第19章一次函数19.1.1变量与函数(1)教学目标①运用丰富的实例,使学生在具体情境中领悟函数概念的意义,了解常量与变量的含义。
能分清实例中的常量与变量,了解自变量与函数的意义。
②通过动手实践与探索,让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,以提高分析问题和解决问题的能力。
③引导学生探索实际问题中的数量关系,培养对学习数学的兴趣和积极参与数学活动的热情.在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦,建立自信心。
教学重点与难点重点：函数概念的形成过程。
难点：正确理解函数的概念。
教学准备每个小组一副弹簧秤和挂件,一根绳子。
教学设计提出问题:1.汽车以60千米/时的速度匀速行驶。
行驶里程为s千米,行驶时间为t小时。
先填写下面的表,再试着用含t的式子表示s2.已知每张电影票的售价为10元。
如果早场售出150张,日场售出205张,晚场售出310张,那么三场电影的票房收入各为多少元?设一场电影售出x张票,票房收人为y元,怎样用含x的式子表示y?3.要画一个面积为10cm2的圆,圆的半径应取多少?画面积为20cm2的圆呢?怎样用含圆面积S的式子表示圆半径r?注:(1)让学生充分发表意见,然后教师进行点评。
(2)挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情景,让学生经历探索具体情景中两个变量关系的过程,直接获得探索变量关系的体验。
动手实验1.在一根弹簧秤上悬挂重物,改变并记录重物的质量,观察并记录弹簧长度的变化,填入下表：如果弹簧原长10cm,每1kg重物使弹簧伸长0.5cm,怎样用重物质量m(kg)的式子表示受力后的弹簧长度l(cm)?2.用10dm长的绳子围成矩形.试改变矩形的长,观察矩形的面积怎样变化,记录不同的矩形的长的值,计算相应的矩形面积的值,探索它们的变化规律(用表格表示) 。
设矩形的长为xdm,面积为Sdm2,怎样用含x的式子表示S?注:分组进行实验活动,然后各组选派代表汇报。
通过动手实验,学生的学习积极性被充分调动起来,进一步深刻体会了变量间的关系,学会了运用表格形式来表示实验信息。
探究新知(一)变量与常量的概念1.在学生动手实验并充分发表自己意见的基础上,师生共同归纳：上面的问题和实验都反映了不同事物的变化过程。
其中有些量(时间t 、里程s 、售出票数x 、票房收入y 等)的值是按照某种规律变化的。
在一个变化过程中,数值发生变化的量,我们称之为变量。
也有些量是始终不变的,如上面问题中的速度60(千米/时)、票价10(元)等,我们称之为常量。
2.请具体指出上面这些问题和实验中,哪些量是变量,哪些量是常量。
3.举出一些变化的实例,指出其中的变量和常量。
注:分组活动.先独立思考,然后组内交流并作记录,最后各组选派代表汇报。
培养学生主动参与、合作交流并能用数学的眼光看待世界的意识,提高观察、分析、概括和抽象等的能力。
(二)函数的概念1.在前面的每个问题和实验中,是否各有两个变量?同一个问题中的变量之间有什么联系? 师生分析得出：上面的每个问题和实验中的两个变量互相联系.当其中一个变量取定一个值时,另一个变量就有惟一确定的值。
2.分组讨论教科书“观察”中的两个问题。
注:使学生加深对各种表示函数关系的表达方式的印象。
3.一般来说,在一个变化过程中,如果有两个变量x 与y,并且对于x 的每一个确定的值,y 都有惟一确定的值与其对应,那么,我们就说x 是自变量,y 是x 的函数。
如果当x=a 时,y=b,那么,b 叫做当自变量的值为a 时的函数值。
例如在问题1中,时间t 是自变量,里程s 是t 的函数。
t=1时,其函数值s 为60,t=2时,其函数值s 为120。
同样,在心电图中,时间x 是自变量,心脏电流y 是x 的函数；在人口统计表中,年份x 是自变量,人口数y 是x 的函数.当x=1999时,函数值y=12.52。
巩固新知下列各题中分别有几个变量?你能将其中的某个变量看成是另一变量的函数吗?1.右图是北京某日温度变化图2.如图,已知菱形ABCD 的对角线AC 长为4,BD 的长在变化,设BD 的长为x,则菱形的面积为y=21×4×x3.国内平信邮资(外埠,100克内)简表：注:,初步了解函数的三种表示方法。
