f
( n 1) n
f
(1) ，数列an 是
等差数列吗？请给予证明；
（Ⅲ）令 bn
4 4an 1 ,Tn
b12
b22
b32
bn2 , Sn
32 16 . n
试比较 Tn 与 Sn 的大小．
y
11. ：如图，设 OA、OB 是过抛物线 y2＝2px 顶点 O 的两条 A
→→ 弦，且OA·OB＝0，求以 OA、OB 为直径的两圆的另一个交点
（3）设 AP AQ （ 1），过点 P 且平行于准线 l 的直线与椭圆相交于另一点 M ，证
明 FM FQ . (14 分)
2 ． 已 知 函 数 f (x) 对 任 意 实 数 x 都 有 f (x 1) f (x) 1， 且 当 x [0,2] 时 ，
f (x) | x 1 | 。
（2）若 cn
n |
5 P1 Pn
(n |
2), 求 lnim(c1
c2
cn ) ；
（3）若
f
(n)
a
n
(n
bn (n
2k 1) (k
（1）当点 P 在 y 轴上移动时，求点 M 的轨迹 C； （2）过点 T（－1，0）作直线 l 与轨迹 C 交于 A、B 两点，若在 x 轴上存在一点 E（x0,0），使 得△ABE 为等边三角形，求 x0 的值.
.
.
16.（14
分）设
f1(x)=
1
2
x
,定义 fn+1
(x)=f1［fn(x)］,an=
21、已知函数 f (x) 3x 2 bx 1是偶函数， g(x) 5x c 是奇函数，正数数列 an 满足
an 1, f ( an an1 ) g( an1an an 2 ) 1
① 求 an 的通项公式；
②若
an
的前
n
项和为
S
n
，求
lim
n
S
n
.
22、直角梯形 ABCD 中∠DAB＝90°，AD∥BC，AB＝2，AD＝ 3 ，BC＝ 1 ．椭圆 C 以 A、B 为
6 已知过函数 f（x）= x3 ax 2 1 的图象上一点 B（1，b）的切线的斜率为－3。
（1） 求 a、b 的值； （2） 求 A 的取值范围，使不等式 f（x）≤A－1987 对于 x∈[－1，4]恒成立；
（3） 令 gx f x 3x2 tx 1。是否存在一个实数 t，使得当 x (0,1]时，g（x）有
=
x2
7x x
1
.
(I) 求当 X<0 时, f (x) 的解析式;
(II) 试确定函数 y = f (x) (X 0)在 1,的单调性，并证明你的结论.
.
.
(III) 若 x1 2 且 x2 2 ，证明：| f (x1 ) － f (x2 ) |<2.
25、已知抛物线 y 2 4x 的准线与 x 轴交于 M 点，过 M 作直线与抛物线交于 A、B 两点，若
项公式 an，并证明你的结论. 30、已知点集 L {(x, y) | y m n}, 其中 m (2x b,1), n (1,b 1), 点列 Pn (an ,bn ) 在 L
中， P1 为 L 与 y 轴的交点，等差数列{an }的公差为 1， n N 。
（1）求数列{an }，{bn }的通项公式；
(1). 求 f( )和f ( ) 的值。
（2）。证明：f(x)在[ , ] 上是增函数。
（3）。对任意正数 x1、x2,求证：
f ( x1 x2 ) x1 x2
f ( x1 x1
x2 ) x2
2
14 ． 已 知 数 列 {an} 各 项 均 为 正 数 ， Sn 为 其 前 n 项 的 和 . 对 于 任 意 的 n N * ， 都 有
（I） 求点 （x，y）的轨迹 C 的方程；
（ II ） 若 直 线 L ： y=kx+m(m 0) 与 曲 线 C 交 于 A 、 B 两 点 ， D （ 0 ， –1 ）， 且 有
|AD|=|BD|，试求 m 的取值范围．
18．已知函数 f (x) 对任意实数 p、q 都满足 f ( p q) f ( p) f (q), 且f (1) 1 . 3
f n (0) 1 f n (0) 2
,其中 n∈N*.
(1) 求数列｛an｝的通项公式；
(2)若
T2n=a1+2a2+3a3+…+2na2n,Qn=
4n 2 4n2
n 4n
1
,其中
n∈N*,试比较
9T2n
与
Qn
的大小.
