µ
铝板中的涡流分布
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4. Conclusion
有限元法用于电磁问题的分析已有30多年的 历史，并在工程中得到了广泛的应用，各种商业 软件也纷纷涌现，然而新的问题和挑战依然存在。 例如：含运动导体的电磁问题、耦合场(机械、 电磁、温度、流体)、并行计算(大规模问题)等， 尚不能够很好解决，需要广大研究者们进一步努 力和完善。
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1.2 电磁场理论
Maxwell方程组由Faraday定律、Ampere定 律、两个Gauss定律一共4个方程构成的偏微分方 程组，加上介质中的本构方程，以及两种媒质交 界面的边界条件，还有Lorentz力公式，这些简洁 的公式几乎可以解释所有的电磁现象。 我们的任务就是在各类工程电磁问题中尽可 能精确地求解这些方程：
N= α i + βi x i
由形函数的性质可知：
1 Ni = 0
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x = xi x = xi +1
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1 α i + βi xi = 0 α i + βi xi +1 =
将α i 和 βi 代入形函数 Ni 的表达式即可求得 Ni 。
四、整体系数矩阵
应用有限元法求解导出的矩阵方程可写为：
1.1 数值计算
——自然界中的每一现象都可借助物理定律，按照与各种主 要量相联系的代数方程、微分方程或积分方程来描述。 ——在科学研究及工程应用中，人们主要关心的量便是某个 数学物理方程的解，包括解析解和数值解。 ——数值计算是研究各种数学问题的数值方法设计、分析、 有关的数学理论和具体实现的一门学科。
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有限元法的理论基础 (简单示例)
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一、回顾
1、有限元计算的方法 加权余量法中的迦辽金法和变分法中的里兹法。 2、有限元法的处理思想 对一个整体问题进行局部化处理； 微分方程简化为求解代数方程组。 3、有限元法的特点 优点、缺点
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FEM的基本思想是分片插值，即： ——将连续的求解区域离散为一组有限个、且按 一定方式相互联结在一起的单元的组合体； ——利用每个单元内假设的近似函数来分片表示 全求解域上待求的未知场函数； ——单元内的近似函数通常由未知场函数及其导 数在单元的各个节点的数值及其插值函数来表达； 这样未知函数从一个连续的无限自由度问题 变成离散的有限自由度问题。随着单元数目的增 加，单元尺寸的缩小，或单元自由度的增加及插 值函数阶数的提高，近似解将收敛于精确解。
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3. Applications
3.1 应用实例1——准静电场 ∇ 2ϕ = 0
架空线路分裂导线表面电场
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−µ J 3.2 应用实例2——静磁场 ∇ 2 A =
漏磁检测
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3.3 应用实例3——趋肤效应
I − jωσ A + jω dS + = 0 A ∇ ⋅ ∇A z z z a ∫S a µ 1
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二、节点与单元
对于一维问题来说，单元的形状是一条线段。
图1 一维问题的节点和单元
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一阶单元
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二阶单元 电气工程学院
均压球剖分图
电容芯子三维剖分图
电容芯子二维剖分图
整体剖分图
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三、一维单元的形函数
1、一维单元形函数的定义 形函数代表了单元上近似解的一种插值关系， 它决定了近似解在单元上的形状； 对于一维有限元来说，形函数分段线性。对于 一维一阶有限元来说，形函数为一个直线段，对于 一维高阶有限元来说，形函数为一个曲线段； 选择形函数时，可以使一个任意单元上的形函 数只与该单元所对应的节点势函数有关而与其它各 点的值无关；
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边界元法(Boundary Element Method—BEM) 是在经典边界积分方程法基础上，吸收了FEM离散 化技术而建立起来的一种数值计算方法。电磁场的 积分方程法由C. W. Trowbridge于1972年提出， 1978年C. A. Brebbia在其著作《The boundary element method for engineers》中，首次使用了 “边界单元法”术语，总结形成了该方法的理论体 系。1979年，Lean Friedman和Wexler用“边界元 法”这个名称系统地介绍了该方法在各种电磁场分 析中的应用。
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2.2 有限元软件
ANSYS由美国ANSYS公司开发，是融结构、流 体、电场、磁场、声场分析于一体的大型通用有限 元分析软件。其电磁场分析包括几个模块：低频、 高频、电大尺寸高频(MOM)、电缆束电磁兼容性 (EMC)和信号完整性(SI)、PCB的EMC和SI等。它能 与多数CAD软件接口，实现数据的共享和交换，如 Pro/Engineer、AutoCAD、Solidworks等。 ANSOFT公司的Maxwell 2D&3D、HFSS、飞箭 公司的FEPG、COMSOL公司的FEMLAB等等，它 们各有特点。