总结归纳1.常量与变量的概念2.函数的定义3.函数的三种表示方式注:通过总结归纳,完善学生已有的知识结构。
布置作业1.必做题：教科书P.71 习题19.1第1题。
教学反思19.1.1变量与函数(2)教学目标①理解掌握函数的概念,能根据所给条件写出简单的函数关系式.②经历从实际问题中得到函数关系式的过程,发展学生的数学应用能力.③体验生活中数学的应用价值,感受数学与人类生活的密切联系,激发学生学数学、用数学的兴趣. 教学重点与难点理解函数概念,并能根据具体问题得出相应的函数关系式.教学准备计算器、CAI课件.教学设计提出问题1.在计算器上按照下面的程序进行操作：填表：显示的数y是输入的数x的函数吗?为什么?注:让学生自己动手操作,唤起浓郁的好奇心和求知欲.提出问题,引导学生进入新知识的学习,创造一种探索的情景.2.在计算器上按照下面的程序进行操作：下表中的x与y是输入的5个数与相应的计算结果.问：所按的第三、四两个键是哪个两个键?y是x的函数吗?如果是,写出它的表达式(用含x的式子表示y).注:先让学生动手探索,然后讨论y是否是x的函数,最后师生共同归纳,得出结论.探究新知一辆汽车的油箱中现有汽油50L,如果不再加油,那么油箱中的油量y(L)随行驶里程x(km)的增加而减少,平均耗油量为0.1L/km.问题1：写出表示y与x的函数关系的式子.问题2：指出自变量x的取值范围.问题3：汽车行驶200km时,油箱中还有多少汽油?学生分组讨论、交流、说出各自得到的结论,最后师生共同归纳,得出：(1)y与x的函数关系式是y=50-0.1x.(2)自变量x的取值范围是O≤x≤500.(3)汽车行驶200km时,油箱中还有30L汽油.教师提示：确定自变量的取值范围时,不仅要考虑到函数关系式必须有意义,而且还要注意问题的实际意义.让学生带着问题开展讨论,在师生互动、合作交流的过程中,学生的思维得到自然发展,在不自觉的学习中掌握了重点,化解了难点,还提高了数学语言表达能力.巩固新知下列问题中哪些量是自变量?哪些量是自变量的函数?试写出用自变量表示函数的式子.1.改变正方形的边长x,正方形的面积S随之改变.2.秀水村的耕地面积是106m2,这个村人均占有耕地面积y随这个村人数n的变化而变化.注:进一步巩固所学的知识.解决问题我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于800元的部分不收税；月收入超过800元但低于1300元的部分征收5％的所得税……如某人月收入1160元,他应缴个人工资、薪金所得税为：(1160-800)×5％=18(元).1.当月收入大于800元而又小于1300元时,写出应缴所得税y(元)与月收入x(元)之间的关系式.2.某人月收入为960元,他应缴所得税多少元?3.如果某人本月缴所得税19.20元,那么这个人本月工资、薪金是多少元?注:设置富有挑战性的问题,激发学生积极思考,既能巩固所学知识,又能增强趣味性,可以更大限度地发挥学生的想象力.要鼓励学生大胆创新,多角度地认识问题,解决问题,体会数学奥妙与价值,增强创造性地学数学、主动性地用数学的意识.总结归纳通过本节课的学习,我们知道函数是一个非常有用的概念,它是研究现实世界的数量关系变化的一个重要模型.许多生活问题中都存在着函数关系.通过本节课的学习,我们掌握了函数的定义,能根据问题中的条件写出简单的函数关系式和自变量的取值范围,并会求出函数值.注:启发学生思考、归纳总结所学知识,让学生更加明确本节课的知识点.布置作业1.必做题：教科书第74～75页习题19.1第3、4题.2.选做题：教科书习题19.1第5、6题.教学反思19.1.2函数的图像（1）教学目标①从学生熟悉的情境出发,经历从图中分析变量之间关系的过程,理解函数图象的意义.会对实际生活中的例子用两变量之间关系的图象进行描述表达,初步认识函数与图象的对应关系.②学会观察图象、识别图象及理解图象所表示的含义.了解图象的意义及其与实际轨道之间的关系和区别.③渗透数形结合思想,体会到数学来源于生活,又应用于生活.培养学生的团结协作精神、探索精神和合作交流的能力.教学重点与难点把实际问题转化为函数图象,再根据图象来研究实际问题.教学准备三角尺、CAI课件.教学设计提出问题下图是自动测温仪记录的图象,它反映了北京春季某天气温T如何随时间t的变化而变化.你从下图中得到哪些信息?注:挖掘和利用现实生活中与函数图象有关的背景,让学生在观察背景中认识、理解函数的图象.“做一做”解决生活中的数学问题,为的是进一步理解函数图象的意义.