中国科技大学一九九七年招收硕士学位研究生去学考试试题 试题名称：固体物理一 很多元素晶体具有面心立方结构，试1 绘出其晶胞形状，指出它所具有的对称元素2 说明它的倒易点阵类型及第一布里渊区形状3 面心立方的Cu 单晶（晶格常熟a=3.61Å）的x 射线衍射图（x 射线波长λ＝1.54Å）中，为什么不出现（100），（422），（511）衍射线？ 4它们的晶格振动色散曲线有什么特点？二 已知原子间相互作用势nmr rrU βα+−=)(，其中α，β，m,n 均为>0的常数，试证明此系统可以处于稳定平衡态的条件是n>m。

三 已知由N 个质量为m ，间距为的相同原子组成的一维单原子链的色散关系为2sin 421qa m ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=βω1 试给出它的格波态密度()ωg ，并作图表示2 试绘出其色散曲线形状，并说明存在截止频率max ω的意义四 半导体材料的价带基本上填满了电子（近满带），价带中电子能量表示式，其中能量零点取在价带顶。

这时若处电子被激发到更高的能带（导带）而在该处产生一个空穴，试求此空穴的有效质量，波矢，准动量，共有化运动速度和能量。

（已知，())(10016.1234J k k E ×−=cm k 6101×=s J ⋅×=−3410054.1h 2335101095sw ⋅×−0.9cm =m ）五 金属锂是体心立方晶格，晶格常数为5.3=a Å，假设每一个锂原子贡献一个传导电子而构成金属自由电子气，试推导时，金属自由电子气费米能表示式，并计算出金属锂费米能。

（已知）K T 0=J 1910−eV 602.11×=六 二维自由电子气的电子能量表达式是()m k m k k E yx 222222h h +=当方向有磁场入射时，电子能量本征值将为一系列Landau 能级。

Landau 能级是高简并度分立能级，试导出其简并度。

z k中国科学院1997年硕士研究生入学试题参考答案 一 （每题5分，工20分）1 晶胞如图：对称元素：3个立方轴，4个3次轴，6个2次轴，1个一次轴，一个中心反映。

2 倒易点阵为体心立方点阵，第一布里渊区为截角八面体。

3 面心立方结构的消光条件不允许出现奇偶混杂的面指数，所以（100），（110）衍射线不出现，又因为衍射条件要求d 2≤λ，所以，74.0)422(=d Å，09.0)511(=d Å，不符合衍射条件，不出现衍射峰。

4 只有3支声学振动，没有光学支。

在[100]和[111]方向，两支横声学波是简并的。

二 解：满足稳定态的条件()()0)()1()1(,0,02020202222>−=+++−=>=+++m n r m r n n r m m dr r u d dr r u d dr du m n m αα 所以n>m 。

三 解：1 根据态密度定义可以给出()dq Ld g πωω2=（这里L ＝Na ） 一维原子链应考虑正负两支所以 ()dqd Ldq d Lg ωπωπω=×=22 将2sin421qam ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=βω代入得： 2122)(22cos 2ωωωω−==m m a qa a dq d 得：()()21222ωωπω−=mNg ，其中mm βω4=2截止频率是只有频率在ω到ωm 之间的格波才能在晶体中传播，其它频率的格波被强烈衰减，一维单原子晶格看作成低通滤波器。

四 解：02226.0m kE m e−=∂∂=∗h所以，空穴的有效质量为： 06.0m m m e h =−=∗∗ 空穴波矢：cm k k e h 6101×−=−= 空穴准动量：cmsJ k h •×−=×××−=−−2863410105410110054.1h 空穴速度为：()s cm k dkdE v k6341093.110016.1211×=×××==−hh 空穴能量：()J k E E h 2210016.1−×=−=五 解：按自由电子气模型，能量E －E ＋dE 之间的电子数为()dE E f E m V dN 212322242⎟⎠⎞⎜⎝⎛•=h π在时K T 0= 1)(=E f 当F E E <0)(=E f 当F E E > 故∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛•=00212322242FE dE E m V N h π2302322231F E m ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=h π 令VN n =，得：()3222032n m E F πh = 锂晶体电子浓度 ()322381066.4105.31cm n ×=×=−所以()eV n mE F72.43232220==πh六 解：()mk m k k k E t y x 22222222h h h r =+=，等能面是一个圆，其半径hmEk t 2= 园内状态数()()A mEk AE N t •=••=22222h πππ单位面积1=A 时，二维自由电子气能态密度 ()()2hπmdE E dN E G ==在k z 方向磁场作用下，自由电子气凝聚成Landau 能级，c n E ωh ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=21，能级间距为c ωh ，故能级简并度c mD ωπh h •=2，代入m eB c=ω，得： hπeBD =固体物理一 简要回答以下问题（20分）1 试绘图表示晶体的结晶学原胞、布拉菲原胞、基元和固体物理学原胞。

