Lx zk1
Ryk
x
1/ n
lim
k
mk
lim
k
zk
xn max(xn )
反幂法的一个主要应用是已知矩阵的近似特征值后，求其特征 向量。
如果已求得矩阵某个特征值 m 的近似值 m ，则
0 m m i m (i m) 于是，用反幂法可以求出 A m I 的按模最小特征值及相应
的特征向量。此时，迭代为：
Ak
Q k 1
Ak 1Qk
1
Ak相似于Ak－1 Ak相似于A1 A
最后，可以证明， Ak 的对角线下面的元素（不包括对角线）
收敛于零，由相似关系，不难推出其对角线上的元素收敛
到矩阵 A 的特征值！
最后，要指出的是，当用 QR 方法求出特征值后（准确讲，是 特征值的近似值），我们可以用反幂法求出更加精确的特征 值，更为重要的是可以求出相应的特征向量。
（1）如 A 为实对称矩阵，则一定存在正交矩阵 Q ，使之相似 于一个对角矩阵，而该对角矩阵的对角元正是 A 的特征值。
Q Q1 , QQ I , QAQ
（2）一个矩阵左乘一个正交矩阵或右乘一个正交矩阵，其E范
数不变。
nn
A 2 E
ai2j
trace( A A) trace( AQQA)
（尤其，对于对称矩阵可以化为三对角矩阵）
（2）利用带原点位移的QR 方法构造矩阵序列 Ak
（3）对矩阵
Ak
取加速因子
a(k nn
)
进行加速
（4）判断矩阵 Ak 的最后一行非对角元素（由于是拟上三
(k 1)
ij
ij
(i, j p, q)
为使
a(k ) pq
0
，必须
tg 2
2a(pkq1)
a a (k1) pp
(k 1) qq
在这里，我们通常，限制
/4
，如果
a( k 1) pp
a( k 1) qq
，
当
a( k 1) pq
0
时，取 / 4
，当
a( k 1) pq
0
时， / 4
在具体计算第 k 步迭代矩阵的元素时，需要计算正弦值和余弦
sk
a 为
(k ) nn
，则
Ak
最后一行非对角元二阶收
敛于零（特别对于对称矩阵，能达到三阶收敛），其余次对
角元收敛于零的速度会慢一些。
加速技术下的算法：
（1）确定计算精度10E-m
（2）对矩阵 Ak
取加速因子
a(k) nn
进行加速
（3）判断矩阵 Ak 的最后一行非对角元素是否小于要求的精
度，如果不小于，继续加速迭代，如已经小于精度，停止
这叫原点移位法。
1 p 2 p i p (i 3, 4, , n)
2 p 2 1 p 1 求得A pI的按模最大特征值1, A的按模最大特征值1 1 p
埃特金加速： 可以证明：乘幂法线性收敛
mk1 1 2
mk 1
1
[zk1 10 ] i 2
[zk 10 ] i
1
n
a(m) ij
i j1
停止计算，这时，
Am RmRm1 R1AR1 Rm1Rm Pm APm
则对角阵的对角元为特征值近似值，矩阵 P 的列向量为特征向
量近似值。实际计算中，矩阵 P 是按如下步骤计算：
P0 I
,
Pk
Pk
R
1 k
(k 1, 2,
, m)
p(k) ip
p(k 1) ip
( A mk
m ) yk
max(
yk
zk )
1
zk
yk
/ mk
lim
k
zk
xm max(xm )
(k 1, 2, , z0任意给定)
lim
k
mk
m
1
m
通常，初值选为：
z0 Le e (1,1, ,1)
这里，矩阵 L 为 角矩阵。
A m I LR 分解中的单位下三
第二节 对称矩阵的雅可比方法 两个重要的基本性质：
R1
R1
A(1) 22
R1
于是，取R为Householder矩阵，则 R1c1 化为除第一个分量外
其余分量为零的向量。
如此下去，可以将矩阵 A 化为拟上三角矩阵。
利用前面带原点位移的QR 方法的性质，可以看出，用拟上三 角矩阵进行原点位移的QR 方法计算是非常方便的。
QR 方法的总结： （1）利用Householder矩阵，将矩阵 A 相似于拟上三角矩阵
)
(2 , 0,
, 0)
于是，我们记
1 0
Q2
H
2
则
ห้องสมุดไป่ตู้
1
