固体物理测试卷(3)一、(6题,每题5分,共30分)简要回答下列问题:1. 解释费米面(Ferimi surface ) 【解答】绝对零度下(T=0k ),晶体中电子在k 空间中占据态与未占据态的分界面。
在非零温度下指电子占据几率为1/2的状态所构成的面。
2. 解释布里渊区和第一布里渊区(Brillourin Zone, First Brillourin Zone ) 【解答】在倒格子空间,以一格点为原点,此格子与其余格点连线的垂直平分面所围成的区域称为布里渊区。
其中包含原点在内的最小封闭区域(WS 原胞)为第一布里渊区,与第一布里渊区连通的区域(三维时面连通,二维时线连通)为第二布里渊区。
3. 试用能带论简述导体、绝缘体、半导体中电子在能带中填充的特点。
【解答】金属或导体中的价电子没有把价带(最高填充带)填满,此为导带。
绝缘体中的价电子正好把价带填满,且更高的许可带(空带)与价带间相隔较宽的禁带。
半导体和绝缘体相似,但禁带较窄。
4. 解释朗道能级(Landan level ) 【解答】在垂直与恒定磁场的平面内,电子的圆周运动对应于以一种简谐运动,其能量是量子化的:c v v ωεη)+=21((v=1,2,3...........)meB c =ω 这些量子化的能级称为朗道能级。
5. 长光学支格波与长声学支格波本质上有何区别? 【解答】长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动,振动频率较高,它包含了晶格振动频率最高的振动模式。
长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移,原胞做整体运动,振动频率较低,它包含了晶格振动频率最低的振动模式,波速是一常数。
任何晶体都存在声学支格波,但见到晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波。
6. 为什么价电子的浓度越高,电导率越高? 【解答】电导σ是金属导电能力的量度。
导电能力取决于单位时间内通过切面积的电子数。
但并不是所有价电子对导电都有贡献,对导电有贡献的是费米面附件的电子。
费米球越大,对导电有贡献的电子数目就越多。
费米球的大小取决于费米半径31)3(2=πn k F可见电子浓度n 越高,费米球越大,对导电有贡献的电子数目就越多,该金属的电导率就越高。
二、(15分)图B3-1表示一个由两种不同元素的原子所形成的二维层状晶体,其中正三边形的边长为a 。
请分析并找出其基元,画出其Bravais 格子、初基元胞和W-S 元胞,并写出基矢在适当直角坐标系中的表达式。
【解答】基矢:()()()yx y x e a e a e a e a a ρρρρρ232330cos 230sin 30cos 2)30(cos 00002+=+=!!!注意:从第三 .1题和第三 .2题中选做其中一个题三、1(10分)He 3原子是具有自旋1/2的费米子。
在绝对零度附件,液体He 3的密度为3081.0-⋅cm g 。
计算费米能量F ε和费米温度F T 。
He 3原子的质量为g m 24105-⨯≈。
【解答】He 3的自旋为1/2,是费米子,其质量g m 24105-⨯≈。
在密度3081.0-⋅=cm g ρ的液体He 3中,单位体积中的He 3数目为:3283221062.11062.1--⨯≈⨯≈=m cm mn ρ其费米能为:()32222322nmm k F F 2==πεηη将n , m 值带入;得到:J F 23108.6-⨯≈ε其费米温度为:()K K k T B FF 9.41038.1108.62323≈⨯⨯≈=--ε 三.2(10分)求出bcc Bravais 格子(110)晶面族的晶面上的格点数密度和面距离。
四、(15分)考虑晶格常数为a 和c 的三维简单六角晶体的第一布里渊区。
令c G ρ为平行于晶格c 轴的最短倒格矢。
(1) 证明对于六角密堆积结构,晶体势场()r V ρ的傅里叶分量()c G V ρ为零。
(2)()cG V ρ 是否也为零?(3) 为什么二价原子构成的简单六角晶格在原则上有可能是绝缘体? (4) 为什么不可能得到由单价原子六角密堆积形成的绝缘体? 【解答】 (1)证:由教材p61(3.2.30)和(3.2.31)两式,对于基元中原子数p>1的复式晶格,且由同种原子组成的基元,有:∑⋅-=jj h Gd G i f S h)exp(ρρρ①()fS G V G V hGh h ρρρ)(1=②hG ρ的傅里其中:()cG V ρ是复式晶格的某一倒格矢叶分量。
hGS ρ是同种原子组成的基元的几何结构因子。
h G ρ,如结构由②式可知,对于复式晶格的某一倒格矢因子为零,则周期势()r V ρ相应的傅里叶分量也为零。
0=cG S ρ因此,来计算对于六角密堆积结构:六角密堆积结构的布喇菲点阵是简单六角,相应的基1=d ,元包括两个同种原子,它们的坐标是3212213132a a a d ρρρρ++=,如图所示:将以上关系代入结构因子的表达式①中,得:[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=⋅++-=⋅-=∑∑321332*********2exp 1)(exp )exp(h h h i f d b h b h b h i f d G i f Sjjjj h G hπρρρρρρρ ③据题意,本题中 1,010*******===⇒++=h h h b b b G c ρρρρ代入③得:()[]0exp 1=-+=πi f S cG ρ故对于六角密堆积结构,晶体势场()r V ρ的傅里叶分量()c G V ρ为零。
(2)解:2,020********===⇒⋅++=h h h b b b G c ρρρρ代入(1)问③式中,得:()[]022exp 12≠=-+=f i f S cG πρ故:()cG V ρ2不为零。
