第八章 空间解析几何与向量代数§8.1向量及其线性运算 1.填空题(1)点)1,1,1(关于xoy 面对称的点为()1,1,1(-),关于yoz 面对称的点为()1,1,1(-),关于xoz 面对称的点为()1,1,1(-).(2)点)2,1,2(-关于x 轴对称的点为()2,1,2(-),关于y 轴对称的点为()2,1,2(---),关于z 轴对称的点为()2,1,2(-),关于坐标原点对称的点为()2,1,2(--).2. 已知两点)1,1,1(1M 和)1,2,2(2M ,计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角.解:因为)0,1,1(21=M M ,故2||21=M M ,方向余弦为22cos =α,22cos =β,0cos =γ,方向角为4πα=,4πβ=, 2πγ=.3. 在yoz 平面上,求与)1,1,1(A 、)2,1,2(B 、)3,3,3(C 等距离的点. 解:设该点为),,0(z y ,则222222)3()3(9)2()1(4)1()1(1-+-+=-+-+=-+-+z y z y z y ,即⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=-+-+-+=-+222222)3()3(9)2()1(4)2(4)1(1z y z y z z ,解得⎩⎨⎧==33y z ,则该点为)3,3,0(.4. 求平行于向量k j i a 432-+=的单位向量的分解式.解:所求的向量有两个,一个与a 同向,一个与a 反向. 因为29)4(32||222=-++=a ,所以)432(291k j i e a -+±=.5. 已知点)6,2,1(-B 且向量在x 轴、y 轴和z 轴上的投影分别为1,4,4-,求点A 的坐标.解:设点A 的坐标为),,(z y x ,由题意可知)1,4,4()6,2,1(-=----z y x ,则5,6,5=-==z y x ,即点A 的坐标为)5,6,5(-. §8.2 数量积 向量积 1.若3),(,4||,3||π===Λb a b a ,求b ac 23-=的模.解:b b b a a b a a b a b a c 22233233)23()23(||2⋅+⋅-⋅-⋅=-⋅-=73443cos431239||412||92222=⨯+⨯⨯⨯-⨯=+⋅-=πb b a a所以73||=c .2.已知||||b a b a -=+,证明:0=⋅b a .证明:由||||b a b a -=+,可得22||||b a b a -=+,可知)()()()(b a b a b a b a -⋅-=+⋅+,展开可得b a b a b a b a ⋅-+=⋅++2||||2||||2222,即04=⋅b a ,故0=⋅b a .3.4.已知)4,2,1(=a ,)3,3,3(-=b ,求a 与b 的夹角及a 在b 上的投影. 解:934)3(231=⨯+-⨯+⨯=⋅b a ,7799916419cos =++⋅++=θ,77arccos=θ. 因为a j b b a b Pr ||=⋅,所以3339Pr ==a jb .5..§8.3 曲面及其方程 1.填空题(1)将xOz 坐标面上的抛物线x z 42=绕x 轴旋转一周,所生成的旋转曲面的方程为(x y z 422=+),绕z 轴旋转一周,所生成的旋转曲面的方程为(2224y x z +=).(2)以点)2,3,2(-为球心,且通过坐标原点的球面方程为(17)2()3()2(222=-+++-z y x ).(3)将xOy 坐标面的圆422=+y x 绕x 轴旋转一周,所生成的旋转曲面的方程为(4222=++z y x ).2.求与点)1,2,1(A 与点)2,0,1(B 之比为2:1的动点的轨迹,并注明它是什么曲面.解:设动点为),,(z y x P ,由于2:1||:||=PB PA ,所以222222)2()0()1()1()2()1(2-+-+-=-+-+-z y x z y x ,解之,可得194166333222=+---++z y x z y x ,即920)32()38()1(222=-+-+-z y x ,所以所求的动点的轨迹为以点)32,38,1(为心,半径为352的球面. 3§8.4 空间曲线及其方程 1. 填空题(1)二元一次方程组⎩⎨⎧-=+=3412x y x y 在平面解析几何中表示的图形是(两相交直线的交点)5,2();它在空间解析几何中表示的图形是(两平面的交线,平行于z 轴且过点)0,5,2().(2)旋转抛物面)20(22≤≤+=z y x z 在xOy 面上的投影为(⎩⎨⎧=+=222z y x z ),在x O z 面上的投影为(22≤≤z x ),在y O z 面上的投影为(22≤≤z y ).2.