a(2) 12
2
a(3) 13
a(3) 23
Q2
A1
Q2Q1 A
a(3) 33
0
a(3) 3n
a(3) 12
a(3) 2n
a(3) 3n
1
a(2) 12
2
*
*
A2
a(3) nn
如此一直下去，最后得到
Qn1Qn2 Q1 A R 记 Qˆ Qn1Qn2 Q1 ，注意到这是一个正交矩阵，令 Qˆ Q
如此，产生一个新的阵，然后再重复上面的步骤，直到最后将
A 化为对角矩阵，则对角元就是所要求的特征值！
将上述过程数学化，首先，记 A A0 ，则
A1 R1 A0R1 , A2 R2 A1R2 ,
,
Ak
Rk
Ak
R
1 k
,
Ak 1 (ai(jk 1) )nn
,
ak 1 pq
max 1i jn
a(k 1) ij
3.3 带原点位移的QR 方法
为加速收敛，每次选取位移 sk ，作
Ak Ak
1
sk
I Qk Rk RkQk sk
I
(k 1, 2,
)
该矩阵序列有如下性质：
（1） Ak1相似于Ak
（2）如 Ak 为拟上三角，则 Ak 也为拟上三角矩阵（拟上三角
矩阵指的是次对角线下的元素为零的矩阵）
（3）如取位移
(1e1,
a(2) 2
,
, an )
,
a(2) n
)
1
a(2) 12
a(2) 22
a(2) n2
a(2) 12
a(2) 2n
a(2) nn
1
a(2) 2 A1
对矩阵 A1 又再重复前面的过程，即求出Householder矩阵 H2
H2 (a2(22) ,
,
a(2) n2
)
e(2
21
zk zk1 stop
例子：求矩阵的模最大特征值及其特征向量
1 2 1
A
2
4
1
1 1 6
计算结果
程序
%用乘幂法计算矩阵模最大的特征值和相应的特征向量 A=[-1,2,1;2,-4,1;1,1,-6] z0=[1,1,1]'; errtel=1e-6; er=1; k=0; while er>errtel
Hx x g 2
x x g
u
2
x x g
2
特别，取 g = e = ( 1 , 0 , …… , 0)
n
Hx x 2 e1 ( x 2 , 0, , 0) ( xi2 , 0, , 0) i 1
将矩阵 A 记为
A (a1, a2, , an ) , aj (a1j , a2 j , , anj )
cos
a(k iq
1)
sin
p(k) iq
p(k ip
1)
sin
p(k 1) iq
cos
p p (k )
(k 1)
ij
ij
( j p, q)
i 1, 2,
,n
最后，雅可比方法的计算步骤可以归纳为： （1）确定非对角绝对值最大元位置（p，q），并计算sin和
cos的值； （2）计算迭代矩阵的元素； （3）计算特征向量； （4）与计算精度进行比较，以决定是否终止计算，并输出特
zk
yk
/ mk
1/ n
lim
k
mk
为避免矩阵的求逆运算，通常也采取如下的算法：
Ayk zk1 (k 1, 2, mk max( yk ) zk yk / mk
, z0任意给定)
每次迭代需要解 Ayk zk1 ，为此，可将 A 进行LR分解，
则每次迭代只需解两个三角方程组
最后求得：
k=k+1; yk=A*z0; [c,p]=max(abs(yk)); mk=yk(p) zk=yk/mk; er=norm(zk-z0); z0=zk; end k,mk,zk
1.2 加速技术： 显然，乘幂法的收敛速度依赖
2 1
，如此比值接近1，则收敛
速度会很慢。
用 A－ pI 代替A，进行乘幂法。迭代速度可能会大大加快。
征值和特征向量。
第三节 QR 分解方法 3.1 QR 分解 设 u 为n维实单位向量，称下面矩阵为Householder矩阵：
H I 2uu
容易验证Householder矩阵为正交阵，同时又是对称阵：
HH I , H H
对任意的向量 x 以及单位向量 g，存在Householder矩阵，使
QA
2 E
i1 j1
A2
A 2
Q A 2
( AQ) 2
2
AQ
E
E
E