轴上点P的坐标为x的充分必要条件是OP xi
平面上点的坐标
y
点M 向量 OM OP PM
OP OQ x i y j (x , y )
Q
M
平面的上点M的坐标为（x，y）的充分 j
必要条件是 OM x i y j
Oip x
高等数学(下册)
定理1. 设 a 为非零向量 , 则
a∥b
( 为唯一实数)
(1)2 12 ( 2)2 2
cos 1 , cos 2
2
2
2 ,
,
3
3
3
4
高等数学(下册)
例8. 设点 A 位于第一卦限, 向径 OA 与 x 轴 ，y 轴的夹
角依次为
3
,
4
,且
OA
6, 求点 A 的坐标 .
解:
已知
3
,
4
,
则
cos 2
1 cos 2
cos 2
1 4
因点
A
特殊点的坐标 :
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ;
坐标面上的点 A , B , C
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C(x, o, z)
r
o
O(0, 0, 0)
M
y
Q(0, y,0)
x P(x,0,0) A(x, y,0)
z
o
x
坐标面 :
高等数学(下册)
坐标轴 :
rM
O eu
u
M
过点 M作一平面
与轴 u 垂直，该
平面与轴 u交于
一点 M， 则OM
称为向量 OM 在
轴 u上的分向量 ，
设 OM
称数 为
eu
OM
则 在
轴 u上的投影，
记作Pr ju r 或 r u
高等数学(下册)
从而a (ax,ay ,az ) 在三条坐标轴上的投影，即
ax Pr jx a, ay Pr jy a,
三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 O ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
z z 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ
x
x轴(横轴)
Ⅷ
yoz面 o xoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
高等数学(下册)
在直角坐标系下
点 M 11 有序数组 (x, y, z) 11 向径 r 称有序数组为点M的坐标,记为 M (x, y, z)
代入②得
y
1
(3
x
b)
(11,
2
,16)
2
高等数学(下册)
例3. 已知两点 在AB直线上求一点 M , 使
及实数 1,
解: 设 M 的坐标为
如图所示
AM MB
AM OM OA
MB OB OM
故
OM O A (OB OM )
A
M B
o
A
得 即
OM
1
1
(OA
OB
B
1
1
(x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
高等数学(下册)
一、向量的概念
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1M2, a,
M2 M1
向量的模 : 向量的大小, 向径 (矢径): 起点为原点的向量. 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量,
高等数学(下册)
2. 方向角与方向余弦
设有两非零向量
称 =∠AOB
任取空间一点 O ,
(0≤
≤
)
为向量
a
,
b
的夹角.
记作
a
类似可定义向量与 x 轴,y 轴与z轴的夹角 . b
与三坐标轴的夹角 , ,
为其方向角.
方向角的余弦称为其方向余弦.
cos x
r
x x2 y2 z2
zR
P o
r
M
Q
y
x
高等数学(下册)
, 为实数，则
bz )
平行向量对应坐标成比例:
当
a
0
时,
bx by bz
ax ay az
bx ax by ay
bz az
高等数学(下册)
例2. 求解以向量为未知元的线性方程组
其中
a
5x 3x
3 2
y y
a b
（2，1，2）, b （1，1，
2）.
① ②
解: 2×①x －23a×②3b,得(7, 1,10)
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ;
因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .
的三角形是等腰直角三角形 .
证:
M1M 2 (10 4)2 (11)2 (6 9)2 7
M1M3 (2 4)2 (4 1)2 (3 9)2 7
M 2M3 (2 10)2(4 1)2 (3 6)2 7 2
M1M2 M1M3 , M1M2 2 M1M3 2 M2M3 2
即 M1M 2M3 为等腰直角三角形 .
特别的:
1a a ; 1a a ; 0a 0
高等数学(下册)
运算律 :
结合律
(
a)
(
a)
a
因此
分配律
(a
b
则有单位向量
) a
a
1 a
a.b
a a a
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定理1. 设 a 为非零向量 , 则
a∥b
( 为唯一实数)
直线上点的坐标
点P 向量OP xi 实数x
． Oi
x． Px
直线上点的坐标
点P 向量OP xi 实数x
． Oi
x． Px
轴上点P的坐标为x的充分必要条件是OP xi
平面上点的坐标
y
点M 向量 OM OP PM
OP OQ x i y j (x , y )
Q
M
平面的上点M的坐标为（x，y）的充分 j
必要条件是 OM x i y j
Oip x
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若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
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二、向量的线性运算
1. 向量的加法
平行四边形法则:
b b ab
a
a
三角形法则: a b
(a b) c
c
bc
a (b c)
ab b
b
a
a
运算规律 : 交换律 a b b a
结合律 (a b) c a (b c) a b c
cos x
r
cos ry cos z
r
x x2 y2 z2
y x2 y2 z2
z x2 y2 z2
方向余弦的性质:
zQ
r
M
P o
R
y
x
例7. 已知两点
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和
计算向量
的模 、方向余弦和方向角 .
解: M1M 2 ( 1 2, 3 2 , 0 2 ) (1, 1, 2 )
y
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2. 向量的坐标表示
在空 间 直 角坐标系下, 以 i , j , k 分别表示 x ,
任意向量 r 可用向径 OM 表示.
y , z 轴上的单位向量 , 设点 M
的坐标为 M (x , y , z), 则
z OM ON NM OA OB OC C
r
x
i
y
j
z
k
(x
,
y
,
z
)
此式称为向量 r 的坐标分解式 ,
ikO
j
r
M B y
A
x
N
沿三个坐标轴方向的分向量.
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四、利用坐标作向量的线性运算
设
a
(aax ,ba
a
y , az ), b (bx ,by ,bz ) (ax bx , ay by , az
( ax , ay , az )
M
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说明: 由
1
1
(x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
得定比分点公式:
A
x1 x2 1
,
y1 y2 1
,
z1 z2 1
M B
o
A
当 1时, 点 M 为 AB 的中点 ,于是得
中点公式:
B
x1
x2 2
,
y1 2
y2
,
z1 z2 2
M
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五、向量的模、方向角、投影
在第一卦限
, 故cos
1 2
,
于是
OA
OA
OA
6
(
1 2
,
2 2
,
1 2
)
(3,
3
2 ,3)
故点 A 的坐标为 (3,3 2 ,3).
高等数学(下册)
3.向量的投影的概念 空间一点在轴上的投影