高考压轴题专题训练1． 已知点)1,0(F ，一动圆过点F 且与圆8)1(22=++y x 内切．（1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2）设点)0,(a A ，点P 为曲线C 上任一点，求点A 到点P 距离的最大值)(a d ；（3）在10<<a 的条件下，设△POA 的面积为1S （O 是坐标原点，P 是曲线C 上横坐标为a 的点），以)(a d 为边长的正方形的面积为2S ．若正数m 满足21mS S ≤，问m 是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由．2． 在直角坐标平面上有一点列),(111y x P ，),(222y x P ，…，),(n n n y x P ，…，对每个正整数n ，点n P 位于一次函数45+=x y 的图像上，且n P 的横坐标构成以23-为首项，1-为公差的等差数列{}n x ． （1）求点n P 的坐标； （2）设二次函数)(x f n 的图像n C 以n P 为顶点，且过点)1,0(2+n D n ，若过n D 且斜率为n k 的直线n l 与n C 只有一个公共点，求⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++-∞→n n n k k k k k k 13221111lim Λ的值． （3）设n x x x S 2{==，n 为正整数}，n y y y T 12{==，n 为正整数}，等差数列{}n a 中的任一项T S a n I ∈，且1a 是T S I 中的最大数，11522510-<<-a ，求{}n a 的通项公式．3.已知点A （－1，0)，B （1,0)，C （－ 5712,0)，D （5712,0)，动点P （x , y )满足AP →·BP →＝0，动点Q （x , y )满足|QC →|+|QD →|＝103⑴求动点P 的轨迹方程C 0和动点Q 的轨迹方程C 1；⑵是否存在与曲线C 0外切且与曲线C 1内接的平行四边形，若存在，请求出一个这样的平行四边形，若不存在，请说明理由；⑶固定曲线C 0，在⑵的基础上提出一个一般性问题，使⑵成为⑶的特例，探究能得出相应结论（或加强结论）需满足的条件，并说明理由。
4.已知函数f (x )＝m x 2＋(m －3）x ＋1的图像与x 轴的交点至少有一个在原点右侧， ⑴求实数m 的取值范围；⑵令t ＝－m ＋2，求[1t]；(其中[t ]表示不超过t 的最大整数，例如：[1]＝1， [2.5]＝2， [－2.5]＝－3)⑶对⑵中的t ，求函数g (t )＝t ＋1t[t ][1t ]+[t ]+[1t]+1的值域。
5.已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径为圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线y=x 对称. （1）求双曲线C 的方程；（2）若Q 是双曲线C 上的任一点，F 1、F 2为双曲线C 的左、右两个焦点，从F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程.（3）设直线y=m x +1与双曲线C 的左支交于A 、B 两点，另一直线L 经过M （－2，0）及AB 的中点，求直线L 在y 轴上的截距b 的取值范围. 6．已知)(x f 是定义在R 上的恒不为零的函数，且对于任意的x 、R y ∈都满足：)()()(y x f y f x f +=⋅（1）求)0(f 的值，并证明对任意的R x ∈，都有0)(>x f ；（2）设当0<x 时，都有)0()(f x f >，证明)(x f 在()+∞∞-,上是减函数；（3）在（2）的条件下，求集合{})lim (,),(,),(),(21n n n S f S f S f S f ∞→ΛΛ中的最大元素和最小元素。
7.直线)(*N n n y x ∈=+与x 轴、y 轴所围成区域内部（不包括边界）的整点个数为n a ，所围成区域内部（包括边界）的整点个数为n b .（整点就是横坐标，纵坐标都为整数的点） （1）求3a 和3b 的值； （2）求n a 及n b 的表达式；（3）对n a 个整点中的每一个点用红、黄、蓝、白四色之一着色，其方法总 数为A n ，对n b 个整点中的每一个点用红、黄两色之一着色，其方法总数为B n ，试比较A n 与B n 的大小． 8.已知动点M 到定点（1，0）的距离比M 到定直线2-=x 的距离小1。
⑴求证：M 点轨迹为抛物线，并求出其轨迹方程；（2）大家知道，过圆上任意一点P ，任意作相互垂直的弦PB PA ,，则弦AB 必过圆心（定点），受此启发，研究下面的问题：①过（1）中的抛物线的顶点O 任作相互垂直的弦OB OA ,，则弦AB 是否经过一个定点？若经过定点（设为Q ），请求出Q 点的坐标，否则说明理由；②研究：对于抛物线px y 22=上顶点以外的定点是否也有这样的性质？请提出一个一般的结论，并证明。
9．若函数)(x f A 的定义域为12)1()(),,[2+--+==abx b a x x f b a A A 且，其中a 、b 为任意正实数，且a<b 。
（1）当A=)7,4[时，研究)(x f A 的单调性（不必证明）；（2）写出)(x f A 的单调区间（不必证明），并求函数)(x f A 的最小值、最大值；（3）若),)2(,)1[(),)1(,[2212221++=∈+=∈+k k I x k k I x k k 其中k 是正整数，对一切正整数k 不等式m x f x f k k I I <++)()(211都有解，求m 的取值范围。
10．我们把数列}{kn a 叫做数列}{n a 的k 方数列（其中a n >0，k ，n 是正整数），S （k ，n ）表示k 方数列的前n 项的和。
（1）比较S （1，2）·S （3，2）与[S （2，2）]2的大小；（2）若}{n a 的1方数列、2方数列都是等差数列，a 1=a ，求}{n a 的k 方数列通项公式。
