p ，下降的概率假设为
相应地，期权价值也会有所不同，分别为 fu
和 fd 。
无套利定价法：
份股票多头和1份看涨期权空头 当 Su u Sd fd 。则组合为无风险组合
构造投资组合包括 此时

fu f d Su Sd
因为是无风险组合，可用无风险利率贴现，得
S f Su fu ert
f N , j max(S0u j d N j K ,0)
假定期权不被提前执行，则：
其中
j 0,1,
,N
fij ert [ pfi1, j 1 (1 p) fi1, j ] (0 i N ,0 j i)
（表示在时间 it 时第j个结点处的欧式看涨期权的价值）
e
( r q ) t
pu (1 p)d
t
e ( r q ) t d p ud
u e
d e
t
Derivagem求解例20-3，20-4
20.3 对于支付股息股票的二叉树模型
20.3.1 股息收益率是已知的情形
假设股息离散支付，股息收益率已知
可通过调整在各个结点上的股票价格，算出期权价格；
f 2,1 f 0, 0 2 t
f* f
20.2 采用二叉树对股指、货币与期货期权进行定 价
当对股指、货币和期货上的期权定价时，可以将这些标的资产看作是提供已 知收益率的资产。对于股指而言，收益率就是股指中股票组合的股息收益率；对 于货币而言，收益率等于外币无风险利率；对于期货合约而言，收益率等于无风 险利率。
若有提前执行的可能性，则：
fi, j max{ S0u j d N j K , ert [ pfi !, j 1 (1 p) fi 1, j ]}
20.1.6 估计Delta与其他希腊值
f1,1 f1, 0 S 0u S 0 d


[( f 2, 2 f 2,1 ) /(S0u 2 S0 )] [( f 2,1 f 2,0 ) /(S0 S0 d 2 )] 0.5 (S0u 2 S0 d 2 )
,i
1 u 由于 d ，使得许多结点是重合的，从而大大简化了树图。
20.1.4 通过树形倒推计算
得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价法， 从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。
t 时间长度
如果是欧式期权，可通过将 内以无风险利率
T时刻的期权价值的预期值在
贴现求出每一结点上的期权价值； r
d e
t
以上可知，无套利定价法和风险中性定价法具有内在一致性。
20.1.3 资产价格的树形
Su4 Su3 Su2 Su S Sd Sd2 Sd3 Sd4 S S Sd Sd2 Su Su2
一般而言，在 it 时刻，证券价格有 i 1 种可能，它们可用符号表示为：
S0u j d i j 其中 j 0,1,
如果是美式期权，就要在树型持有
时间，到下一个时刻再执行期权，选择其中较 t
大者作为本结点的期权价值。
例20-1
DerivaGem示范
20.1.5 代数表达式
j i j 假设把一期权有效期划分成N个长度为 t 的小区间，同时用 S0u d
表示结点 (i, j ) 处的证券价格可得（以看涨期权为例）：
20.1.2 确定p,u,d
在风险中性的条件下, 参数值满足条件：
Se
rt
pSu (1 p)Sd
e rt pu (1 p)d
假设证券价格遵循几何布朗运动，则：
2 t pu2 (1 p)d 2 pu (1 p)d 2
Rubinstein所用的条件）
i t 时刻结点的相应的证券价格
（ i 为0时刻到 it 时刻之间所有除权日的总红利支付率）
20.3.2 已知股息数量的情形
在某些情形下，尤其是当期权的期限很短时，最符合现实的做法是假设已 知股息支付的数量而不是股息收益率。假设股票波动率 为常数，二叉树的 形状如下图所示。
将
f e r t pf u 1 p f d
其中
fu f d Su Sd 代入上式就可得到：
e rt d p ud
20.1.1 风险中性定价
在对衍生产品定价时，可以假定世界是风险中性的。
在风险中性世界里：
（1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率； （2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。
基本数值方法
第20章
第20章 基本数值方法
20.1 二叉树 20.2 采用二叉树对股指、货币与期货期权定价 20.3 对于支付股息股票的二叉树模型
20.4 构造树形的其他方法
20.5 参数依赖于时间的情形 20.6 蒙特卡罗模拟法 20.7 方差缩减程序 20.8 有限差分法
20.1 二叉树
Su p S 1-p Sd
如果时刻 it 在除权日之前，则结点处股票价格仍为： Su j d i j , j 0,1, , i 如果时刻 it 在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：
S (1 )u j d i j
j 0,1,
,i
若在期权有效期内有多个已知红利率，则 为：S (1 i )u j d i j
S 2 2t pS 2u 2 (1 p)S 2d 2 S 2 [ pu (1 p)d ]2
u 1/ d（第三个条件的设定则可以有所不同， 这是Cox、Ross和 再设定：
e rt d p 由以上三式可得，当 t 很小时： ud
u e
t
从而
f e r t pf u 1 p f d
把期权的有效期分为很多很小的时间间 隔 ，并假设在每一个时间间隔 t 内证 t
券价格只有两种运动的可能： 1、从开始的 S 上升到原先的 2、下降到原先的 d 倍，即 Sd
u 倍，即到达 Su
。
；
t 时间内资产价格的变动
d 1 .如图所示。价格上升的概率假设为 其中 u 1， 1 p 。