NaCl2 已知三维晶体原胞的体积为Ω，试推导给出倒格子原胞的体积Ω*。

3假设晶体的及Cl 原子的散射因子分别是和试求其结构因子 CsCl Cs Cs f Cl f ()hkl F 4 试以立方晶体为例列出黄昆方程，并做定性解释。

二 试求一维双原子链复式格子晶格振动的色散关系，并绘图表示之。

三 试列举晶体中的各种缺陷，并做简要说明。

四 试求三维晶体量子热容表达式。

五 试根据近满带情况下电子在电磁场中的运动规律，给出“空穴”的完整定义。

六 试推导0K 极限情况下金属中电子费米能量的表达式。

0F E七 试推导给出金属中电子的量子统计速度分布公式。

固体物理学试题一试对晶体进行分类：1 从晶体几何对称性出发分类2 从晶体结合出发分类二简要回答如下问题1 试绘图表示二维正方格子的第一、第二、第三布里渊区，并做解释。

2 简述晶格中电子散射的微观过程。

三试绘图表示金刚石晶体的结晶学原胞，布拉菲原胞，基元和固体物理学原胞。

四试求一维单原子链线形晶格振动的色散关系，并绘图表示之。

f的表达式。

五简述德拜模型，并推导出三维晶体晶格振动频谱密度()ω六试对晶体中的位错及其性质进行简单描述。

七试从波恩—卡曼边界条件出发，求出三维k→空间电子状态分布密度。

N，并绘图表示其变化趋势。

八试推导近自由电子近似金属电子的能态密度()E九试从能带理论出发解释导体，绝缘体和半导体的区别与联系。

十试给出长光学横波与电磁波耦合模的色散关系，并进行初步解。

中国科学院——中国科学技术大学2000年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷 科目：固体物理学 一 填空1 晶体中原子排列的最大特点是______________。

非晶体中原子排列的最大特点是____________。

准晶结构的最大特点是____________________。

2 晶体中可以独立存在的8种对称元素是__________________________。

3 半导体材料和Ge 单晶的晶体点阵类型为________，倒易点阵类型为_________，第一布里渊区的形状为_________，每个原子的最近邻原子数为__________。

Si4 某晶体中两原子间的相互作用势()126rBr A r u +−=，其中和A B 是经验参数，都为正值，r 为原子间距，试指出_______项为引力势，________项为斥力势，平衡时最近邻两原子间距=__________，含有N 个原子的这种晶体的总结合能表达式为：___________。

0r 5 研究固体晶格振动的实验技术有：__________，__________，__________，__________等。

二 已知N 个质量为间距为的相同原子组成的一维原子链，其原子在偏离平衡位置m a δ时受到近邻原子的恢复力βδ−=F （β为恢复力系数）。

1 试证明其色散关系2sin2qamβω=（为波矢） q 2 试绘出它在整个布里渊区的色散关系，并说明截止频率的意义。

3 试求出它的格波态密度函数()ωg ，并作图表示。

三 1 假设某二价元素晶体的结构是简立方点阵。

试证明第一布里渊区角偶点⎟⎠⎞⎜⎝⎛a a a πππ,,的自由电子动能为区边中心点⎟⎠⎞⎜⎝⎛0,0,a π的三倍。

2 若二价元素晶体的能隙很小，试说明它不会是绝缘体。

四 用紧束缚方法处理晶体态电子，得到其能量表达式为s ()()∑⋅+=ll R R ik l s e R J E k E 0其中为常数，0E ()l R J 称重叠积分（小于零）。

1 在最近邻近似下，求出x 方向格常数为，方向格常数为（）的二维矩形晶体s 态电子能量表达式。

a yb b a ≠2 求出态晶体电子能带宽度。

s 3 分别求出能带底电子与能带顶空穴有效质量张量。

五 N 个原子组成二维正方格子，每个原子贡献一个电子构成二维自由电子气，电子能量表达式是()mk h m k h k E yx 222222+=1 推导二维自由气的能态密度公式。

2 此时在垂直于正方格子方向射入一磁场B ，自由电子气能级将凝聚成Landau 能级，问该能级的简并度是多少？一 填空1 晶体中原子排列的最大特点是长程有序。

非晶体中原子排列的最大特点是长程无序、短程有序。

准晶结构的最大特点是有5次对称性。

2 晶体中可以独立存在的8种对称元素是：1次轴，2次轴，3次轴，4次轴，6次轴，1次反轴（中心反演），2次反轴（或说对称面），4次反轴。

3 半导体材料和单晶的晶体点阵类型为Si Ge 面心立方，倒易点阵类型为体心立方，第一布里渊区的形状为截角八面体，每个原子的最近邻原子数为4。

4 某晶体中两原子间的相互作用势()126rBr A r u +−=，其中A 和B 是经验参数，都为正值，r 为原子间距，试指出项为6r A −引力势，12r B项为斥力势，平衡时最近邻两原子间距=0r 6112⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛nB −A B mA mn ，含有N 个原子的这种晶体的总结合能表达式为：()∑=Nj ijr u N E 2。