它表示电场的势能。因此泛函极值问题表达了电场的分布 要符合这样的一种原则：整个电场的势能达到最小。这称 为静电场的Thomson原理，与光学中的Ferma原理、粒子动 力学的Hamilton原理齐名。
作业：
利用Galerkin法求解常微分方程边值问题
d 2u L(u ) 2 u x dx u (0) u (1) 0
(wi , R) wi [ L(u ) f ] d 0 (i 1, 2, , n)

设L为线性算子，代入 u ii ，得
i 1
n

或 记

wi [ L( j j ) f ] d wi [ j L( j ) f ] d 0
j 1 j 1
求解方程可以确定系数 ai 。

逼近曲线严格通过采样点。

方程个数与未知数个数相等；
基函数线性无关，保证方程有 唯一的解。
插值

已知函数若干采样点的 逼近(2) — 拟合
i 若选用多项式基底{ x } ，构
造逼近函数：
p( x) a0 a1 x
令 p(x) 满足：
p( x j ) f j ( j 1, 2, , 7)
n 1 n n F (u ) i j i L( j ) d i i f d 2 i 1 j 1 i 1
n
i 1
欲使 F 取极小值，需 F / i 0 整理得

j 1
n
j
i L( j ) d i f d
ds 1 y2 dx 时间微元： dt v 2 gy
总时间：
T
x1
0
1 y 2 dx 2 gy
求使 T 最小的函 数 y=y(x)，即变 分问题：
d T ( y, y) 0
5. 变分法简介
变分原理：设 L 为对称正定算子，算子方程 L(u ) f 存
在解 u u0 ，其充分必要条件为泛函 1 F (u) u L(u) d u f d 2 在 u u0 处取极小值。 设 u0 ii ，代入泛函得
工程电磁场数值分析
（数值法的数学基础）
华中科技大学电机与控制工程系
陈德智
2010.12
第3章 数值法的数学基础—加权余量法
1. 函数空间 2. 基函数 3. 权函数 4. 加权余量法
5. 变分法简介
1. 函数空间
关于函数空间的几个概念粗浅的解释
n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，
Mathemathica程序：
Integrate w1 L u2 , x, 0, 1 b1 Integrate w1 f x , x, 0, 1
自己构造基函数的应用实例 ——回旋加速器主磁铁修正
3. 权函数（weight function）
权的概念 s wi ui
i
加权求积 s w( x) u( x)dx 内积 正交
( f , g ) f ( x) g ( x)dx

( f , g) 0
带权正交
常用的分域基
采样函数d(x)
线性插值 样条函数基 小波函数基
极端的分域基—d函数
pd ( x) fid i
i 0
n
p0 ( x) fii
i 0
n
线性逼近和样条逼近
p1 ( x) fii
i 0
n
p2 ( x) aii
i 0
n
分段线性插值使用的基函数

如果上式对所有的 i 都成立，并且 {wi } 和 { i } 都是线性无 关的和完备的，那么就保证余量 R 为 0，从而 u 就是原算 子方程的解。 如果 {wi } 和 { i } 不是完备的，那么余量 R 只能近似为 0， 从而得到原算子方程的近似解。 剩下的问题就是确定系数 { i }。可以看到 {wi } 和 { i } 的线 性无关性对于唯一地确定系数是必要的。
“好”基函数的标准：简单，
易计算，易解释，个数少。 基函数的选择对于逼近的精度
对采样误差有更好的鲁棒性。
和效率至关重要！
整域基与分域基
整域基：在整个区域上都有定义的基函数，如三角函 数和幂函数。 分域基：只在部分区域上有定义（不为0）的基函数， 例如分段逼近使用的基函数。也称局域基。
2. 基函数
若函数空间D中存在一组函数 {i , i 1, 2, 3, , n}，使 得D中任意一个函数都能表示成 { i }的线性组合，则称{ i }
为函数空间D中的一组基（或基底）； i 称基函数。
空间。n 称为函数空间的维数。 基函数的性质： 完备性：——足够的
若n为有限值，称D为有限维函数空间；否则称无限维函数
5. 变分法简介
1 F (u) u L(u) d u f d 2
泛函的物理含义：以静电场Laplace方程 2 0 为例，
由格林定理， ( 2 )dV dS
V S
泛函
1 2 F ( ) d 2 1 1 1 2 ( ) d dS 2 2 S
线性无关性：——没有多余的
正交性：——彼此不但独立，而且毫无交叠
基函数的例子
幂函数（多项式）：有限区域内，任一无限可导的函 数可以借助于Taylor公式展开为幂级数形式
f ( x) ci ( x x0 )i
i
f ( i ) ( x0 ) cFourier级 数形式
求解方程可以确定系数 ai 。
逼近曲线不通过采样点， 而使整体误差最小。

