高考数学压轴题系列训练一(含答案)1.(本小题满分12分)已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ,它们在x 轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点.(Ⅰ)求这三条曲线的方程;(Ⅱ)已知动直线l 过点()3,0P ,交抛物线于,A B 两点,是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值?若存在,求出l '的方程;若不存在,说明理由.2.(本小题满分14分)已知正项数列{}n a 中,16a =,点(n n A a 在抛物线21yx =+上;数列{}n b 中,点(),n n B n b 在过点()0,1,以方向向量为()1,2的直线上.(Ⅰ)求数列{}{},n n a b 的通项公式;(Ⅱ)若()()()n n a f n b ⎧⎪=⎨⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数,问是否存在k N ∈,使()()274f k f k +=成立,若存在,求出k 值;若不存在,说明理由; (Ⅲ)对任意正整数n ,不等式1120111111n n n a b b b +≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立,求正数a 的取值范围.3. (本小题满分12分)将圆O: 4y x 22=+上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变), 得到曲线C. (1) 求C 的方程;(2) 设O 为坐标原点, 过点)0,3(F 的直线l 与C 交于A 、B 两点, N 为线段AB 的中点,延长线段ON 交C 于点E.求证: 2=的充要条件是3|AB |= .4.(本小题满分14分)已知函数241)x (f x +=)R x (∈.(1) 试证函数)x (f 的图象关于点)41,21( 对称;(2) 若数列}a {n 的通项公式为)m ,,2,1n ,N m ()mn(f a n =∈=+, 求数列}a {n 的前m 项和;S m (3)设数列}b {n 满足:31b 1=,n2n 1n b b b +=+. 设1b 11b 11b 1T n 21n ++++++=. 若(2)中的n S 满足对任意不小于2的正整数n, n n T S <恒成立, 试求m 的最大值.5.(本小题满分12分)E 、F 是椭圆2224x y +=的左、右焦点,l 是椭圆的右准线,点P l ∈,过点E 的直线交椭圆于A 、B 两点.(1) 当AE AF ⊥时,求AEF ∆的面积; (2) 当3AB =时,求AF BF +的大小; (3) 求EPF ∠的最大值.6.(本小题满分14分)已知数列{}n a 中,113a =,当2n ≥时,其前n 项和n S 满足2221nn n S a S =-,(1) 求n S 的表达式及2limnn na S →∞的值;(2) 求数列{}n a 的通项公式; (3)设n b =n N ∈且2n ≥时,n n a b <.7. (本小题满分14分)设双曲线2222by a x =1( a > 0, b > 0 )的右顶点为A ,P 是双曲线上异于顶点的一个动点,从A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP 分别交于Q 和R 两点.压轴题训练一·详解解析1. (本小题12分)已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ,它们在x 轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点.(Ⅰ)求这三条曲线的方程;(Ⅱ)已知动直线l 过点()3,0P ,交抛物线于,A B 两点,是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值?若存在,求出l '的方程;若不存在,说明理由.解:(Ⅰ)设抛物线方程为()220y px p =>,将()1,2M 代入方程得2p =24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………(1分)由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………(2分) 对于椭圆,1222a MF MF =+=+(222222211321a ab ac ∴=+∴=+=+∴=-=+∴= 椭圆方程为:………………………………(4分)对于双曲线,1222a MF MF '=-=2222221321a abc a '∴'∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为:………………………………(6分)(Ⅱ)设AP 的中点为C ,l '的方程为:x a =,以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点,DE 中点为H令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ C ………………………………………………(7分)()1112312322DC AP x CH a x a ∴=+=-=-+()()()2222221112121132344-23246222DH DC CH x y x a a x a aa DH DE DH l x ⎡⎤⎡⎤∴=-=-+--+⎣⎦⎣⎦=-+==-+=∴=='= 当时,为定值; 此时的方程为: …………(12分)2.(14分)已知正项数列{}n a 中,16a =,点(n n A a 在抛物线21y x =+上;数列{}n b 中,点(),n n B n b 在过点()0,1,以方向向量为()1,2的直线上.(Ⅰ)求数列{}{},n n a b 的通项公式;(Ⅱ)若()()()n n a f n b ⎧⎪=⎨⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数,问是否存在k N ∈,使()()274f k f k +=成立,若存在,求出k 值;若不存在,说明理由; (Ⅲ)对任意正整数n ,不等式1120111111n n n a b b b +≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立,求正数a 的取值范围.解:(Ⅰ)将点(n n A a 代入21y x =+中得()11111115:21,21n n n n n n a a a a d a a n n l y x b n ++=+∴-==∴=+-⋅=+=+∴=+ 直线 …………………………………………(4分)(Ⅱ)()()()521n f n n ⎧+⎪=⎨+⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数………………………………(5分)()()()()()()27274275421,42735227145,24k k f k f k k k k k k k k k k ++=∴++=+∴=+∴++=+∴== 当为偶数时,为奇数, 当为奇数时,为偶数, 舍去综上,存在唯一的符合条件。