（3）对于常数数列a n =1，具有关于S （k ，n ）的恒等式如：S （1，n ）=S （2，n ），S （2，n ）=S （3，n ）等等，请你对数列}{n a 的k 方数列进行研究，写出一个不是常数数列}{n a 的k 方数列关于S （k ，n ）的恒等式，并给出证明过程。
11.记函数)()(1x f x f =，)())((2x f x f f =,它们定义域的交集为D ,若对任意的D x ∈,x x f =)(2，则称)(x f 是集合M 的元素.（1）判断函数12)(,1)(-=+-=x x g x x f 是否是M 的元素；（2）设函数)1(log )(x a a x f -=，求)(x f 的反函数)(1x f -，并判断)(x f 是否是M 的元素； （3）若x x f ≠)(，写出M x f ∈)(的条件，并写出两个不同于（1）、（2）中的函数．（将根据写出的函数．．．．．．．．类型酌情给．．．．．分．） 12． 已知抛物线)0(2:2>=p px y C 上横坐标为4的点到焦点的距离为5． （1）求抛物线C 的方程．（2）设直线)0(≠+=k b kx y 与抛物线C 交于两点),(,),(2211y x B y x A ，且)0(||21>=-a a y y ，M 是弦AB 的中点，过M 作平行于x 轴的直线交抛物线C 于点D ， 得到ABD ∆；再分别过弦AD 、BD 的中点作平行于x 轴的直线依次交抛物线C 于点F E ,， 得到ADE ∆和BDF ∆；按此方法继续下去．解决下列问题：1).求证：22)1(16kkb a -=； 2).计算ABD ∆的面积ABD S ∆；3).根据ABD ∆的面积ABD S ∆的计算结果，写出BDF ADE ∆∆,的面积；请设计一种求抛物线C 与 线段AB 所围成封闭图形面积的方法，并求出此封闭图形的面积．13.设椭圆:C 1222=+y ax （0>a ）的两个焦点是)0,(1c F -和)0,(2c F （0>c ），且椭圆C 与圆222c y x =+有公共点．（1）求a 的取值范围；（2）若椭圆上的点到焦点的最短距离为23-，求椭圆的方程；（3）对（2）中的椭圆C ，直线:l m kx y +=（0≠k ）与C 交于不同的两点M 、N ，若线段MN 的垂直平分线恒过点)1,0(-A ，求实数m 的取值范围．14.我们用},,,m in{21n s s s Λ和},,,m ax {21n s s s Λ分别表示实数n s s s ,,,21Λ中的最小者和最大者． （1）设}cos ,min{sin )(x x x f =，}cos ,max{sin )(x x x g =，]2,0[π∈x ，函数)(x f 的值域为A ，函数)(x g 的值域为B ，求B A I ；（2）数学课上老师提出了下面的问题：设1a ，2a ，…，n a 为实数，R x ∈，求函数||||||)(2211n n x x a x x a x x a x f -++-+-=Λ（R x x x n ∈<<<Λ21）的最小值或最大值．为了方便探究，遵循从特殊到一般的原则，老师让学生先解决两个特例：求函数|1||1|3|2|)(--+++=x x x x f 和|2|2|1|4|1|)(-+--+=x x x x g 的最值． 学生甲得出的结论是：)}1(),1(),2(m in{)]([min f f f x f --=，且)(x f 无最大值． 学生乙得出的结论是：)}2(),1(),1(m ax {)]([max g g g x g -=，且)(x g 无最小值．请选择两个学生得出的结论中的一个，说明其成立的理由；（3）试对老师提出的问题进行研究，写出你所得到的结论并加以证明（如果结论是分类的，请选择一种情况加以证明）． 15.设向量)2(，x =，)12(-+=x n x ， (n 为正整数)，函数b a y ⋅=在[0，1]上的最小值与最大值的和为n a ，又数列{}n b 满足： ()12121999121101010n n n n nb n b b b ---⎛⎫⎛⎫+-+⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． (1) 求证：1+=n a n ． (2).求n b 的表达式．(3) 若n n n c a b =-⋅，试问数列{}n c 中，是否存在正整数k ，使得对于任意的正整数n ，都有n k c c ≤成立？证明你的结论．（注：)(21a a ，=与{}21a a a ，=表示意义相同）·FxO yF ·16.、设斜率为1k 的直线L 交椭圆C ：1222=+y x 于B A 、两点，点M 为弦AB 的中点，直线OM 的斜率为2k （其中O 为坐标原点，假设1k 、2k 都存在）．（1）求1k ⋅2k 的值． （2）把上述椭圆C 一般化为22221x y a b+=（a ＞b ＞０），其它条件不变，试猜想1k 与2k 关系(不需要证明)．请你给出在双曲线22221x y a b-=（a ＞０，b ＞０）中相类似的结论，并证明你的结论．（3）分析（2）中的探究结果，并作出进一步概括，使上述结果都是你所概括命题的特例．如果概括后的命题中的直线L 过原点，P 为概括后命题中曲线上一动点，借助直线L 及动点P ，请你提出一个有意义的数学问题，并予以解决．17.已知向量(1,1)m =u r ,向量n r 与向量m u r 夹角为34π，且1m n ⋅=-u r r . （1）求向量n r ；（2）若向量n r 与向量(1,0)q =r 的夹角为2,(cos ,2cos )22Cp A π=u r 向量，其中A ，C 为ABC ∆的内角，且A ，B ，C 依次成等差数列，试求求|n p +r u r|的取值范围.18. 如图，过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点F 任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，若点M 在x轴上，且使得MF 为△AMB 的一条内角平分线，则称点M 为该椭圆的“左特征点”． (1)求椭圆1522=+y x的“左特征点”M 的坐标； (2)试根据(1)提出一个问题并给出解答。