海淀区九年级第二学期期末练习数 学参考答案及评分标准 2019.6说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数 一、选择题（本题共32分，每小题4分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ADCBCDDC二、填空题（本题共16分，每小题4分）题号 9 10 11 12答案52(3)2y x =+-30°1014注：第12题答对一个给2分，答对两个给4分 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.解：原式323=--+231+ …….……………………..4分 2=-.…….……………………..5分14.解：方程两边同时乘以(2)(2)x x +-方程可化为： 3(2)2(2)3(2)(2)x x x x x -++=+-，…….……………………..2分即 223624312x x x x -++=-. ∴ 4x =.…….……………………..4分经检验：4x =是原方程的解. ∴原方程的解是4x =.…….……………………..5分15. 证明：∵AE ⊥BC 于E ， AF ⊥CD 于F ，∴90AEB AFD ∠=∠=︒, …….……………………..1分 ∵菱形ABCD ,∴AB =AD , B D ∠=∠.…….……………………..3分在Rt △EBA 和Rt △FDA 中, ,,.AEB AFD B D AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EBA ≌△FDA . …….……………………..4分 ∴AE =AF .…….……………………..5分16.解：∵2()(2)(2)x y x y y x ----=(2)(2)x y x y x y ---+ …….……………………..1分 (2)y x y =-,…….……………………..2分又∵32y x y +=, ∴32x y y -=.………………..3分将32x y y-=代入上式，得(2) 3.y x y -= ∴当32y x y+=时，代数式2()(2)(2)x y x y y x ----的值为3. …….……………………..5分17．解：（1）∵ 直线y x b =-+经过点(2,1)A ，∴ 12b =-+.…….……………………..1分 ∴ 3b =.…….……………………..2分（2）∵ M 是直线3y x =-+上异于A 的动点，且在第一象限内．∴ 设M （a ，3a -+），且03a <<. 由MN ⊥x 轴，AB x ⊥轴得,MN=3a -+，ON=a ，AB =1，2OB =. ∵ MON △的面积和AOB △的面积相等， ∴()1132122a a -+=⨯⨯.…….……………………..3分 解得：11a =，22a =（不合题意，舍）.…….……………………..4分∴ M （1，2）.…….……………………..5分18．解：（1）由租用甲种汽车x 辆，则租用乙种汽车(8x -)辆. …….……………………..1分由题意得：290,100.4030(8)1020(8)x x x x +-⎧⎨+-⎩≥≥ …….……………………..3分 解得：56x ≤≤.…….……………………..4分即共有2种租车方案： 第一种是租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆；第二种是租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆． …….……………………..5分19．解：作DE //AC ,交BC 的延长线于点E ,作DF ⊥BE,垂足为F. …….……………………..1分∵AD //BC ,∴四边形ACED 为平行四边形.∴AD=CE=3，BE=BC+CE=8.…….……………………..2分∵AC ⊥BD ， ∴DE ⊥BD.∴△BDE 为直角三角形 ，90.BDE ∠=︒ ∵∠DBC =30°，BE =8,∴4,4 3.DE BD == …….……………………..4分在直角三角形BDF 中∠DBC =30°, ∴23DF =.…….……………………..5分BADCEF y x b=-+B O A x yMN数学试卷20．（1）证明：连结OC .∵CD 是O ⊙的切线， ∴OC ⊥CD. ∴90OCM ∠=︒.…….……………………..1分∵//CD AB ,∴180OCM COA ∠+∠=︒. ∵AM ⊥CD, ∴90AMC ∠=︒.∴在四边形OAMC 中90OAM ∠=︒ .∵OA 为O ⊙的半径,∴AM 是O ⊙的切线 .…….……………………..2分（2）连结OC ,BC .∵CD 是O ⊙的切线， ∴OC ⊥CD . ∴90OCM ∠=︒. ∵AM ⊥CD , ∴90AMC ∠=︒. ∴//OC AM .∴12∠=∠.∵OA= OC ,∴32∠=∠. 即BAC CAM ∠=∠.…….……………………..3分易知90ACB ∠=︒， ∴BAC CAM △∽△.…….……………………..4分∴AB ACAC AM=. 即224AC AB AM =⋅=. ∴26AC =.…….……………………..5分 21．解：（1）800，400，40； …….……………………..3分 （2）2019，1800.…….……………………..5分注：本题一空一分22．解：（1）如图，当C 、D 是边AO ,OB 的中点时，点E 、F 都在边AB 上，且CF AB ⊥. ∵OA =OB =8， ∴OC =AC=OD=4. ∵90AOB ∠=︒,∴42CD =.…….……………………..1分ACO DBFEDBMAOC1图2图OABDMC123在Rt ACF △中， ∵45A ∠=︒,∴22CF =.∴422216CDEF S =⨯=矩形.…….……………………..2分（2）设,CD x CF y ==.过F 作FH AO ⊥于H . 在Rt COD △中，∵4tan 3CDO ∠=, ∴43sin ,cos 55CDO CDO ∠=∠=.∴45CO x =.…….……………………..3分∵90FCH OCD ∠+∠=︒, ∴FCH CDO ∠=∠. ∴3cos .5HC y FCH y =⋅∠=∴2245FH CF CH y =-=. ∵AHF △是等腰直角三角形, ∴45AH FH y ==. ∴AO AH HC CO =++. ∴74855y x +=. ∴1(404)7y x =-.…….……………………..4分易知2214(404)[(5)25]77CDEF S xy x x x ==-=---矩形,∴当5x =时，矩形CDEF 面积的最大值为1007. …….……………………..5分 23．解：（1）由题意可知,∵(32)4(3)90m m m ∆=---=>错误！未找到引用源。