……………………(8分)(Ⅲ)由1120111111n n n a b b b +≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()121212111111111111111111111111124123nn n n n a b b b f n b b b f nb b b b fn n fn b n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+++ ⎪⎪⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎫⎛⎫=+++⎪⎪⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎫⎛⎫∴+=++++⎪⎪⎪⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎛⎫+∴=+== ⎪+⎝⎭ 即记 ()()()()()min 11,4130f n f n f n f n f a =>∴+>∴===∴<≤即递增, ………………………………(14分)3.(本小题满分12分)将圆O: 4y x 22=+上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变), 得到曲线C. (1) 求C 的方程;(2) 设O 为坐标原点, 过点)0,3(F 的直线l 与C 交于A 、B 两点, N 为线段AB 的中点,延长线段ON 交C 于点E.求证: 2=的充要条件是3|AB |= .解: (1)设点)y ,x (P '' , 点M 的坐标为)y ,x ( ,由题意可知⎩⎨⎧='=',y 2y ,x x ………………(2分)又,4y x 22='+'∴1y 4x 4y 4x 2222=+⇒=+. 所以, 点M 的轨迹C 的方程为1y 4x 22=+.………………(4分) (2)设点)y ,x (A 11 , )y ,x (B 22 , 点N 的坐标为)y ,x (00 , ㈠当直线l 与x 轴重合时, 线段AB 的中点N 就是原点O,不合题意,舍去; ………………(5分) ㈡设直线l: ,3my x +=由⎪⎩⎪⎨⎧=++=4y 4x 3my x 22消去x,得01my 32y )4m (22=-++………………① ∴,4m m3y 20+-=………………(6分)∴4m 344m 34m 34m m 33my x 2222200+=++++-=+=, ∴点N 的坐标为)4m m 3,4m 34(22+-+ .………………(8分) ①若2=, 坐标为, 则点E 的为)4m m32,4m 38(22+-+ , 由点E 在曲线C 上,得1)4m (m 12)4m (4822222=+++, 即,032m 4m 24=-- ∴4m (8m 22-== 舍去). 由方程①得,14m 1m 44m 16m 4m 12|y y |2222221=++=+++=-又|,)y y (m ||my my ||x x |212121-=-=-∴3|y y |1m |AB |212=-+= .………………(10分)②若3|AB |= , 由①得,34m )1m (422=++∴ .8m 2= ∴点N 的坐标为)66,33(± , 射线ON 方程为: )0x (x 22y >±= , 由⎪⎩⎪⎨⎧=+>±=4y 4x )0x (x 22y 22 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±==36y 332x ∴点E 的坐标为),36,332(± ∴OE ON 2=.综上, 2=的充要条件是3|AB |= .………………(12分) 4.(本小题满分14分)已知函数241)x (f x+=)R x (∈. (1) 试证函数)x (f 的图象关于点)41,21( 对称;(2) 若数列}a {n 的通项公式为)m ,,2,1n ,N m ()mn(f a n =∈=+, 求数列}a {n 的前m 项和;S m (3)设数列}b {n 满足:31b 1=,n2n 1n b b b +=+. 设1b 11b 11b 1T n 21n ++++++=. 若(2)中的n S 满足对任意不小于2的正整数n, n n T S <恒成立, 试求m 的最大值. 解: (1)设点)y ,x (P 000 是函数)x (f 的图象上任意一点, 其关于点)41,21( 的对称点为)y ,x (P .由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+412y y 212x x 00 得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.y 21y ,x 1x 00 所以, 点P 的坐标为P )y 21,x 1(00-- .………………(2分) 由点)y ,x (P 000 在函数)x (f 的图象上, 得241y 0x 0+=. ∵,)24(244244241)x 1(f 0000x x x x x 10+=⋅+=+=-- =+-=-24121y 210x 0,)24(2400x x + ∴点P )y 21,x 1(00-- 在函数)x (f 的图象上. ∴函数)x (f 的图象关于点)41,21( 对称. ………………(4分) (2)由(1)可知, 21)x 1(f )x (f =-+, 所以)1m k 1(21)m k 1(f )m k (f -≤≤=-+ ,即,21a a , 21)m k m (f )m k (f k m k =+∴=-+- ………………(6分) 由m 1m 321m a a a a a S +++++=- , ……………… ①得,a a a a a S m 13m 2m 1m m +++++=--- ………………② 由①+②, 得,612m 61221m a 221)1m (S 2m m -=⨯+-=+⨯-= ∴).1m 3(121S m -=………………(8分) (3) ∵,31b 1=)1b (b b b b n n n 2n 1n +=+=+, ………………③∴对任意的0b ,N n n >∈+ . ………………④ 由③、④, 得,1b 1b 1)1b (b 1b 1n n n n 1n +-=+=+即1n n n b 1b 11b 1+-=+. ∴1n 1n 11n n 3221n b 13b 1b 1)b 1b 1()b 1b 1()b 1b 1(T +++-=-=-++-+-= .