2019年北京海淀区初三二模数学试卷一、选择题（本大共8小题，每小题2分，共16分，）1.A.B.C.D.的立方根是（ ）．2. A. B. C. D.如图，两条直线，交于点，射线平分，若=，则等于（ ）．3. A.B. C. D.科学家在海底下约公里深处的沙岩中，发现了一种世界上最小的神秘生物，它们的最小身长只有米，甚至比已知的最小细菌还要小．将用科学记数法表示为（）．4. A. B. C. D.实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则实数的值可能是（ ）．5.图是矗立千年而不倒的应县木塔一角，它使用了六十多种形态各异的斗栱（dǒu gǒng）．斗栱是中国古代匠师们为减少立柱与横梁交接处的剪力而创造的一种独特的结构，位于柱与梁之间，斗栱是由斗、升、栱、翘、昂组成，图是其中一个组成部件的三视图，则这个部件是（ ）．A.拱B.翘C.斗D.升图图6. A.B.C.D.已知，则下列不等式一定成立的是（ ）．7. A.B.C.D.下面的统计图反映了年中国城镇居民人均可支配收入与人均消费支出的情况．根据统计图提供的信息，下列推断的是（ ）．年我国城镇居民人均可支配收入与人均消费支出统计图城镇居民人均可支配收入城镇居民人均消费支出年份金额元数据来源：国家统计局年，我国城镇居民人均可支配收入和人均消费支出均逐年增加年，我国城镇居民人均可支配收入平均每年增长超过元从年起，我国城镇居民人均消费支出超过元年我国城镇居民人均消费支出占人均可支配收入的百分比超过不.合.理.8.A.甲B.乙C.丙D.丁如图，小宇计划在甲、乙、丙、丁四个小区中挑选一个小区租住，附近有东西向的交通主干道和南北向的交通主干道，若他希望租住的小区到主干道和主干道的直线距离之和最小，则下图中符合他要求的小区是（ ）．二、填空题（本大共8小题，每小题2分，共16分，）9.当时，代数式的值为．10.如图，在中，，为中点，若，，则的长为 ．11.如图，在⊙中，弦与半径相交于点，连接，．若，，则的度数为 .12.如果，那么代数式的值是 ．13.如图，在中，，分别为，的中点．若，则．边形14.某学习小组做抛掷一枚纪念币的实验，整理同学们获得的实验数据，如下表：抛掷次数“正面向上”的次数“正面向上”的频率下面有三个推断：①在用频率估计概率时，用实验次时的频率一定比用实验次时的频率更准确．②如果再次做此实验，仍按上表抛掷的次数统计数据，那么在数据表中，“正面向上”的频率有更大的可能仍会在附近摆动．③通过上述实验的结果，可以推断这枚纪念币有很大的可能性不是质地均匀的．其中正确的是 ．15.状态亮暗时间秒按《航空障碍灯》的要求，为保障飞机夜间飞行的安全，在高度为米至米的建筑上必须安装中光强航空障碍灯．中光强航空障碍灯是以规律性的固定模式闪光．在下图中你可以看到某一种中光强航空障碍灯的闪光模式，灯的亮暗呈规律性交替变化．那么在一个连续的秒内，该航空障碍灯处于亮的状态的时间总和最长可达 秒．16.右图是在浦东陆家嘴明代陆深古墓中发掘出来的宝玉——明白玉幻方．其背面有方框四行十六格，为四阶幻方（从到，一共十六个数目，它们的纵列、横行与两条对角线上个数相加之和均为）．小明探究后发现，这个四阶幻方中的数满足下面规律：在四阶幻方中，当数，，，有如图的位置关系时，均有．如图，已知此幻方中的一些数，则的值为 ．图图三、解答题（共68分）17.计算：．18.解不等式组：．19.（1）（2）下面是小宇设计的“作已知直角三角形的中位线”的尺规作图过程．已知：在中，．求作：的中位线，使点在上，点在上．作法：如图，①分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于，两点；②作直线，与交于点，与交于点．所以线段就是所求作的中位线．根据小宇设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形．（保留作图痕迹）完成下面的证明．证明：连接，，，，，∵， ，∴是的垂直平分线（ ）（填推理的依据）．∴为中点，．∴，又在中，有，．∴（ ）（填推理的依据）．∴．∴．∴为中点．∴是的中位线．20.（1）（2）关于的一元二次方程，其中．求证：方程有两个不相等的实数根．