指数与指数函数图像及性质【知识要点】 1．根式（1）如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根.其中1>n ，且*∈N n 。

（2）如果a x n=，当n 为奇数时，n a x =；当n 为偶数时，n a x ±=()0>a .其中n a叫做根式,n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 其中1>n ，且*∈N n 。

(3)()()*∈>==N n n a a nnn ,1,00。

(4),||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数 其中1>n ，且*∈N n 。

2. 分数指数幂(1)正分数指数幂的定义: n m n ma a =()1,,,0>∈>*n N n m a(2)负分数指数幂的定义: nm nm aa1=-()1,,,0>∈>*n Nn m a(3) 要注意四点：①分数指数幂是根式的另一种表示形式； ②根式与分数指数幂可以进行互化； ③0的正分数指数幂等于0； ④0的负分数指数幂无意义。

(4)有理数指数幂的运算性质:①sr sra a a +=⋅()Q s r a ∈>,,0；② ()rs sra a =()Q s r a ∈>,,0；③()r r rb a ab =()Q r b a ∈>>,,0,0.3.无理数指数幂(1)无理数指数幂的值可以用有理数指数幂的值去逼近; (2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。

4．指数函数的概念：一般地，函数()0,1x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。

5．指数函数的图像与性质第一课时【典例精讲】题型一 根式、指数幂的化简与求值1.n a叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，规定：1a a=；2.(1,)n a n n N+=>∈,,||,a na n⎧=⎨⎩为奇数为偶数；3.1(0,,,)nmnmna a m n Nma-+=>∈且为既约分数，=a aαβαβ（）.【例1】计算下列各式的值．（1（2；（3；（4)a b>.正确解析：（18 =-；（2|10|10 =-=；（3|3|3ππ=-=-；（4||() a b a b a b =-=->.温馨提醒：(1) n中实数a的取值由n的奇偶性确定，只要n有意义，其值恒等于a，即n a=；n的奇偶性限制，a R∈n的奇偶性影响.【变式1】求下列各式的值：（1（*1,n n N>∈且）；（2.【例2】计算)213013410.027256317--⎛⎫--+-+⎪⎝⎭【答案】)213013411479 0.027256310.3496417330 --⎛⎫--+-+=-+-+=⎪⎝⎭【变式2】化简34]的结果为（）A ．5B ．C ．﹣D ．﹣5【答案】B【解析】3234[(5)]-===，故选B【变式3】1332-⎛⎫ ⎪⎝⎭×76⎛⎫- ⎪⎝⎭0＋148422323⎛⎫- ⎪⎝⎭________.【答案】2【解析】原式＝1323⎛⎫ ⎪⎝⎭×1＋342×142－13223⎛⎫= ⎪⎝⎭.题型二 根式、指数幂的条件求值1. 0a >时，0;ba > 2. 0a ≠时， 01a =；3. 若,r s a a =则r s =； 4. 1111222222()(0,0)a a b b a b a b ±+=±>>； 5.11112222()()(0,0)a b a b a b a b +-=->>.【例3】已知11223a a -+=，求下列各式的值.（1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）22111a a a a --++++【答案】(1)7;(2)47;(3)6. 【解析】（1）将11223a a-+=两边平方得1129a a -++=，所以117a a -+=.（2）将117a a -+=两边平方得22249a a -++=，所以2247a a -+=. （3）由（1）（2）可得22114716.171a a a a --+++==+++【变式1】已知,a b是方程2640x x-+=的两根，且0,a b>>求a ba b-+的值.【答案】5【方法规律技巧】根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.【变式2】已知12,9,x y xy+==且x y<，求11221122x yx y-+的值.【答案】3【变式3】已知11223a a-+=，求33221122a aa a----的值.易错分析：本题解答一是难以想到应用“立方差”公式，二是应用“立方差”公式时易出现错误．正确解析：由于3311332222()()a aa a ---=-，所以331111122222211112222()()a a a a a a a a a aa a--------++⋅=--=1118.a a -++=温馨提醒：条件求值问题，化简已知条件、所求代数式是进一步代入计算的基础，熟记公式，准确化简是关键.【变式4】 （1）已知122+=xa，求xx xx a a a a --++33；（2）已知a x=+-13，求6322--+-x ax a .【例4】计算下列各式的值：（1）246347625---+-； （2）()2x 3442<--+-x x x ；（3）12121751531311++-+++++++n n ；（4）()54 2222233=++--xxxx x 其中.【变式5】 化简或计算出下列各式：（1）121316324(12427162(8)--+-+-；（2）化简65312121132ab b a b a ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛；（3【课堂练习】1. 若()0442-+-a a 有意义,则a 的取值范围是( )A.2≥aB.42<≤a 或4>aC. 2≠aD. 4≠a 2. 下列表述中正确的是( )A.()()()273336263=-=-=- B.32213421313a a aa a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅ C.无理数指数幂na (n 是无理数)不是一个确定的实数 D.()()()⎩⎨⎧≤-≥=00a a a a a nn3. 已知0>a ,则的值2313123131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--a a a a 为 ( )A.3232-+a a C. 3232--a a D. 4-4. 计算：()=-+-0430625.0833416π ______.【思维拓展】1.化简⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----2141811613212121212121的结果是 ( )A.13212121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- B.132121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- C.32121-- D.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3212121第二课时题型三 指数函数的概念【例1】已知函数()2()33xf x a a a =-+是指数函数，求实数a 的值。