……………(10分)∵,b b ,0b b b n 1n 2n n 1n >∴>=-++ ∴数列}b {n 是单调递增数列. ∴n T 关于n 递增. 当2n ≥, 且+∈N n 时, 2n T T ≥. ∵,8152)194(94b ,94)131(31b ,31b 321=+==+==∴.5275b 13T T 12n =-=≥………………(12分) ∴,5275S m <即,5275)1m 3(121<-∴,394639238m =< ∴m 的最大值为6. ……………(14分)5.(12分)E 、F 是椭圆2224x y +=的左、右焦点,l 是椭圆的右准线,点P l ∈,过点E 的直线交椭圆于A 、B 两点.(4) 当AE AF ⊥时,求AEF ∆的面积; (5) 当3AB =时,求AF BF +的大小; (6) 求EPF ∠的最大值.解:(1)2241282AEF m n S mn m n ∆+=⎧⇒==⎨+=⎩(2)因484AE AF AB AF BF BE BF ⎧+=⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,则 5.AF BF +=(4)设)(0)P t t > ()tan EPF tan EPM FPM ∠=∠-∠(1=÷==≤,当t =30tan EPF EPF ∠=⇒∠= 6.(14分)已知数列{}n a 中,113a =,当2n ≥时,其前n 项和n S 满足2221nn n S a S =-,(5) 求n S 的表达式及2limnn na S →∞的值;(6) 求数列{}n a 的通项公式; (7)设n b =n N ∈且2n ≥时,n n a b <.解:(1)2111121122(2)21n n n n n n n n n n n S a S S S S S S n S S S ----=-=⇒-=⇒-=≥-所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.则121n S n =+. 222limlim 2212lim 1n n n n nn n a S S S →∞→∞→∞===---.(2)当2n ≥时,12112212141n n n a S S n n n --=-=-=+--, 综上,()()21132214n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩.(3)令a b ==2n ≥时,有0b a <<≤ (1) 法1:等价于求证112121n n >-+当2n ≥时,0<≤令()23,0f x x x x =-<≤()233232(1)2(12(10222f x x x x x x x '=-=-≥-=->, 则()f x 在递增. 又0<<≤ 所以g g <即n n a b <. 法(2)223311()2121n n a b b a b a n n -=--=---+- 22()()a b a b ab a b =-++-- (2) 22()[()()]22ab ab a b a a b b =-+-++- ()[(1)(1)]22b a a b a a b b =-+-++- (3)因3111110222a b a b a +-<+-<-<=-<,所以(1)(1)022b a a a b b +-++-< 由(1)(3)(4)知n n a b <.法3:令()22g b a b ab a b =++--,则()12102a g b b a b -'=+-=⇒= 所以()()(){}{}220,,32g b max g g a max a a a a ≤=--因0a <≤则()210a a a a -=-<,22323()303a a a a a -=-≤< 所以()220gb a b ab a b =++--< (5)由(1)(2)(5)知n n a b <7. (本小题满分14分)设双曲线2222by a x -=1( a > 0, b > 0 )的右顶点为A ,P 是双曲线上异于顶点的一个动点,从A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP 分别交于Q 和R 两点.(1) 证明:无论P 点在什么位置,总有|→--OP |2= |→-OQ ·→--OR | ( O 为坐标原点); (2) 若以OP 为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积,求双曲线离心率的取值范围;解:(1) 设OP :y = k x, 又条件可设AR: y =ab (x – a ), 解得:→--OR = (b ak ab --,b ak kab --), 同理可得→-OQ = (b ak ab +,b ak kab +), ∴|→-OQ ·→--OR | =|b ak ab --b ak ab ++b ak kab --b ak kab +| =|b k a |)k 1(b a 222222-+. 4分 设→--OP = ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP 方程联立解得: m 2 =22222k a b b a -, n 2 = 222222k a b b a k -, ∴ |→--OP |2 = :m 2 + n 2 = 22222k a b b a -+ 222222k a b b a k -=222222k a b )k 1(b a -+ , ∵点P 在双曲线上,∴b 2 – a 2k 2 > 0 .∴无论P 点在什么位置,总有|→--OP |2 = |→-OQ ·→--OR | . 4分 (2)由条件得:222222k a b )k 1(b a -+= 4ab, 2分 即k 2 = 22a 4ab ab b 4+-> 0 , ∴ 4b > a, 得e > 417 2分。