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对于任意一个节点的形函数在该节点上的值为 1，并在与该节点相邻的两个单元上线性减小，直 到在相邻的节点时分别减小为0。 任意一个节点的形函数如图2所示。
图2 对应于某节点的形函数
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2、形函数表达式中系数的确定
任意一个一维单元有两个节点： xi 和 xi +1 ，这 两个节点上的电势分别为 φi 和 φi +1 ，它们为选定的 未知量。 对于一维一阶有限元来说，其形函数可表示为：
[ K ][φ ] = [ f ]
[ K ] 为 n × n 阶系数矩阵， [φ ] 为 n ×1 阶节点势 其中， 函数矩阵， [ f ] 为 n ×1 阶激励矩阵。
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∂B ∇× E = − ∂t ∂D ∇ × H= J + ∂t ∇⋅ D =ρ ∇ ⋅ B =0
D =εE B = µH J =σE
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n × ( E1 − E2 ) = 0 n × ( H1 − H 2 ) = Js n ⋅ ( D1 − D2 ) = ρs n ⋅ ( B1 − B2 ) = 0
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BEM具有计算过程简单、通用性强，适用于求解开域场， 可实现对求解问题的降维等优点。BEM较FEM的优点具体有： (1) 降低问题维数； (2) 一阶导数求解精度更高； (3) 适合处理开域问题。 BEM较FEM不足之处具体有： (1) 形成的方程组系数矩阵为非对称满阵，不易求解； (2) 存在奇异积分问题； (3) 不易处理多种媒质共存的情况； (4) 不易处理非线性问题。
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FEM求解对象是区域内的微分方程，因此需对整个场域进行离 散，即剖分整个求解区域，可通过调整单元的剖分密度和单元插值 函数等来提高数值计算精度。FEM突出优点是形成的方程组系数矩 阵具有正定、稀疏等特点，易于存储与求解、收敛性好、占用计算 机内存也较少。因不同媒质分界面自动满足边界条件，不必单独处 理，因此FEM适用于求解多种媒质共存的复杂问题，且可有效处理 复杂几何结构，也可方便地处理非线性介质特性等。 FEM的主要缺点是对于形状结构尺寸复杂的三维电磁计算问题， 由于其变量多和剖分要求细往往因计算机内存而受限制，特别是包 含开域空间情况，采用FEM处理开域问题时，最为简单做法是人工 截断边界，这会引起一定的误差，为减小误差，不得不人为将计算 区域取得很大，其建模及求解受计算量限制而变得比较困难，通常 需要专门的边界条件处理方法，如渐进边界条件等。
电磁场数值计算及其在电气 工程中的应用
武汉大学电气工程学院 王军华 二〇一四年十月
1. What ?
电磁场问题的求解方法主要有图解法(Graphical Methods)、模拟法(Analogue Methods)、解析法 (Analytical Methods)和数值分析法(Numerical Analysis Method)。
F = qE + qv × B
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1.3 工程应用
电磁场数值计算在多个工程领域中都得到应用， 例如： ——电力系统：高压(高压输电线路、绝缘子)、电机、 变压器、电缆等； ——电子与微波：高速PCB、波导、谐振腔、辐射、 天线等； ——相关领域：感应加热、无损检测、电磁成形、 电磁生物效应等。
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FEM相比其它数值方法的优点在于： ——理论基础成熟； ——计算格式规范统一，利于编程； ——适应性高，适合各种复杂形状的区域； ——求解精度高。 由于这些优异的特性，在短短几十年时间里， FEM成为了绝大多数物理和工程问题中(机械、航 空、汽车、船舶、土木、海洋工程、电气电子、 压力容器等)应用最广泛的一种计算机辅助分析方 法。
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——单元内的近似函数通常由未知场函数及其导数在单元的 各个节点的数值及其插值函数来表达； 这样未知函数从一个连续的无限自由度问题变成离散的 有限自由度问题。随着单元数目的增加，单元尺寸的缩小， 或单元自由度的增加及插值函数阶数的提高，近似解将收敛 于精确解。 由于具有优异的特性，在短短几十年时间里，FEM成为 了绝大多数物理和工程问题中(机械、航空、汽车、船舶、土 木、海洋工程、电气电子、压力容器等)应用最广泛的一种计 算机辅助分析方法。
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2. How ?
2.1 电磁场数值计算方法
随着计算机技术的飞速发展，电磁场数值计算方法出现 并快速发展，比较常用的有模拟电荷法(Charge Simulation Method—CSM)、有限差分法(Finite Difference Method— FDM)、有限元法(Finite Element Method—FEM)、边界元 法(Boundary Element Method—BEM)、有限体积法 (Finite Volume Method—FVM)、矩量法(Moment Method—MoM)等、以及这些方法的相互耦合或与其他数值 计算方法的结合等，可满足工程设计和科学研究对电磁场问 题精确分析的需要。