引导学生主动参与学习过程,从而培养合作交流能力.解决问题下面的图象反映的过程是：小明从家里出发去菜地浇水,又去玉米地锄草,然后回家.其中x表示时间,y表示小明离他家的距离.根据图象回答下列问题：1.菜地离小明家多远?小明走到菜地用了多少时间?2.小明给菜地浇水用了多少时间?3.菜地离玉米地多远?小明从菜地走到玉米地用了多少时间?4.小明给玉米地锄草用了多少时间?5.玉米地离小明家多远?小明从玉米地走回家的平均速度是多少?注:以课本例题中的实际生活问题为素材,使学生感受到数学来源于生活,激发学生学数学的兴趣.师生共同参与合作,完成几个问题的探讨.体现了以学生为主体,教师成为问题解决的组织者、引导者与合作者这一新课程教学理念.总结归纳围绕下面两点,以师生共同交流的方式进行归纳：(1)函数图象会使函数关系更为清晰,怎样画出函数的图象呢?(2)如何根据函数图象中获得的信息来研究实际问题?注:进一步加深对函教图象的理解.布置作业1.必做题：教科书习题19.1第9题.教学反思19.1.2函数的图像（2）教学目标①学会用描点法画出简单函数的图象,初步了解函数关系式与函数图象之间的关系. ②渗透数形结合思想,让学生学会函数图象的基本画法.③引导学生积极参与实验与探索活动,体验探索的快乐并从中获得成功的体验.通过细心画图,培养严谨细致的学习作风. 教学重点与难点重点：了解画函数图象的一般步骤,会画出简单函数的图象. 难点：函数关系式与函数图象之间的对应关系. 教学准备三角尺. 教学设计提出问题在下列式子中,对于x 的每一确定的值,y 有惟一的对应值,即y 是x 的函数.你能画出这些函数的图象吗?1.y=x+0.5 2．y=x6 注:提出问题,激发学生的求知欲,引导学生探索解决问题的方法,自然而然地引入新课. 探究新知分组讨论这两个函数图象的画法,然后每人自己动手画出这两个函数的图象,先在组内交流各自所画的图象,然后每组选出一个同学所画的图象在班内交流.看看你画出的图象与教科书上图11.1-6、图11.1-7相同吗?注:培养学生主动参与和合作交流的意识,提高观察、分析、概括和抽象的能力.2.师生共同探讨下列问题：(1)观察函数y=x+0.5的图象,可以看出直线从左向右上升,即当x 由小变大时,y=x+0.5随之增大；观察函数y=x 6(x>0)的图象,可以看出曲线从左向右下降,即当x 由小变大时, y=x6随之减小. (2) 归纳用描点法画函数图象的一般步骤.描点法画函数图象的一般步骤如下：第一步：列表；(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值)第二步：描点；(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点)第三步：连线.(按照横坐标由小到大的顺序,把所描出的各点用平滑的曲线连接起来) 讨论交流:教科书 “思考”中的两个问题. 巩固新知1.画出函数y=2x-1的图象.判断：点A(-2.5,-4)、点B(1,3)、点C(2.5,4)是否在函数y=2x-1的图象上. 2.画出函数y=x2的图象.从图象中观察,当x<0时,y 随x 增大而增大呢,还是y 随x 增大而减小? 当x>0时呢?注:理解用图象法表示函数关系.巩固函数图象的画法.总结归纳以问题的形式要求学生思考、交流： 1.作函数图象的三个步骤分别是什么?2.如何从图象中了解函数的变化情况?注:加深对函数图象画法的印象.布置作业1.必做题：教科书P.79 习题.2.选做题：教科书P.82 第13题.教学反思19.1.2函数的图像（3）教学目标①运用丰富的实例,帮助学生全面理解函数的三种表示方法.②通过观察、作图、交流、归纳等数学实践活动,使学生加深对函数三种表示方法的认识,提高把实际问题转化为数学问题的能力.③让学生通过实际操作,体会函数的三种表示方法在实际生活中的应用价值,以激发学生对数学的学习兴趣.教学重点与难点重点：函数的三种表示方法及其应用.难点：函数的三种表示方法的应用.教学准备木板一块、玩具小车一辆、三角尺、CAI课件.教学设计提出问题实验演示：倾斜木板,将小车置于木板顶端,观察小车下滑过程.小车沿斜坡下滑,下滑速度与其下滑时间的关系如上图所示.2.写出V与t之间的关系式.注:通过实验演示,创设问题情境,使学生从中发现数学,建立模型,引起思考,激发兴趣.营造轻松愉悦的学习氛围,自然导入新课.探究新知1.