(3) 对处于简单六角点阵阵点上的二价原子构成的晶体,每个单胞有两个价电子,N 个单胞有2N 个价电子,刚好可以填满第一布里渊区(一个能带),故原则上可以形成绝缘体(如果没有能带交迭)。
(4) 对于单价原子的六角密堆积结构,虽然每个单胞也有两个价电子,N 个单胞有2N 个价电子,但由于第一布里渊区一个边界面上能隙消失,和第二布里渊区连通,形成一个复合区,可以容纳4N 个电子,2N 个电子只能填充这个复合区的一半,于是,在外加电场下可以导电。
因而单价原子的六角密堆积原则上不可能形成绝缘体。
五、(15分)用紧束缚近似求出面心立方金属和体心立方金属中与s 态原子能级对应的能带的)(k ρε函数。
【解答】(1)面心立方结构晶体具有12个第一近邻,它们的格矢如下422→±±y x e a e a ρρ个,422→±±z y e a e a ρρ个,422→±±x z e a e a ρρ个 于是⎪⎭⎫ ⎝⎛±+±⎪⎭⎫ ⎝⎛±±⎪⎭⎫ ⎝⎛±±⋅++=∑x z z y y x k a k ai k a k ai k a k ai nn k i eeee222222,ρ其中:⎪⎭⎫⎝⎛=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛±±y x k a k ai k a k ai k a k ai k a k ai k a k ai k a k a eeeeey x y x y x y x y x 2cos )2cos(42222222222同理可得:⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+±z y z y k a k a k a k a i 2cos 2cos 422exp⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛±±x z k a k ai k a k a ex z 2cos 2cos 422由教材(3.3.10)式及(3.3.13)式可知, S 态能带为:()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x z z y y x i k a k a k a k a k a k a J J k 2cos 2cos 2cos 2cos 2cos 2cos 410εερ(2)体心立方结构晶体具有8个第一近邻,它们的格矢如下z y x e a e a e a ρρ222±±±仿照面心立方结构的情形有:S 态能带为:()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--=z y x i k a k a k a J J k 2cos 2cos 2cos 810εερ!!!注意:从第六 .1题和第六 .2题中选做其中一个题六、1(15分)计算一维单原子链的动量()q P 。
应用周期性边界条件,证明波矢0≠q 时,()0≡q P ,即声子不携带动量。
证明:对于波矢为q,频率为ω的一维单原子链的格波:()wt qna i n Ae u -=⑴ 原子链上第n 个原子的动量为: ()t qna i n MAei u M ωω--=&⑵原子链的总动量为:()∑∑=-=-==Nn iqnati Nn n e MAei u M q p 11ωω& ⑶式中N 是原子链上的原子数。
由周期性边界条件:()ΛΛ2,1,02±±==l N l q απ式⑶化为:∑=--=Nn Nnl iti eMAei q p 12)(πωω ⑷利用公式:x x x NNn n--=∑=111式⑷化为:()Nilil ti ee MAei q p ππωω2211--=- ⑸当0≠l 时(即0≠q )时,式⑸中的012=-ileπ,因而有()0≡q p0≠q 的模式是描写晶体中所有原子的相对运动的,由于每个原子有一定位相差,原子链的总动量为零,这表明声子0≠q 是不携带物理动量的。
六、2(15分)对于原子间距为a ,由N 个原子组成的一维单原子链,在德拜近似下(1)计算晶格振动频谱;(2)证明低温极限下,比热正比于温度T 【解答】(1)按照德拜模型,格波的色散关系,即振动频谱为cq =ω ⑴对于原子间距a 为一维单原子链色散曲线如图示:由色散曲线的对称性可以看出,ωd 区间对应两个同样大小的波矢区间dq ,aπ2区间对应N 个振动模式,单位波矢区间对应有π2aN个振动模式。
ωd 范围则包含:dq aNdq aN dz ππ==22⑵个振动模式则有N d d dzd=⎰ωωω0⑶其中ωd dz是单位频率区间包含的振动模式数目,即模式密度()ωD 。
由⑵式有ωπωd dqaN d dz =由⑴式有cd dq 1=ωa-dqa上两式联合得出()caNd dz D πωω==⑷将⑷式代入⑶,得ac N c aN D D πωωπ=⇒= (2)证明:N 个原子构成的一维单原子链,晶格振动总的热振动能为()⎰-=dB Tk ed D E ωωωωω01ηη其中()c aN d dz D πωω==叫做模式密度,acD πω= 热容量()⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=DB B DB B T k Tk B B T k Tk B B V v e d e T k c aN k e d D e T k k T E C ωωωωωωωωπωωω02202211ηηηηηη作变量代换Tk x B ωη=得()⎰Θ-=Txx B V D edxx e cTaNk C 02221ηπ其中BD D k ωη=Θ在低温极限下∞→⎪⎭⎫⎝⎛ΘT D ,V C 中的被积函数按二项式定理展开成级数 ()()∑∞=--=-=-12222211n nxx x xx ne x ee x ex e。