就可以得到附息债期权的解析解。数值法定价的应用则更为广泛，可以应用于由于产品本身
或利率模型设定过于复杂而造成的不存在解析解的情况。在固定收益证券领域，最常用的数
值方法就是第七章介绍的树图法。
在本节里，我们将主要介绍第一种思路下的
模型和第二种思路下的
解
析解方法。在第二节介绍含权债时，我们再讨论树图方法的运用，其基本原理都是一样的。
下，任意到期期限的零息债价格都可以写成当前瞬时利率的函数
Bt, Model j r t ;
其中 Model j r t ; 中的 表示其他参数 ， 为 时刻的零息债价格的一般表达形式，
其中“ ”表示债券到期时刻， 则是 时刻的瞬时利率。虽然这个函数的形式可能根据
模型选择不同而变化，但该函数必定关于瞬时利率单调递减。 其次，由于附息债的价格可以表示为零息债价格之和，即
第二种思路则是基于利率建模，利用动态利率模型为债券期权定价。在这种思路下又可
分为解析解和数值解两种方法。解析解定价主要应用于特定模型下的欧式债券期权定价，在
1在交易所市场（例如 CME）中，大部分的债券期权实际上是以债券期货为期权的标的资产，但其基本原 理是一样的。
2
这些模型下存在欧式零息债期权的解析解。这样，将附息债期权分解为零息债期权的组合，
债券是最基础的利率产品，相应地，债券期权也是最基础的利率期权产品 。事实上， 市场上常见的其他利率期权产品往往都与债券期权有关。例如可赎回和可回售债券实际上是 普通的不含权债券内嵌了债券期权，利率顶和利率底也可以转换成零息债期权的组合。因此， 我们首先介绍债券期权的基本特征和定价方法。
在第七章中，我们已经介绍了不同动态利率模型下零息债期权价格的解析解。在这一节 里，我们将其拓展到附息债期权的分析。
N
P t,TN ciBi t,Ti i 1
其中 为附息债每次现金流入的时刻， 为每次对应的现金流， 是附息债到期时刻，而
加和并不改变函数的单调性，因此附息债价格也可以写成当前瞬时利率的单调递减函数，即
N
P t,TN ciModelij r t i 1
这样，在期权到期的 时刻，欧式附息债看涨期权的回报可以写成
也不适用。
（二）
模型
由于附息债可以视为零息债的组合，
模型的基本思路是将附息债期权表示为
零息债期权的组合，再应用我们在第七章中得到的
或 等单因子模型下的零息债
期权价格的解析解，得到附息债期权价格的解析解。
首先，在单因子模型的假设下，瞬时利率发生变动时，整条利率期限结构将发生相应变
动，且长短期利率的变动方向将是一致的。给定某个单因子模型，记为 Model j ，在该模型
（一） 模型
模型是由
于 年提出的。这个模型最早提出时是为欧式期货期权
定价，后来人们发现可以将其拓展至更广的领域，欧式债券期权定价就是其中之一。在这里，
我们直接介绍该模型在欧式债券期权定价中的应用结论，对原文有兴趣的读者可参考
。
模型对欧式债券期权定价的基本思路是，假设标的债券价格在期权到期的定价公式为
券期权定价。由此产生了债券期权定价的两种思路：
第一种思路直接基于债券价格建模，将股票期权的定价方法应用于债券期权定价，主要
的代表性模型是
模型（
）。 模型的最大好处就在于其简便性，可以直接
利用形式简单的
定价公式得到欧式期权价格的解析解，因而
模型成为欧式债券
期权定价的标准模型。但由于假设条件的限制， 模型在应用上仍具有局限性。
一、 债券期权的基本特征
在第一章的第三节中，我们已经介绍了债券期权的基本含义，这里我们仅给出欧式债券 看涨期权到期回报的公式为
其中 为期权执行价格，
则为期权到期时刻 的标的债券价格，注意该债券的到
期日为 且 ，也就是说，期权到期时刻标的债券仍存续。相应的欧式看跌期权的到
期回报公式为
率 实际上只是确定了债券价格的对数在T t 期间的标准差为 P t,T T t ，
并不一定意味着此期间任意瞬间的波动率为 。
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我们可以看到，用 模型对债券期权进行定价，其形式与标的资产为支付红利的股
票的期权价格非常相似。应该注意的是，如果标的债券在 时刻不服从对数正态分布，那
么
公式就不能使用。另外，对于美式期权，由于没有利率动态过程的信息， 模型
其中
这里， 和 分别为欧式看涨期权和欧式看跌期权在 时刻的价值， 为执行价格，
N 为标准正态分布的累积概率分布函数，期权和标的债券的到期时刻分别为 和 ，
为 至 期间标的债券价格对数的波动率，
为 时刻标的债券的远期价
格，远期到期时刻为 。根据第三章中的债券远期定价原理，
的定价公式为
F
t,T ,T *
P t,T *
Bt,T
I
其中 P t,T * 为标的债券在 时刻的价格， I 为标的债券在期权的存续期间（从 至 ）所
支付息票的现值。 值得强调的是，距离债券到期时刻越近，债券价格的波动越小。因此公式
中的波动
由于债券价格与利率呈确定的反向变动函数关系，因此债券的看涨期权等价于利率的看 跌期权，其多头实际上是规避了利率下跌的风险；反之债券的看跌期权等价于利率的看涨期 权，其多头规避了利率上涨的风险。
二、 债券期权的定价
从期权回报可以看出，债券期权定价的关键在于对标的债券价格的变动进行建模。由于
债券价格与利率存在确定的函数关系，因此也可以运用第七章中的方法对利率建模，再为债
在学习完本章后，你应该能够理解和掌握： 债券期权的基本特征与常用定价方法 可赎回债券与可回售债券的基本特征与常用定价方法 利率顶与利率底的基本特征与定价公式 利率互换期权的基本特征与定价公式 利率期权定价的一般原理
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在第三章中我们介绍了利率的远期、期货以及互换等简单利率衍生产品的定价；然而除 了这些产品外，国际金融市场上还存在着大量的期权类利率衍生产品。在本章中，我们主要 介绍市场常见的几种利率期权产品的基本特征与定价方法：债券期权、含权债、利率顶与利 率底以及利率互换期权。在这一章中，你将会了解第七章中那些抽象的动态利率模型是如何 运用的。