B
P
备选题: 如图所示，在四棱锥 P—ABCD 中，PA⊥底面 ABCD， AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60° ，PA＝AB＝BC，E 是 PC 的中 点． 证明：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面 ABE.
解题分析:
第(1)问通过 DC⊥平面 PAC 证明； 也可通过 AE⊥平面 PCD 得到 结论； 第(2)问利用线面垂直的判定定理证明直线 PD 与平面 ABE 内的两条相交直线垂直．
证明 (1)由四棱锥 P—ABCD 中， ∵PA⊥底面 ABCD，CD⊂平面 ABCD， ∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面 PAC.
而 AE⊂平面 PAC，∴CD⊥AE.
(2)由 PA＝AB＝BC，∠ABC＝60° ， 可得 AC＝PA.
∵E 是 PC 的中点，∴AE⊥PC. 由(1)，知 AE⊥CD，且 PC∩CD＝C， ∴AE⊥平面 PCD.
小结：线面垂直证明的难点突破
由于线面垂直的证明往往需要通过线线、线面垂直的
不断转化，所以我们一定要了解给出几何体中的已有 的垂直关系，进而寻找目标平面内与已知直线垂直的 直线。
特别是异面线线垂直的证明有一定难度，常常要转化
为先证一条直线和另一直线所在某个平面垂直。这个 平面的发现至关重要。
变题二： 判断：四边相等的四边形，对角线互相垂直
练习1：
（2011北京高考理科）如图，在四棱锥 P-ABCD中，PA⊥平面ABCD， BAD=600， 底面ABCD是菱形，AB=2， (1)求证：BD⊥平面PAC； (2)略； P (3)略。
D A B C
例2.如图，圆O所在一平面为 ， AB是圆O 的直径，C 在圆周上, 且PA AC, PA AB, 求证：（1）PA BC （2）BC 平面PAC
思考：三棱锥中最多有几个直角三角形？
思考：三棱锥P-ABC中最多有几个直角三角形？
P
A C
O
B
例3、已知直角△ABC所在平面外有一点P，且 PA=PB=PC，D是斜边AB的中点，
求证：PD⊥平面ABC.
证明： ∵PA=PB，D为AB中点 ∴ PD⊥AB，连接CD， ∵D为Rt△ABC斜边的中点 ∴ CD=AD, 又PA＝PC,PD=PD ∴ △PAD≌△PCD 而PD⊥AB ∴ PD⊥CD, CD∩AB = D ∴PD ⊥平面ABC P
C B
A
D
证明线线垂直的常用方法：
如果两条直线共面或能转化为共面，则转化为在平面
内证明垂直关系，用平面几何知识证明垂直的主要办 法有：勾股定理，等腰三角形三线合一，相似三角形 等； 如果两条直线异面，又不便平移到一个平面内证明垂 直，通常就再转化为证明平面内的直线与已知直线所 在的某个平面垂直。 即：通过另一组线面垂直证明线线垂直。
而 PD⊂平面 PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面 ABCD，∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD 且 PA∩AD＝A， ∴AB⊥平面 PAD，而 PD⊂平面 PAD， ∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A， ∴PD⊥平面 ABE.
解题小结:
破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质， 注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用， 这是证明空间 垂直关系的基础．由于“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂 直”之间可以相互转化， 因此整个证明过程围绕着线面垂直这个 核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．
知识背景：
1、线面垂直的定义；
2、线面垂直的最基本性质；
3、线面垂直的判定定理。
例1、三棱锥V-ABC中，VA=VC,AB=BC,K是AC的中点。
（1）求证：AC ⊥平面VKB （2）求证：VB ⊥AC
V
K
A C
B
例1、三棱锥V-ABC中，VA=VC,AB=BC,K是AC的中点。 （1）求证：AC ⊥平面VKB （2）求证：VB ⊥AC
A K V
C
小结：
1、问题（1）的线线垂直是通过平面几何知识解决的。 体现了空间向平面的转化。 2、问题（2）的线线垂直是异面垂直，又转化为新的线面 垂直解决； 即：欲证线面垂直，需证线线垂直， 欲证线线垂直，又需证新的线面垂直。 体现了空间关系的相互转化。
B
变题一：
空间四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD， 求证：AC⊥BD.
练习2. 如图,已知点M是菱形ABCD所在平面外一点，且MA=MC 求证：AC⊥平面BDM
M
D
O A B
C
练习3 如图 平面α、β相交于PQ，线段OA、OB分别垂直平面α、 β， 求证：PQ⊥AB 证明： ∵OA⊥α PQ α ∴ OA⊥PQ OB⊥β, PQ β ∴ OB⊥PQ 又OA∩OB=0 ∴PQ⊥平面OAB 而AB平面OAB ∴ PQ⊥AB O Q A
解：（1） AB , AC , 且AB AC A PA AC , PA AB PA 又 BC PA BC
A
P
O
C
B
(2) C为 圆 O上 一 点 ，AB 为 直 径 BC AC 1得BC PA, 由 又 PA AC A BC 面PAC