当时，求该方程的根．21.（1）（2）如图，在平行四边形中，的角平分线交于点，交的延长线于点，连接．求证：．若，，求平行四边形的面积．22.（1）（2）如图，是⊙的直径，，与⊙分别相切于点，，连接，，，与相交于点．求证：．连结，若，，求的长．23.（1）（2）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，与双曲线的交点为，．当点的横坐标为时，求的值．若，结合函数图象，直接写出的取值范围．24.（1）（2）12（3）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小宇从课本上研究函数的活动中获得启发，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小宇的探究过程，请补充完整：函数的自变量的取值范围是 ．如图，在平面直角坐标系中，完成以下作图步骤：①画出函数和的图象．②在轴上取一点，过点作轴的垂线，分别交函数和的图象于点，，记线段的中点为．③在轴正半轴上多次改变点的位置，用②的方法得到相应的点，把这些点用平滑的曲线连接起来，得到函数在轴右侧的图象．继续在轴负半轴上多次改变点的位置，重复上述操作得到该函数在轴左侧的图象．结合函数的图象，发现：该函数图象在第二象限内存在最低点，该点的横坐标约为 （保留小数点后一位）．该函数还具有的性质为： （一条即可）．25.某学校共有六个年级，每个年级个班，每个班约名同学．该校食堂共有个窗口，中午所有同学都在食堂用餐．经了解，该校同学年龄分布在岁（含岁）到岁（含岁）之间，平均年龄约为岁．小天、小东和小云三位同学，为了解全校同学对食堂各窗口餐食的喜爱情况，各自进行了抽样调查，并记录了相应同学的年龄，每人调查了名同学，将收集到的数据进行了整理．小天从初一年级每个班随机抽取名同学进行调查，绘制统计图表如下：表：窗口人数窗口人数小东从全校每个班随机抽取名同学进行调查，绘制统计图表如下：表：窗口人数窗口人数小云在食堂门口，对用餐后的同学采取每隔人抽取人进行调查，绘制统计图表如下：表：（1）（2）（3）人数窗口人数根据以上材料回答问题：写出图中的值，并补全图．小天、小东和小云三人中，哪个同学抽样调查的数据能较好地反映出该校同学对各窗口餐食的喜爱情况，并简要说明其余同学调查的不足之处．为使每个同学在中午尽量吃到自己喜爱的餐食，学校餐食管理部门应为 窗口尽量多的分配工作人员，理由为 ．26.（1）（2）（3）在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，且点在轴上，点在轴的正半轴上．求点的坐标．若，求直线的解析式．若，求的取值范围．27.1（1）已知为线段中点，．为线段上一动点（不与点重合），点在射线上，连接，，记．若，．如图，当为中点时，求的度数．2（2）图直接写出、的数量关系．如图，当时．探究是否存在常数，使得②中的结论仍成立？若存在，写出的值并证明；若不存在，请说明理由．图28.（1）12（2）对于平面直角坐标系中的两个图形和，给出如下定义：若在图形上存在一点，图形上存在两点，，使得是以为斜边且的等腰直角三角形，则称图形与图形具有关系．若图形为一个点，图形为直线，图形与图形具有关系，则点，，中可以是图形的是 ．已知点，点，记线段为图形．当图形为直线时，判断图形与图形是否既具有关系又具有关系，如果是，请分别求出图形与图形中所有点的坐标；如果不是，请说明理由．当图形为以为圆心，为半径的⊙时，若图形与图形具有关系，求的取值范围．2019年北京海淀区初三二模数学试卷(详解)一、选择题（本大共8小题，每小题2分，共16分，）1.A.B. C. D.【答案】【解析】的立方根是（ ）．A ，故选．2. A.B. C. D.【答案】【解析】如图，两条直线，交于点，射线平分，若=，则等于（ ）．C ，则．（对顶角相等）由题意．（互补）．．3. A.B. C. D.【答案】科学家在海底下约公里深处的沙岩中，发现了一种世界上最小的神秘生物，它们的最小身长只有米，甚至比已知的最小细菌还要小．将用科学记数法表示为（）．B故选．4. A.B. C. D.