典例示范
(1) y 2
解 :(1) y 2
3 x 1
3 x 1
的定义域为R
t
外层 函数：y 2
内层函数 : t 3x 1 在x R
则y 2
3 x 1
在R
特别提醒：把内层函数的单调区间和定义取交集 才能得到复合函数的单调区间
典例示范
(2) y 3
x 2 x 5
3a 2 y 3a a2 5 y 5a
x
精讲细练
例2：求下列复合函数的单调区间
(1) y 2
3 x 1
(2) y 3
x2 2 x 5
（3）y 2
1 x
（4）y x 2 x 3
2
规律探究
复合函数的单调性
内外层复合函数单调性的判断
y f (t )
t g ( x)
析： 2 m 2
x
y= 2 2 即： y m
x
1 0 1
y=m
y=m
x
y=m
精讲细练
y
y=3|x|
拓展1: 3 x 2的实
| x|
y= -x+2
2个 根个数为
析：变形为3 x 2
| x|
y 3 即： y x 2
| x|
平罗中学数学组 刘俊斌
左右无限上冲天,
永与横轴不沾边. 大一增，小一减，
图象恒过(0,1)点.
指数函数的图像问题
a > 1
y y=ax
●
0 < a < 1
y=ax y=1
(0,1) ●
● (1,a)
图
y=1
(0,1) ●
y
(1,a)
Байду номын сангаас
象
0
x=1
x
0
x=1
x
定 义 域 : x∈R 性 值 域 : y∈（0 , +∞） 质
两点 ：定点( 0 , 1 ) ,特征点( 1 , a )； 两线 ：x = 1与y = 1
在 R 上是增函数
在 R 上是减函数
思考1
如图所示：
y
则下列式子中正确的是（ B ）
ya
A.0 a b 1 c d
B.0 b a 1 d c
x
y b
x
yc
x
yd
1 | x| y( ) 2 1 | x| y ( ) 1 2
1 0 1
x
y
精讲细练
(4) y 2
y2
x
x2
y2
| x|
1
y2
| x 2|
0
1
x
精讲细练
变式
x
y
3.关于x的方程 2 2 m 有负根, 则实数m的取值
无根？ 有一根？ 有两根？
1,2 范围是 ______
内层 函数t x 2 x 3在x (-,1) ,在x (1， ) -2 1 x 所以y ( ) 在x (-, 1) ,在x (3， ) 2
2
特别提醒：把内层函数的单调区间和定义取交集 才能得到复合函数的单调区间
课后探究
1 x 1 1. 确 函 y ( ) 的 调 间 定 数 单 区 ； 2
1 0 1
x
精讲细练
3 x y( ) 4
3 a5 4
y
拓展 2 :
3 x 3a 2 关于x的方程 ( ) 4 5a 有负根, 求a的取值范围 3 x 3a 2 析： ) ( 4 5a 3 x y( ) 4 即： 3a 2 y 5a
1 0 1
x
(2) y | 2 1 |
x
(4) y 2
x2
y
精讲细练
(1) y 2
y2
x
x
y2
| x|
1 0 1
x
y
精讲细练
(2) y | 2 2 | x y2
x
y 2 2
x
1
y | 2 2 |
x
0
1
x
y
精讲细练
1 | x| (3) y ( ) 1 2
1 x y( ) 2
1.要得到函数y 8 2 的图象, 只需将函数 1 y 的图象 A 2
A.向右平移3个单位 C.向右平移8个单位
x

B.向左平移3个单位 D.向左平移8个单位
思考练习
2、利用图像变换画出下列函数的图象
(1) y 2 1 | x| (3) y ( ) 1 2
t
特别提醒：把内层函数的单调区间和定义取交集
才能得到复合函数的单调区间
典例示范
(4) y x 2 x 3
2
2
2
解： 由x 2 x 3≥0 x (-, 1) (3， ) (4)
外层函数 y t
函数y x 2 x 3的定义域为x (-, 1) (3， )
1 0 1
x
典例分析
例1.下列函数的图象，是由函数f(x)=2x的图 象经过怎样的变换得到的.
(1) y 2
x 1 | x| x
(2) y 2 1
x
(3) y 2
(4) y | 2 1 |
x
(5) y 2
(6) y 2
x
思考练习
1 X 3 y( ) 2
x
上加下减
y=f(x) y=f(x)
y=f(x) y=f(x)
关于 y 轴对称 关于 x 轴对称 关于原点对称 去左留右右翻左
对称
变换
-y=f(-x)
y=f(|x|) y=|f(x)|
翻折 y=f(x)
变换 y=f(x)
去下留上下翻上
y
思考2
函数f ( x) a
x 1
3
的图象一定过定点P, 则P点的坐标是(1 , 4) ____
x
C.0 d c 1 b a D.0 a b 1 d c
1
c
d
a b 0
1
x
x=1
思考2
问题：函数f ( x) a
x 1
3
的图象一定过定点P, 则P点的 坐标是 ____
规律探究
函数的图像变换
左加右减
平移 y=f(x) 变换
y=f(x+a) y=f(x)+a y=f(-x) -y=f(x)
2
解： 函数y 3 (2) t 外层函数 y 3
2
x2 -2x 5
的定义域为R
内层 函数t x -2x 5 在x (-,1) ,在x (1， )
所以y 3
x2 -2x 5
在x (-,1) ,在x (1， )
特别提醒：把内层函数的单调区间和定义取交集
才能得到复合函数的单调区间
典例示范
（3）y 2
1 x
1 x
解： 函数y 2 的定义域为(-,0) (0， ) (3)
外层函数 y 2 1 内层 函数t 在x (-,0) ,在x (0， ) x 1 所以y 2 x 在x (-,0) ,在x (0， )
y f [ g ( x)]
增↗
减↘ 减↘
增↗
减↘
减↘
减↘
增↗
增↗
增↗
归纳——内外层复合函数单调性的规律：“同增异减”.
方法小结
判断复合函数单调性的步骤
1、写出原函数的定义域 2、把原函数拆成外层函数和内层函数 3、分析外层函数和内层函数的单调性 4、利用“同增异减”的规律判断原函数的单调 性 特别提醒：把内层函数的单调区间和定义取交集 才能得到复合函数的单调区间
2.讨 函 y a 论 数
x 2 x
2
（a 0且a 1 的 调 . ） 单 性