求球面4222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程.解:将x z -=1代入4222=++z y x ,得4)1(222=-++x y x ,因此投影方程为⎩⎨⎧=+-=322022y x x z . 4.分别求母线平行于x 轴、y 轴及z 轴且通过曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++0242222222z y x z y x 的柱面方程.解:在⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++0242222222z y x z y x 中消去x 得4322=-z y ,即为母线平行于x 轴且通过曲线的柱面方程.在⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++0242222222z y x z y x 中消去y 得45322=+z x ,即为母线平行于y 轴且通过曲线的柱面方程.在⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++0242222222z y x z y x 中消去z 得8522=+y x ,即为母线平行于z 轴且通过曲线的柱面方程.4.将下列曲线的一般方程化为参数方程:(1)⎩⎨⎧-==++-14)1(222x y z y x .解:将1-=x y 代入4)1(222=++-z y x 得4)1(222=+-z x ,即14)2()1(222=+-z x . 令θcos 21=-x ,θsin 2=z ,所求的参数方程为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=θθθsin 2cos 2cos 21z y x . . §8.5 平面及其方程 1. 填空题(1)一平面过点)4,1,1(-且平行于向量)1,1,2(-=a 和)1,0,1(=b ,平面的点法式方程为(0)4()1(3)1(=+----z y x ),平面的一般方程为(023=---z y x ),平面的截距式方程(12232=-+-+zy x ),平面的一个单位法向量为()1,3,1(1111-). (2)设直线L 的方程为⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A ,当(021==D D )时,直线L 过原点;当(021==A A )且(01≠D 或02≠D 有一个成立)时,直线L 平行于x 轴但不与x 轴相交;当(2121D D B B =)时,直线L 与y 轴相交;当(02121====D D C C )时,直线L 与z 轴重合. 2.求过三点)1,1,1(-,)3,1,3(-和)2,1,0(的平面方程. 解:由平面的三点式方程知,所求的平面方程为131313121212111z z y y x x z z y y x x z z y y x x ---------121110131113111-+---+--+-=z y x121422111---+-=z y x =0,即0735=-++z y x . 3.求过点)1,1,1(-且垂直于两平面02=-+z y x 和052=+-z y x 的平面方程.解:该平面的法向量为k j i kj i 37521211--=--,平面的方程为0)1(3)1(7)1(=--+--z y x ,即0537=---z y x .4.分别按下列条件求平面方程:(1)平行于yOz 平面且经过点)2,3,2(--; (2)通过y 轴和点)1,1,2(-;(3)求平行于x 轴,且经过两点)2,1,2(-和)1,0,4(-的平面方程. 解:(1)yOz 平面的法向量是)0,0,1(=n ,可作为所求平面的法向量,因此所求平面的方程为0)2(0)3(0)2(1=+⋅++⋅+-⋅z y x ,即2=x . (2)所求平面的法向量即垂直于y 轴又垂直于向量)1,1,2(-=n ,所以所求平面的法向量为k i kj i2010112+-=-,因此所求平面的方程为0)1(2)1(0)2(1=-⋅++⋅+-⋅-z y x ,即02=-z x .(3)由于所求平面平行于x 轴,故设所求平面方程为0=++D Cz By . 将点)2,1,2(-和)1,0,4(-分别代入0=++D Cz By 得02=+-D C B 及0=+-D C ,解得D C =及D B =. 因此所得方程为0=++D Dz Dy ,即01=++z y .§8.6 空间直线及其方程 1. 填空题 (1)直线421z y x =-=和平面442=+-z z x 的关系是(平面与直线互相垂直).