【答案】【解析】实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则实数的值可能是（ ）．D ∵，，∴，∵．故选．5. A.拱B.翘C.斗D.升【答案】【解析】图是矗立千年而不倒的应县木塔一角，它使用了六十多种形态各异的斗栱（dǒu gǒng）．斗栱是中国古代匠师们为减少立柱与横梁交接处的剪力而创造的一种独特的结构，位于柱与梁之间，斗栱是由斗、升、栱、翘、昂组成，图是其中一个组成部件的三视图，则这个部件是（ ）．图图C由三视图定义知，正确．故选．6.已知，则下列不等式一定成立的是（ ）．A.B. C. D.【答案】A 选项：B 选项：C 选项：D 选项：【解析】D ，则，错．，当时，；当时，，当时，，故不一定成立．，则不一定成立，错．，则，一定成立．故选 D .7. A.B.C.D.【答案】【解析】下面的统计图反映了年中国城镇居民人均可支配收入与人均消费支出的情况．根据统计图提供的信息，下列推断的是（ ）．年我国城镇居民人均可支配收入与人均消费支出统计图城镇居民人均可支配收入城镇居民人均消费支出年份金额元数据来源：国家统计局年，我国城镇居民人均可支配收入和人均消费支出均逐年增加年，我国城镇居民人均可支配收入平均每年增长超过元从年起，我国城镇居民人均消费支出超过元年我国城镇居民人均消费支出占人均可支配收入的百分比超过D 城镇居民人均消费支出占人均可支配收入百分比为，故不合理．故选．不.合.理.8. A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】【解析】如图，小宇计划在甲、乙、丙、丁四个小区中挑选一个小区租住，附近有东西向的交通主干道和南北向的交通主干道，若他希望租住的小区到主干道和主干道的直线距离之和最小，则下图中符合他要求的小区是（ ）．C分别以主干道、主干道所在直线为轴、轴建立平面直角坐标系，设小区坐标，则小区到主干道、主干道距离和，∴，平移直线，依次经过甲、乙、丙、丁四个小区，最小即与轴交点纵坐标最小．故选．二、填空题（本大共8小题，每小题2分，共16分，）9.【答案】【解析】当时，代数式的值为．由题意知且，得．故答案为：．10.【答案】如图，在中，，为中点，若，，则的长为 ．【解析】延长至，使，连，∵为中点，∴，在和中，，∴≌，∴，，∵，，∴，，∵，∴，∵，∴，在中，．故答案为：．11.【答案】【解析】如图，在⊙中，弦与半径相交于点，连接，．若，，则的度数为 .连接．∵，，∴为等边三角形．∴，∵，∴，∴，∵，∴．12.【答案】【解析】如果，那么代数式的值是 ．，∵，∴，∴原式，故答案为：．13.【答案】如图，在中，，分别为，的中点．若，则．边形【解析】∵、分别为、中点，∴，，∴，∴，∴，∵，∴．边形边形14.【答案】【解析】某学习小组做抛掷一枚纪念币的实验，整理同学们获得的实验数据，如下表：抛掷次数“正面向上”的次数“正面向上”的频率下面有三个推断：①在用频率估计概率时，用实验次时的频率一定比用实验次时的频率更准确．②如果再次做此实验，仍按上表抛掷的次数统计数据，那么在数据表中，“正面向上”的频率有更大的可能仍会在附近摆动．③通过上述实验的结果，可以推断这枚纪念币有很大的可能性不是质地均匀的．其中正确的是 ．②③由频率估概率知，大量重复试验时，随试验次数增加，纪念币正面向上频率在附近摆动，呈稳定趋势，故②正确；纪念币正面向上概率约为，并非，故纪念币质地不均匀，③正确；每次试验频率随机，故①错误．15.按《航空障碍灯》的要求，为保障飞机夜间飞行的安全，在高度为米至米的建筑上必须安装中光强航空障碍灯．中光强航空障碍灯是以规律性的固定模式闪光．在下图中你可以看到某一种中光强航空障碍灯的闪光模式，灯的亮状态亮暗时间秒【答案】【解析】暗呈规律性交替变化．那么在一个连续的秒内，该航空障碍灯处于亮的状态的时间总和最长可达 秒．从秒秒，每秒，航空障碍灯亮秒，暗秒，周期性变化．则连续秒内，最多亮秒．16.【答案】【解析】右图是在浦东陆家嘴明代陆深古墓中发掘出来的宝玉——明白玉幻方．其背面有方框四行十六格，为四阶幻方（从到，一共十六个数目，它们的纵列、横行与两条对角线上个数相加之和均为）．小明探究后发现，这个四阶幻方中的数满足下面规律：在四阶幻方中，当数，，，有如图的位置关系时，均有．