…….……………………..1分即0.∆> 错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

∴方程总有两个不相等的实数根.…….……………………..2分（2）由求根公式，得(32)32m x m --±=．∴ 31x m =-或1x =．…….……………………..3分∵ m ＞0， ∴ 311m>-． ∵ 12x x >，A COD BFEH∴ 12311x x m==-，． …….……………………..4分∴ 2111.3x y x m -==-即1(0)y m m=->为所求．…….……………………..5分（3）在同一平面直角坐标系中分别画出1(0)y m m=-> 与(0)y m m =->的图象. …….……………………..6分 由图象可得，由图象可得 当01m <≤时，y m -≤．…….……………………..7分24．解：过B 作BC ⊥x 轴于C .∵ 等边三角形OAB 的一个顶点为(2,0)A ， ∴ OB =OA =2，AC =OC =1，∠BOC =60°. ∴ BC =tan 603OC ︒=. ∴ B (1,3).…….……………………..1分 设经过O 、A 、B 三点的抛物线的 解析式为：2(1)3y a x =-+.将A （2，0）代入得：2(21)30a -+=， 解得3a =-.∴经过O 、A 、B 三点的抛物线的解析式为 23(1)3y x =--+.即2323y x x =-+.…….……………………..2分（2）依题意分为三种情况： （ⅰ） 当以OA 、OB 为边时， ∵ OA=OB ，∴ 过O 作OQ ⊥AB 交抛物线于Q . 则四边形OAQB 是筝形，且∠QOA=30°. 作QD ⊥x 轴于D ，QD=OD tan QOD ∠,设Q ()2,323x x x -+，则2323tan30x x x -+=︒. 解得：53x =. ∴Q 553,39⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.…….……………………..3分O ABxyC D QOABxyC y mO 11(0)y m m =->1(0)y m m=->（ⅱ） 当以OA 、AB 为边时，由对称性可知Q 153,39⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.…….……………………..4分（ⅲ） 当以OB 、AB 为边时，抛物线上不存在这样的点Q 使BOQA 为筝形.…….…………..5分∴Q 553,39⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或153,39⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.（3）点Q 在M 内.由等边三角形性质可知OAB △的外接圆圆心M 是（2）中BC 与OQ 的交点， 当Q 553,39⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭时，∵MC ∥QD , ∴△OMC ∽△OQD . ∴MC OCQD OD=. ∴33OC QD MC OD ⋅==. ∴ 31,3M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. ∴ MQ =2253531339⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=439. 又233BM =, ∵439<233, ∴Q 553,39⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在M 内.…….……………………..6分当Q 153,39⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭时，由对称性可知点Q 在M 内.综述，点Q 在M 内. …….……………………..7分25．解：（1）45；…….……………………..2分（2）如图2，以A 为顶点AB 为边在ABC △外作BAE ∠=60°，并在AE 上取AE =AB ，连结BE 和CE .∵ACD △是等边三角形, ∴AD =AC ，DAC ∠=60°. ∵BAE ∠=60°,∴DAC ∠+BAC ∠=BAE ∠+BAC ∠. 即EAC ∠=BAD ∠.∴EAC △≌BAD △.…….……………………..3分∴EC =BD.OABxyCD QMAEBCD2图∵BAE ∠=60°，AE =AB=3, ∴AEB △是等边三角形，∴EBA ∠=60°, EB = 3，…….……………………..4分∵30ABC ∠=︒, ∴90EBC ∠=︒.∵90EBC ∠=︒，EB =3，BC =4, ∴EC =5.∴BD =5. …….……………………..5分 （3）DAC ∠=2ABC ∠成立.…….……………………..6分以下证明：如图３，过点B 作BE ∥AH ，并在BE 上取BE =2AH ，连结EA ，EC . 并取BE 的中点K ，连结AK . ∵AH BC ⊥于H ， ∴90AHC ∠=︒. ∵BE ∥AH , ∴90EBC ∠=︒.∵90EBC ∠=︒，BE =2AH , ∴222224EC EB BC AH BC =+=+. ∵2224BD AH BC =+, ∴EC =BD.∵K 为BE 的中点，BE =2AH , ∴BK =AH. ∵BK ∥AH ，∴四边形AKBH 为平行四边形. 又∵90EBC ∠=︒, ∴四边形AKBH 为矩形. ∴90AKB ∠=︒.∴AK 是BE 的垂直平分线. ∴AB =AE.∵AB =AE ，EC =BD ，AC =AD, ∴EAC △≌BAD △.…….……………………..7分∴EAC BAD ∠=∠.∴EAC EAD BAD EAD ∠-∠=∠-∠. 即EAB DAC ∠=∠.∵90EBC ∠=︒，ABC ∠为锐角, ∴90ABC EBA ∠=︒-∠. ∵AB =AE, ∴EBA BEA ∠=∠. ∴1802EAB EBA ∠=︒-∠. ∴EAB ∠=2ABC ∠.∴DAC ∠=2ABC ∠.…….……………………..8分3图AB CDHE K。