(2)过点)0,1,1(-且与直线321123-+=-=-z y x 平行的直线的方程是(31121-=+=-zy x ). (3)直线182511+=--=-z y x 与直线⎩⎨⎧=+=-326z y y x 的夹角为(3π). 2.化直线⎩⎨⎧=++=+-522z y x z y x 为对称式方程和参数方程.解:直线的方向向量为k j i kj i n n s 3211211121++-=-=⨯=. 取10=x ,代入直线方程可得10=y ,20=z . 所以直线的对称式方程为321121-=-=--z y x . 令t z y x =-=-=--321121,所给直线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=tz t y t x 32121.3.求过点)3,0,2(且与直线⎩⎨⎧-=-+=+-1253742z y x z y x 垂直的平面方程.解:直线的方向向量可作为所求平面的法向量,即21n n n ⨯=)11,14,16(253421-=--=kj i . 所求平面的方程为0)3(11)0(14)2(16=-+-+--z y x ,即01111416=+--z y x .4. 确定λ的值,使直线:L ⎩⎨⎧=-+=-+02012z x y x 与平面1:=-+∏z y x λ平行,并求直线L 与平面∏之间的距离.解:直线L 的方向向量n k j i kj i --==2101012,要使直线L 与平面∏平行,只要0=⋅s n (其中=s )1,,1(-λ为平面∏的法向量),即0121=+-λ,解得1=λ. 令10=x ,代入直线L 的方程可得10-=y ,10=z ,直线L 与平面∏之间的距离33)1(11|)1(11111|222=-++-⨯+⨯-⨯=d .第八章 空间解析几何与向量代数综合练习 1.填空题:(1)已知1||=a ,2||=b ,且a 与b 夹角为3πθ=,则=-||b a (3).(2)若向量)1,2,1(-=a ,=b ),,3(μλ-平行,则=),(μλ()3,6(-). (3)已知向量OM 的模为10,且与x 轴的夹角为6π,与y 轴的夹角为3π,与z 轴的夹角为锐角,则OM =() 0 5, , 3(5).(4)曲线⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos (a 、b 为常数)在xOy 平面上投影曲线是(⎩⎨⎧==+0222z a y x ).(5)xOy 平面上曲线16422=-y x 绕x 轴旋转一周所得旋转曲面方程是(16)(4222=+-z y x ). (6)直线pz z n y y m x x 111-=-=-与平面0=+++D Cz By Ax 的夹角θ 的正弦=θsin (222222CB A pn m pC nB mA ++++++).(7)方程y z x =-22所表示的曲面名称为(双曲抛物面).(8)与两直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y x 122及112212-=-=+z y x 都平行,且过原点的平面方程是(0=+-z y x ).(9)已知动点),,(z y x P 到yOz 平面的距离与点P 到点)2,1,1(-的距离相等,则点P 的轨迹方程为(012)2()1(22=++-+-x z y ).(10)与两平面012=--+z y x 和032=+-+z y x 等距离的平面方程为(012=+-+z y x ).2. 设k i a -=,k j i b ++=,求向量c ,使得b c a =⨯成立,这样的c有多少个,求其中长度最短的c . 解:设=c ),,(z y x ,则c a⨯k y j x z i y zyk j ++-=-=)(10,则1,1-=+=x z y ,因此这样的c )1,1,(x x --=,有无穷个.由于||c 23)21(2)1(1222++=--++=x x x ,因此,当21-=x 时,即c )21,1,21(--=长度最短.3. 已知点)0,1,1(A 和点)2,1,0(B ,试在x 轴上求一点C ,使得ABC ∆的面积最小.解:设)0,0,(x C ,则)2,0,1(-=,)0,1,1(--=x,k j x i x j iAC AB +-+=---=⨯)1(221101,故A B C∆的面积为1)]1(2[221||2122+-+=⨯=x S ,显然,当1=x 时,ABC ∆的面积最小,为25,所求点为)0,0,1(. 4. 求曲线⎪⎩⎪⎨⎧+==+-2222242y x z z y x 在各坐标平面上的投影曲线方程.解:在xOy 平面投影为⎩⎨⎧==-04222z y x ;在y O z 平面投影为⎩⎨⎧==-043222x y z ;在zOx 平面投影为⎩⎨⎧==-04322y z x . 