17． 已知 a =（x,0）， b =（1，y），（ a + 3 b ） （ a – 3 b ）．
圆心，1 为半径的圆相切，又知 C 的一个焦点与 A 关于直线 y x 对称．
（Ⅰ）求双曲线 C 的方程；
（Ⅱ）设直线 y mx 1 与双曲线 C 的左支交于 A，B 两点，另一直线 l 经过 M（-2，0） 及 AB 的中点，求直线 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围；
（Ⅲ）若 Q 是双曲线 C 上的任一点， F1F2 为双曲线 C 的左，右两个焦点，从 F1 引 F1QF2
f (an ),2n 4(n N ) 成等差数列.
（1）求数列{an }的通项 an ；
（2）若
0
a
1,
数列{an
}
的前
n
项和为
Sn，求
lim
n
S
n
；
（3）若 a 2, 令bn an f (an ) ，对任意 n N ,都有bn f 1 (t) ,求实数 t 的取值范围.
Hale Waihona Puke 20．已知△OFQ 的面积为 2 6,且OF FQ m. （1）设 6 m 4 6,求向量OF与FQ的夹角 正切值的取值范围；
（1）当 n N 时，求 f (n) 的表达式；
（2）设 an nf (n)
(n
N ), 求证：
n
ak
k 1
3; 4
（3）设 bn
nf (n 1) f (n)
(n N ),
Sn
n
bk
k 1
, 试比较
n k 1
1 Sk
与 6 的大小．
19．已知函数 f (x) loga x(a 0且a 1), 若数列： 2, f (a1 ), f (a2 ), …，
（1）求证：对一切 x R, f (x) f (1 x) 为定值；
（2）记 an
f (0)
f (1) n
f (2) n
f ( n 1) n
f (1)
项公式及前 n 项和.
(n N*), 求数列 {an}的通
24. 已知函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数.当 X 0 时,
f
(x)
最大值 1？
7 已知两点 M（－2，0），N（2，0），动点 P 在 y 轴上的射影为 H，︱ PH ︱是 2 和 PM PN
的等比中项。 （1） 求动点 P 的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线； （2） 若以点 M、N 为焦点的双曲线 C 过直线 x+y=1 上的点 Q，求实轴最长的双曲线 C 的
（2）设以 O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点 Q（如图），| OF | c, m ( 6 1)c2 ， 4
.
.
当| OQ | 取得最小值时，求此双曲线的方程. （3）设 F1 为（2）中所求双曲线的左焦点，若 A、B 分别为此双曲线渐近线 l1、l2 上的动
点，且 2|AB|=5|F1F|，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
4Sn an 12 . I、求数列an 的通项公式.
II、若 2n tSn 对于任意的 n N * 恒成立，求实数 t 的最大值.
15.( 12 分)已知点 H（－3，0），点 P 在 y 轴上，点 Q 在 x 轴的正半轴上，点 M 在直线 PQ 上，
且满足 HP · PM =0， PM =－ 3 MQ ， 2
2
2
焦点且经过点 D．
（1）建立适当坐标系，求椭圆 C 的方程；
（2）若点 E 满足 EC 1 AB ，问是否存在不平行 AB 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点且 2
| ME || NE | ，若存在，求出直线 l 与 AB 夹角的范围，若不存在，说明理由．
23、．设函数 f (x) 1 , 4x 2
.
高考数学压轴题集锦
1．椭圆的中心是原点 O，它的短轴长为 2 2 ，相应于焦点 F (c,0) （ c 0 ）的准线 l 与 x 轴
相交于点 A ， OF 2 FA ，过点 A 的直线与椭圆相交于 P 、 Q 两点。 （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若 OP OQ 0 ，求直线 PQ 的方程；
的平分线的垂线，垂足为 N，试求点 N 的轨迹方程．
10. f (x) 对任意 x R 都有 f (x) f (1 x) 1 . 2
（Ⅰ）求 f (1 ) 和 f ( 1 ) f ( n 1) (n N ) 的值．
2
n
n
.
.
（Ⅱ）数列 an 满足： an
=
f
(0) +
f
(1) n
f
( 2) n
（1） （2） （3）
若动点 M 到点 F 的距离比它到直线 L 的距离小 1，求动点 M 的轨迹 E 的方程；
过点 F 的直线 g 交轨迹 E 于 G（x1，y1）、H（x2，y2）两点，求证：x1x2 为定值； 过轨迹 E 上一点 P 作圆 C 的切线，切点为 A、B，要使四边形 PACB 的面积 S 最小，求