如图，已知此幻方中的一些数，则的值为 ．图图由，知，①，由知，又，则，得②，由①②知．三、解答题（共68分）17.【答案】【解析】计算：．．．18.【答案】【解析】解不等式组：．．原不等式组为，解不等式①，得，解不等式②，得，∴原不等式组的解集为．①②19.下面是小宇设计的“作已知直角三角形的中位线”的尺规作图过程．已知：在中，．求作：的中位线，使点在上，点在上．作法：如图，①分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于，两点；（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】②作直线，与交于点，与交于点．所以线段就是所求作的中位线．根据小宇设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形．（保留作图痕迹）完成下面的证明．证明：连接，，，，，∵， ，∴是的垂直平分线（ ）（填推理的依据）．∴为中点，．∴，又在中，有，．∴（ ）（填推理的依据）．∴．∴．∴为中点．∴是的中位线．画图见解析．；到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；等角的余角相等．补全的图形如图所示：；到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；等角的余角相等．20.（1）（2）（1）（2）【答案】关于的一元二次方程，其中．求证：方程有两个不相等的实数根．当时，求该方程的根．证明见解析．，．（2）∵，∴，∴方程有两个不相等的实数根．当时，方程为，解得，．故方程的根为，．21.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】如图，在平行四边形中，的角平分线交于点，交的延长线于点，连接．求证：．若，，求平行四边形的面积．证明见解析．．∵四边形为平行四边形，∴．∴．∵平分，∴．∴．∴．∵，，∴．∵，，∴．∴．平行 边形22.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】如图，是⊙的直径，，与⊙分别相切于点，，连接，，，与相交于点．求证：．连结，若，，求的长．证明见解析．．连接，如图，∵，与⊙分别相切于点，，∴，，，∴，∵，∴，∵，∴．连接，如图，∵是⊙的直径，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，，∵，，∴，∴．23.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，与双曲线的交点为，．当点的横坐标为时，求的值．若，结合函数图象，直接写出的取值范围．．或．∵点是双曲线上的点，且点的横坐标为，∴点的坐标为．∵点是直线上的点，∴．当时，满足，结合函数图象可得，的取值范围是或．24.（1）（2）12（3）（1）（2）1（3）【答案】有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小宇从课本上研究函数的活动中获得启发，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小宇的探究过程，请补充完整：函数的自变量的取值范围是 ．如图，在平面直角坐标系中，完成以下作图步骤：①画出函数和的图象．②在轴上取一点，过点作轴的垂线，分别交函数和的图象于点，，记线段的中点为．③在轴正半轴上多次改变点的位置，用②的方法得到相应的点，把这些点用平滑的曲线连接起来，得到函数在轴右侧的图象．继续在轴负半轴上多次改变点的位置，重复上述操作得到该函数在轴左侧的图象．结合函数的图象，发现：该函数图象在第二象限内存在最低点，该点的横坐标约为 （保留小数点后一位）．该函数还具有的性质为： （一条即可）．画图见解析．（在至之间即可）2（1）（2）12（3）【解析】当时，随的增大而增大函数的自变量的取值范围是．观察图象可得，第二象限内最低点的横坐标为（在至之间即可）．答案不唯一，如：当时，随的增大而增大．25.