M 在/ BOC 的内部，且恰好平 分/ B0C ，问：直线 0N 是否平分/ A0C ?请说明理由；(2) 若/ B0C = 120°.将图1中的三角板绕点 0按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周， 在旋转的过程中，第t 秒时，直线0N 恰好平分锐角/ A0C ,则t 的值为 10或40 (直 接写出结果)；(3) 在(2)的条件下，将图1中的三角板绕点 0顺时针旋转至图3，使0N 在/ A0C 的 内部，请探究：/ A0M 与/ N0C 之间的数量关系，并说明理由.【解答】 解：(1)直线0N 平分/ A0C .理由如下：•••/ A0C = 60°, •••/ B0N = Z C0D = 30°,即旋转60°时0N 平分/ A0C , 由题意得，6t = 60°或240 °,• t = 10 或 40;(3) •••/ M0N = 90°,/ A0C = 60°,•••/ A0M = 90°-/ A0N 、/ N0C = 60°-/ A0N ,• / A0M -/ N0C =( 90°-/ A0N )-(60°-/ A0N )= 30°.即/ A0M = / N0C+30°.11. 如图1,点0为直线AB 上一点，过点 0作射线0C ,使/ A0C ：/ B0C = 2 : 1,将一设0N 的反向延长线为0D , •/ 0M 平分/ B0C ,•••/ M0C = Z M0B ,又••• 0M 丄 0N ,•••/ M0D = Z M0N = 90°, •••/ C0D = Z B0N ,又•••/ A0D = Z B0N ,•••/ C0D = Z A0D ,•••0D 平分/ A0C ,即直线0N 平分/ A0C .(2)•••/ B0C = 120°直角三角板的直角顶点放在点0 处，一边0N 在第9页(1) 将图1中的三角板绕点O 按顺时针方向旋转至图 2的位置，使得OM 落在射线OA 上, 此时ON 旋转的角度为 90 ° ;(2)继续将图2中的三角板绕点 O 按顺时针方向旋转至图 3的位置，使得 OM 在/ BOC 的内部，则/ BON -Z COM = 30 ° ; (3)在上述直角三角板从图 1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点O 按每秒钟15 ° 的速度旋转，当 OM 恰为Z BOC 的平分线时，此时，三角板绕点O 的运动时间为(24n+16) 秒，简要说明理由.【解答】 解：(1)如图2,依题意知，旋转角是Z MON ，且Z MON = 90°. 故填：90;(2) 如图 3,Z AOC :Z BOC = 2: 1 ,•••Z AOC = 120°,Z BOC = 60°,vZ BON = 90°-Z BOM , Z COM = 60°-Z BOM , • Z BON -Z COM = 90°-Z BOM - 60° + Z BOM = 30°,故填：30;(3) 16秒.理由如下：如图4.v 点 O 为直线 AB 上一点，Z AOC : Z BOC = 2: 1,• Z AOC = 120° ,Z BOC = 60°.•/ OM 恰为Z BOC 的平分线，• Z COM '= 30°.• Z AOM + Z AOC+ Z COM '= 240 °. v •三角板绕点O 按每秒钟15 °的速度旋转，•三角板绕点O 的运动最短时间为：学=16 (秒).射线OA 上,15•三角板绕点O的运动时间为(24n+16) (n是整数)秒. 故填：(24n +16).第9页。