通过学习,我们已经知道可以用列表格、写式子和画讨论：从前面的例子来看,你认为这三种表示方法各有什么优点?注:分组活动.先独立思考,然后组内交流并作记录,最后各组选派代表汇报.2.注意：表示函数时,要根据具体情况选择适当的方法.图象的方法来表示函数.这三种表示函数的方法分别被称为列表法、解析式法和图象法.为了全面地认识问题,有时需要几种方法同时运用.讲解教科书例4.问题1：观察记录表中的6组数值,你认为这两个变量之间有什么关系?问题2：请你写出水位高度y(米)随时间t(时)变化的函数解析式.问题3：请你画出这个函数的图象.问题4：请你预测一下,再过2小时,水位高度将达到多少米?注:给学生提供充分的时间与空间,让其进行自主探索和与同伴交流,经历数学活动的过程.学生的探索可能具有盲目性,精心设计“问题串”可帮助解决这个问题.但它不能代替学生的探索,而是为学生的探索提供指导.一切要从有利于学生的发展出发.巩固新知教科书P.81 练习第1、2题注:加深对函数三种表示方法的理解.解决问题某电视机厂要印制一批产品宣传资料.甲厂提出：每份资料收1元印制费,所有资料另收1500元的制版费；乙厂提出：每份资料收2.5元印制费,不收制版费.1.分别写出两厂的收费y(元)与印制数量x(份)之间的关系式.2.在同一直角坐标系内作出它们的图象.3.根据图象回答以下问题：(1)印制800份宣传资料,选择哪家印刷厂比较合算?(2)电视机厂拟拿出3000元用于印制宣传资料,选择哪家印刷厂宣传资料能多印一些?注:感受所学知识在实际中的用途,培养学生应用数学的意识.总结归纳教师强调,本节课主要学习了函数的三种表示方法：列表法、解析式法和图象法以及各自的优点.特别提醒：函数的不同表示方法之间是可以转化的.注:引导学生归纳总结所学知识,使之对函数的表示方法有比较全面的认识.布置作业1.必做题：教科书P.82 第7题.教学反思19.2.1正比例函数教学目标①通过对不同背景下函数模型(关系式)的比较,接受正比例函数的概念.②在用描点法画正比例函数图象的过程中发现正比例函数的性质. ③利用发现的性质简便地画出正比例函数的图象. ④初步体验研究函数的一般思路与方法. 教学重点与难点重点:正比例函数的概念、图象与性质. 难点：体验研究函数的一般思路与方法 教学准备教师准备：作图工具、多媒体课件. 学生准备：作图工具、方格子纸若干张. 教学设计概念的引出1.出示教科书的问题.先出示问题背景,再逐一提出问题①、②、③. 注:问题的解决可由一位学生回答,其他学生补充进行.说明：以上我们用函数y=200x 对燕鸥的飞行路程问题进行了刻画.尽管这只是近似的,但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型.注:此问题源于真实背景,难度又不大,在使全体学生进入学习状态的同时,也进一步体会到函数是反映现实世界的一种数学模型.2.此类模型在生活中广泛存在.出示教科书的问题：下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示?这些函数有什么共同点?注:在变化的背景中寻找不变之处,经历对一类对象共同本质特征的抽象过程,促进概 念的形成.通过讨论、归纳形成共识,给出正比例函数的概念.一般地,形如y=kx(k 是常数,k≠O)的函数,叫做正比例函数,其中k 叫做比例系数. 注:这里不补充正反例的比较来进行概念的辨析,这部分内容放入下一节.上述问题中各正比例函数的比例系数分别是什么? 注:认识的扩大.我们知道,函数图象可以直观、清晰地表示函数关系.正比例函数的解析式具有共同的结构,那么它们的图象是否也有某种必然的共同之处呢？1.画出下列正比例函数的图象：(1)y=2x (2)y=-2x学生通过列表、描点、连线画出图象,使用课前准备好的方格子纸(或由教师统一发下)可以节约时间提高效率.注:自然激发探究冲动,感受研究函数的思考方式.利用已学过的描点法画出正比例函数的图象,既巩固旧知识,更为发现规律后简便画法的产生埋下伏笔.2.比较上面两个函数的图象的相同点与不同点,你发现它们具有怎样的规律了吗? 注:让学生充分发表意见,鼓励百家争鸣、各抒己见,教师暂时不做评判,对于争论最好 的办法是让学生自己想办法验证解决.学生经历活动操作、观察比较、分析思考、讨论交流的过程,并在这样一个过程中树立信心、获取知识、体验学习的方法.引导学生思考：这种规律对其他正比例函数适用吗?具有一般规律吗? 