某学校共有六个年级，每个年级个班，每个班约名同学．该校食堂共有个窗口，中午所有同学都在食堂用餐．经了解，该校同学年龄分布在岁（含岁）到岁（含岁）之间，平均年龄约为岁．小天、小东和小云三位同学，为了解全校同学对食堂各窗口餐食的喜爱情况，各自进行了抽样调查，并记录了相应同学的年龄，每人调查了名同学，将收集到的数据进行了整理．小天从初一年级每个班随机抽取名同学进行调查，绘制统计图表如下：表：窗口人数窗口人数小东从全校每个班随机抽取名同学进行调查，绘制统计图表如下：表：（1）（2）（3）（1）（2）（3）【答案】窗口人数窗口人数小云在食堂门口，对用餐后的同学采取每隔人抽取人进行调查，绘制统计图表如下：表：窗口人数窗口人数根据以上材料回答问题：写出图中的值，并补全图．小天、小东和小云三人中，哪个同学抽样调查的数据能较好地反映出该校同学对各窗口餐食的喜爱情况，并简要说明其余同学调查的不足之处．为使每个同学在中午尽量吃到自己喜爱的餐食，学校餐食管理部门应为 窗口尽量多的分配工作人员，理由为 ．岁，画图见解析．小东（答案不唯一）．号和号（或者只有；或者，，）（答案不唯一） ; 从小东的调查结果看，这几个窗口受到更多的同学的喜爱，应该适当增加这几个窗口的工作人员（1）（2）（3）【解析】小天调查的不足之处：仅对初一年级抽样，不能代表该学校学生总体的情况；小云调查的不足之处：抽样学生的平均年龄为岁，远高于全校学生的平均年龄，不能代表该学校学生总体情况．从小东的调查结果看，这几个窗口受到更多的同学的喜爱，应该适当增加这几个窗口的工作人员．26.（1）（2）（3）（1）（2）（3）【答案】（1）（2）【解析】在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，且点在轴上，点在轴的正半轴上．求点的坐标．若，求直线的解析式．若，求的取值范围．．．或．∵抛物线与轴交于点，∴点的坐标为．时，抛物线为，∵抛物线与轴交于点，且点在轴的正半轴上，∴点的坐标为，∵直线过，两点，（3）∴，解得，∴直线的解析式为．如图当时，当时，抛物线过点，此时，结合函数图象可得，当时，抛物线过点，此时，结合函数图象可得，综上所述，的取值范围是或．27.12（1）（2）1（1）【答案】已知为线段中点，．为线段上一动点（不与点重合），点在射线上，连接，，记．若，．如图，当为中点时，求的度数．图直接写出、的数量关系．如图，当时．探究是否存在常数，使得②中的结论仍成立？若存在，写出的值并证明；若不存在，请说明理由．图．2（2）12（1）（2）【解析】．存在，使得②中的结论成立，证明见解析．在上取点，使得，连接．∵，∴为等边三角形．∴．∵为的中点，为的中点，∴．∵，∴．∴平分．∴．．过点作的垂线交于点．∵，∴．∴，．∵，，∴．∵，∴，∴≌．∴．28.（1）12（2）（1）12（2）【答案】（1）1（2）【解析】对于平面直角坐标系中的两个图形和，给出如下定义：若在图形上存在一点，图形上存在两点，，使得是以为斜边且的等腰直角三角形，则称图形与图形具有关系．若图形为一个点，图形为直线，图形与图形具有关系，则点，，中可以是图形的是 ．已知点，点，记线段为图形．当图形为直线时，判断图形与图形是否既具有关系又具有关系，如果是，请分别求出图形与图形中所有点的坐标；如果不是，请说明理由．当图形为以为圆心，为半径的⊙时，若图形与图形具有关系，求的取值范围．是，，，，．或．有题意，得：当坐标为，坐标为时，是以为斜边且的等腰直角三角形，∴可以是图象，经验证，，不满足题意，故答案为．是，如图，在直线上取点，，图且，则满足是以为斜边的等腰直角三角形的点，在到直线距离为的两条平行直线上，2故图形与图形满足，直线与线段交于点，过点作轴于，与交于点，则，，可得，同理可求得：，如图，在线段上取点，，且，图则满足是以为斜边的等腰直角三角形的点在图中的两条线段上，这两条线段与直线交于，两点．故图形与图形满足．同上可求得，．如图所示，，，，和均为等腰直角三角形，∴，，∴，，∴若在⊙上，则点在以为圆心，或为半径的圆上，∵圆形与图具有关系，∴线段上存在点到的距离为或．/如图，图当在右侧，时，，当⊙与线段相切时，，，，∴，∴，此时，．如图，图当在⊙上时，，∴，当在⊙上时，，，∴，∴，此时．综上，的取值范围是或．。