【变式1】若函数()(0xf x a a =>且1)a ≠的图象经过点1(2,)2，则(1)f -=_______.【解析】依题意可知212a =，解得2a =，所以()2x f x =，所以1()2f x -==【变式2】已知函数()1,0,,0.xx x f x a x -≤⎧=⎨>⎩若()()11f f =-，则实数a 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B 【解析】()()()11,112f f a =-∴=--=，故选B.题型四 指数函数的单调性【例2】比较下列各题中的两个值的大小:(1)与; (2)与 (3)与【变式1】比较0.20.71.5,1.3,-132()3的大小。

【变式2】已知432a =，254b =，1325c =，则（ ）（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ．【例3】指数函数()(1)xf x a =-在R 上是增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．1a >B ．2a >C ．01a <<D ．12a << 【答案】B【解析】对于指数函数xy a =，当1a >时，函数在R 上是增函数，当01a <<时，函数在R 上为减函数.由题意可知：11a ->即，2a >，选B . 【变式3】使不等式23x －1＞2成立的x 的取值为( )A ．(23，＋∞) B．(1，＋∞) C．(13，＋∞) D．(－13，＋∞)【变式4】若(12)2a ＋1<(12)3－2a，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞) B．(12，＋∞) C．(－∞，1) D ．(－∞，12)【例4】函数221y=2x x -++⎛ ⎪⎝⎭的单调递增区间是________．易错分析：本题解答往往忽视函数的定义域，而出现错误．正确解析：令220t x x ≥＝－＋＋，得函数定义域为[12]－，， 所以22t x x ＝－＋＋在1[1,]2-上递增，在1[2]2，递减．根据“同增异减”的原则， 函数221y=2x x -++⎛ ⎪⎝⎭的单调递增区间是1[2]2，.温馨提醒：处理函数问题时，应注意遵循“定义域优先”的原则.题型三 指数型函数的图像【例5】如下图所示是指数函数①x y a =；②x y b =；③x y c =；④x y d =的图象，试判断,,,a b c d 与１的大小关系。

【变式1】当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax =的图象只可能是( )【变式2】已知函数()22xf x =-，则函数|()|y f x =的图象可能是( )【答案】B【解析】|f(x)|=|2x-2|=易知函数y=|f(x)|的图象的分段点是x=1,且过点(1,0),(0,1),又|f(x)|≥0,故选B. 题型四 指数函数的性质应用【例6】求下列函数的定义域、值域。

(1)y =11-x ; (2)y =315-x ; (3)y =2x+1; (4)y =1222+-x x .【变式1】求下列函数的定义域与值域。