统计学各章计算题公式及解题方法第四章数据的概括性度量1.组距式数值型数据众数的计算：确定众数组后代入公式计算：下限公式：M0=M+?1?1+?2×M；上限公式：M0=M−?2?1+?2×M，其中，L为众数所在组下限，U为众数所在组上限，?1为众数所在组次数与前一组次数之差，?2为众数所在组次数与后一组次数之差，d为众数所在组组距2.中位数位置的确定：未分组数据为M+12；组距分组数据为M23.未分组数据中位数计算公式：M M={M(M+12)，n为奇数12(M M2+M M2+1)，n为偶数4.单变量数列的中位数：先计算各组的累积次数（或累积频率）—根据位置公式确定中位数所在的组—对照累积次数（或累积频率）确定中位数（该公式假定中位数组的频数在该组内均匀分布）5.组距式数列的中位数计算公式：下限公式：M M=M+M2−M M−1M M×M；上限公式：M M=M−M2+M M+1M M×M，其中，M M为中位数所在组的频数，M M−1为中位数所在组前一组的累积频数，M M+1为中位数所在组后一组的累积频数6.四分位数位置的确定：未分组数据：{下四分位数：M M=M+14上四分位数：M M=3(M+1)4；组距分组数据：{下四分位数：M M=M4上四分位数：M M=3M47.简单均值：M̅̅̅=M1+M2+⋯+M MM =∑M MMM=1M8. 加权均值：M ̅̅̅=M 1M 1+M 2M 2+⋯+M M M MM 1+M 2+⋯+M M=∑M M M MM M =1M=∑M MM M =1M M M，其中，M 1，M 2…M M 为各组组中值9. 几何均值（用于计算平均发展速度）：M ̅̅̅=√M 1×M 2×…×M M M =√∏M M M M =1M10. 四分位差（用于衡量中位数的代表性）：M M =M M −M M 11. 异众比率（用于衡量众数的代表性）：M M =∑M M −M M ∑M M=1−M M ∑M M12. 极差：未分组数据：R =MMM (M M )−MMM (M M )；组距分组数据：R =最高组上限−最低组下限13. 平均差（离散程度）：未分组数据：M M =∑|M M −M̅̅̅|M M =1M；组距分组数据：M M =∑|M M −M̅̅̅|M M =1?M M M14. 总体方差：未分组数据：σ2=∑(M M −M )2M M =1M；分组数据：σ2=∑(M M −M )2M M =1?M MM15. 总体标准差：未分组数据：σ=√∑(M M −M )2M M =1M；分组数据：σ=√∑(M M −M )2M M =1?M MM16. 样本方差：未分组数据：M M −12=∑(M −M̅̅̅)2M M =1M −1；分组数据：M M −12=∑(M M −M̅̅̅)2?M M M M =1M −117. 样本标准差：未分组数据：M M −1=√∑(M −M̅̅̅)2M M =1M −1；分组数据：M M −1=√∑(M M −M̅̅̅)2?M M M M =1M −118. 标准分数：M M =M M −M ̅̅̅M19. 离散系数：M M =M M̅̅̅第七章 参数估计1. M M 2的估计值：2. 不同情况下总体均值的区间估计：其中，M M 2查p448 ，查找时需查n-1的数值3. 大样本总体比例的区间估计：M ±M M 2√M (1−M )M4. 总体方差M 2在1−α置信水平下的置信区间为：(M −1)M 2M M /22≤M 2≤(M −1)M 2M 1−M /225. 估计总体均值的样本量：n =(M M /2)2M 2M 2，其中，E 为估计误差6. 重复抽样或无限总体抽样条件下的样本量：n =(M M /2)2M (1−M )M 2，其中π为总体比例第八章 假设检验1. 总体均值的检验（M 2已知或M 2未知的大样本）[总体服从正态分布，不服从正态分布的用正态分布近似]2. 总体均值检验（M 2未知，小样本，总体正态分布）注：σ已知的拒绝域同大样本3.一个总体比例的检验（两类结果，总体服从二项分布，可用正态分布近似）（其中M0为假设的总体比例）4.总体方差的检验（M2检验）5. z统计量的参考数值第九章 列联分析1. 