3.适时引导学生继续尝试：练习：在同一个坐标系中,画出下列函数的图象,并对它们进行比较：(1)y=21x (2)y=-21x注:(1)这里无须就k=O 时又如何展开讨论,若有学生提及,可鼓励在课外思考.(2)量的积累可以进一步增强信心,明确经验,有助于对各种意见的统一认识的全面定型. 4.达成共识：一般地,正比例函数y=kx(k≠0)的图象是一条经过原点的直线,我们称它为直线y=kx. 当k>0时,直线y=kx 经过第三、一象限,从左向右上升,即随着x 的增大y 也增大； 当k<0时,直线y=kx 经过第二、四象限,从左向右下降,即随着x 的增大y 反而减小. 认识的深化1.经过原点与点(1,3)的直线是哪个函数的图象? 若经过原点与点(1,-4)呢?你发现了什么?注:这里函数的得出,并不涉及待定系数法,而是对前面探究过程与结果的感悟.亲身的实践以及在亲身实践基础上的反思对促进学生的发展有着重大的意义.2.画正比例函数的图象时,怎样画最简便?为什么?以上问题逐一出示,由学生思考后回答,避免让思维快的学生影响思维慢的学生.3.用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：(1)y=23x (2)y=-3x 小结归纳1.在本节课中,我们经历了怎样的过程?有怎样的收获?2.在以后的学习中,我们将继续这样的思路来研究各种具体的函数,根据它们共同的结构给它们取名,画出它们的图象与研究它们的性质.作业教科书P.87 习题第1、2题. 教学反思19.2.2一次函数(1)教学目标①理解一次函数与正比例函数的概念以及它们的关系,在探索过程中,发展抽象思维及概括能力,体验特殊和一般的辩证关系.②能根据问题信息写出一次函数的表达式.能利用一次函数解决简单的实际问题.③经历利用一次函数解决实际问题的过程,逐步形成利用函数观点认识现实世界的意识和能力. 教学重点与难点重点：①一次函数、正比例函数的概念及关系.②会根据已知信息写出一次函数的表达式.难点：理解一次函数、正比例函数的概念及关系.在探索过程中,发展抽象思维及概括能力. 教学设计复习与反思1.复习：函数与正比例函数的概念和它们之间的关系.注:在对旧知的复习中突出函数是对变量间关系的刻画,正比例函数则是对某一类关系共性的抽象反映.为完善认知与深刻理解概念做准备.2.问题：某登山队大本营所在地的气温为15℃.海拔每升高1km 气温下降6℃,登山队员由大本营向上登高xkm 时,他们所在位置的气温是y℃.试用解析式表示y 与x 的关系.注:得到的解析式不是原先学过的正比例函数,促使学生对函数特征的思考.3.反思：这个函数是正比例函数吗?它与正比例函数有什么不同?这种形式的函数还会有吗? 概念的形成1.下列问题中变量间的对应关系可用怎样的函数表示? 出示教科书问题①～④.逐一出示题目并由学生完成.此处不必对自变量取值范围作深入追究,重在正确得出关系式.注意选题时各小题表示变量的字母虽然不同,但结构相同,进一步揭示函数的本质在于对变量间对应关系的反映,而与所取符号无关.2.思考：上面这些函数有什么共同点?你能再举出一些例子吗？引导学生自己得出上面这些函数的形式都是自变量的走(常数)倍与一个常数的和.并把它们抽象为y=kx+b 的形式.在探索过程中,发展抽象思维及概括能力.理解抽象的符号揭示的是一般规律. 3.抽取共性,形成概念一般地,形如y=kx+b(k 、b 是常数,k≠O)的函数,叫做一次函数. 4.回顾反思,追求统一本节涉及的函数y=15-6x,c=7t-35,g=h-105,y=0.01x+22,y=-5x+50都不符合正比例函数的结构,都不是正比例函数,而是一次函数.那么像y=2x,y=31x 这些正比例函数是否符合一次函数的结构呢?在怎样的情况下符合?这说明了什么?注:从一开始的y=15-6x 不是正比例函数,引出一次函数的形成,似乎已经画了一个句 号.但细敲之下,里面还大有文章.这能给学生带来一种震撼与感悟. 5.达成共识,完善认知学生通过讨论达成共识：当b=0时,y=kx+b 即y=kx,所以正比例函数其实是一种特殊的一次函数. 应当使学生领会：正比例函数首先是一次函数,其次它是特殊的一次函数.概念的辨析教科书练习1：下列函数中哪些是一次函数,哪些又是正比例函数? ①y=-8x ；②y=5x2+6；③y=x8;④y=-0.5x-1 特别注意：回答哪些是一次函数时需包含正比例函数,正比例函数是特殊的一次函数.。