5.求原点关于平面:∏0=+++D Cz By Ax 的对称点的坐标.解:过原点作垂直于平面0=+++D Cz By Ax 的直线,该直线的方向向量等于平面∏的法向量),,(C B A ,所求直线的对称式方程为C z B y A x ==,即⎪⎩⎪⎨⎧===Ctz Bt y Atx 为其参数方程. 将此参数方程代入平面∏,有0)(222=+++D t C B A ,解得222C B A Dt ++-=,即直线与平面的交点为),,(222222222C B A CDC B A BD C B A AD ++-++-++-. 设所求的对称点为),,(000z y x ,则222020C B A AD x ++-=+,222020CB A BDy ++-=+,222020C B A CDz ++-=+,即所求的对称点为)2,2,2(222222222CB A CDC B A BD C B A AD ++-++-++-. 6.求直线11111:--==-z y x L 在平面012:=-+-∏z y x 上的投影直线绕x 轴线转一周所成曲面的方程. 解:过L 作垂直于平面∏的平面0∏,所求的直线L 在平面∏上的投影就是平面∏和0∏的交线. 平面0∏的法向量为:k j i kj i n 232111210--=--=,则过点),,(101的平面0∏的方程为:0)1(23)1(=----z y x ,即0123=+--z y x . 所以投影线为⎩⎨⎧=+--=-+-0123012z y x z y x . 将投影线表示为以x 为参数的形式:⎪⎩⎪⎨⎧--==)12(212x z x y ,则绕x 轴的旋转面的方程为2222)]12(21[)2(--+=+xx z y ,即0416*******=+---z y x x .7.求球心在直线11212--==-z y x 上,且过点)1,2,1(-和点)1,2,1(--的球面方程.解:设球心为),,(z y x ,则222222)1()2()1()1()2()1(-++++=++-+-z y x z y x ,即 02=-+z y x .又因为球心在直线上,直线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 122,将直线的参数方程代入02=-+z y x ,可得61-=t ,球心坐标为)67,31,611(-,所求球面方程为665)67()31()611(222=-+++-z y x .8.已知两条直线的方程是142211:1--=+=-z y x L ,10122:2z y x L =-=-,求过1L 且平行于2L 的平面方程.解:因为所求平面过1L ,所以点)4,2,1(-在平面上. 由于平面的法向量垂直于两直线的方向向量,因此平面的法向量为k j i kj i 43212121--=-.因此所求平面的方程为0)4(4)2(3)1(2=--+--z y x ,即08432=+--z y x .9. 在过直线⎩⎨⎧=++=+++0201z y x z y x 的所有平面中,求和原点距离最大的平面.解:设平面束方程为0)2(1=++++++z y x z y x λ,即01)1()1()12(=++++++z y x λλλ,平面与原点的距离为 31)32(61)1()1()12(|10)1(0)1(0)12(|2222++=++++++⨯++⨯++⨯+=λλλλλλλd要使平面与原点的距离最大,只要32-=λ,即该平面方程为03=---z y x .10. 设两个平面的方程为052=---z y x 和062=--+z y x(1)求两个平面的夹角. (2)求两个平面的角平分面方程. (3)求通过两个平面的交线,且和yOz 坐标面垂直的平面方程. 解:(1)两个平面的法向量为)1,1,2(1--=n 和)2,1,1(2-=n ,设两个平面的夹角为θ,则21)2(111)1(2|)2()1(1112|||||||cos 2222222121=-+++-+-⨯-+⨯-⨯=⋅=n n n n θ, 所以3πθ=.(2)因为角平分面上任意一点),,(z y x 到两个平面的距离相等,由点到平面的距离公式,可得222222)2(11|62|)1()1(2|52|-++--+=-+-+---z y x z y x ,即)62(52--+±=---z y x z y x ,所求的角平分面方程为12=+-z y x 或1133=-z x .(3)设通过两个平面的交线的平面方程为)62(52=--++---z y x z y x λ,即0)65)12()1()2(=--+--++λλλλz y x ,由于该平面垂直于yOz 坐标面,所以00)12(0)1(1)2(=⋅+-⋅-+⋅+λλλ,可得2-=λ,因此所求的平面方程为0733=--z y .。