方程个数多于未知数个
数，求得最小二乘解； 基函数线性无关。
拟合

已知若干采样点的两种 逼近: —插值与拟合
基函数有多种选择，如三角函
数、指数函数。
线性无关保证方程有唯一解； 完备性保证了逼近的相似程度。 无法简单的说哪种更好。插值 可保证采样点的精确；而拟合
加权余数法
K
j 1
n
i, j
j bi
(i 1, 2, , n)
或者写为
K α b
加权余量法是通过余量与权函数的正交化过程，把一个算 子方程（微分方程或积分方程）转化为一个可以利用计算机 求解的线性代数方程组。 在此过程中，对权函数与基函数的选择没有任何的限制， 未知数 i 也可以表达非常不同的含义，从而留下了任人发 挥的广阔空间，使它成为各种数值方法的公共基础。
从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有限自由度系统 过渡到无穷自由度系统，用无限维空间描述。
函数是指两个数集之间所建立的一种对应关系。泛函则建
立两个任意集合之间的某种对应关系。
函数空间：具有某种共同特性的一类函数所构成的集合。 不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量。 把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子或算符。
取权函数等于基函数
0 x 1
1 ( x) x(1 x), 2 ( x) x2 (1 x), 3 ( x) x3 (1 x)
分别以二级或三级近似（即展开式取2项或3项）求解上述
sin x 边值问题，并与准确解 u x 比较。 sin1
*
二级近似的Mathemathica实现：
在区间 (xi, xi+1) 上，使用直线段 p1(x) 插值逼近函数 f(x)， 有 或
fi 1 fi p1 ( x) fi ( x xi ) xi 1 xi xi 1 x x xi p1 ( x) fi fi 1 xi 1 xi xi 1 xi
x ( xi , xi 1 )
定义 i
xi 1 x xi 1 xi
x ( xi , xi 1 )
i 1
x xi xi 1 xi
那么 p1 ( x) fii fi 1i 1
x ( xi , xi 1 )
扩展一下定义:
x xi 1 x x i 1 i xi 1 x i xi 1 xi 0
如果余量R＝0，则 u 为精确解。加权余量法的任务是设法使 R为0或者尽量小。方法是选择另一套基底 {wi , i 1, 2, , n} 为权函数，使得
(wi , R) wi [ L(u ) f ] d 0 (i 1, 2, , n)

加权余数法
(wi , R) wi [ L(u ) f ] d 0
n
n

j 1
n
j
wi L( j ) d wi f d

(i 1, 2, , n)
Ki , j wi L( j ) d

bi wi f d

对于确定的权函数 {wi } 与基函数 { i } ，积分是确定的， 因此只有系数 j 是未知量，上式成为一个代数方程：
逼近的方法：选定一组基底
构造逼近函数 { i }
p( x) aii ( x)
i 0 n
，
设法利用已知条件确定系数 ai 。
已知函数若干采样点的 逼近(1) — 插值
i 若选用多项式基底{ x } ，构
造逼近函数：
p( x ) ai x i
i 0 n
令 p(x) 满足：
p( x j ) f j ( j 1, 2, , 7)
x ( xi 1 , xi ) x ( xi , xi 1 ) x ( xi 1 , xi 1 )
那么在整个区间上，有
p1 ( x) fii
i 0