期望频数的分布（假定行变量和列变量是独立的）一个实际频数 f MM 的期望频数 e MM ，是总频数的个数M 乘以该实际频数 f MM 落入第M 行 和第j 列的概率，即：M MM =M ·(M M M)?(M M M)=M M M MM2. M 2统计量（用于检验列联表中变量间拟合优度和独立性；用于测定两个分类变量之间的相关程度χ2=∑∑(M MM −M MM )2M MMMM =1M M =1，自由度为(M −1)(M −1)，M MM 为列联表中第i 行 第j 列的实际频数，M MM 为列联表中第i 行 第j 列的期望频数1) 检验多个比例是否相等检验的步骤提出假设H 0：?1 = ?2 = … = ?j ；H 1： ? 1 ， ?2 ， …，?j 不全相等；计算检验的统计量；进行决策：根据显着性水平?和自由度(r -1)(c -1)查出临界值??2，若?2>??2，拒绝H 0；若?2<??2，不拒绝H 02) 利用样本数据检验总体比例是否等于某个数值检验的步骤提出假设H 0：?1 = ，?2 = ，… ；H 1：原假设的等式中至少有一个不成立；计算检验的统计量；进行决：根据显着性水平?和自由度(r -1)(c -1)查出临界值??2；若?2>??2，拒绝H；若?2<??2，不拒绝H3)检验列联表中的行变量与列变量之间是否独立检验的步骤提出假设H0：行变量与列变量独立；H1：行变量与列变量不独立；计算检验的统计量；进行决策：根据显着性水平?和自由度(r-1)(c-1)查出临界值??2，若?2???2，拒绝H0；若?2<??2，不拒绝H3.?相关系数：测度2?2列联表中数据相关程度；对于2?2 列联表，?系数的值在0～1之间φ=√M2M，其中，n为实际频数总个数，即样本容量4.列联相关系数（C系数）用于测度大于2?2列联表中数据的相关程度M=√M2M2+M，其中，C的取值范围是 0≤C<1；C = 0表明列联表中的两个变量独立；C的数值大小取决于列联表的行数和列数，并随行数和列数的增大而增大；根据不同行和列的列联表计算的列联系数不便于比较5.V相关系数V=√MM MMM[(M−1)，(M−1)]，其中，V 的取值范围是 0≤V≤1； V = 0表明列联表中的两个变量独立；V=1表明列联表中的两个变量完全相关；不同行和列的列联表计算的列联系数不便于比较；当列联表中有一维为2，min[(r-1),(c-1)]=1,此时V=φ第十章方差分析1.单因素方差分析的要点：1)建立假设的表述方法：M0：M1=M2=⋯=M M ,自变量对因变量没有显着影响M1：M1，M2，…，M M不全相等，自变量对因变量有显着影响2)决策：i.根据给定的显着性水平α，在F分布表中查找与第一自由度df1=k−1、第二自由df2=n−k相应的临界值F Mii.若F>F M，则拒绝原假设H0，表明均值之间的差异是显着的，所检验的因素对观察值有显着影响iii.若F<F M，则不拒绝原假设H0，不能认为所检验的因素对观察值有显着影响3)单因素方差分析表的结构：2.方差分析中的多重比较（步骤）：采用Fisher提出的最小显着差异方法，简写为LSD1)提出假设：M0：M M=M M(第M个总体的均值等于第M个总体的均值)M0：M M≠M M(第M个总体的均值不等于第M个总体的均值)2)计算检验统计量：M̅̅̅M−M̅̅̅M3)计算LSD：LSD=M M2√MMM(1M M+1M M)4)决策：若|M̅̅̅M−M̅̅̅M|>MMM,则拒绝M0；若|M̅̅̅M−M̅̅̅M|<MMM，则不拒绝M0 3.双因素方差分析：1)无交互作用的双因素方差分析表结构：2)有交互作用的双因素方差分析表结构：4. 关系强度测量：变量间关系的强度用自变量平方和(SSA)及残差平方和(SSE)占总平方和(SST)的比例大小来反映，根据M 2平方根R 进行判断M 2=MMM （组间平方和）MMM （总平方和）第十一章 一元线性回归1. 样本的相关系数：r =∑(M −M ̅̅̅)(M −M ̅̅̅)√∑(M −M̅̅̅)?∑(M −M̅̅̅)=M ∑MM −∑M ∑M√M ∑M −(∑M )?√M ∑M −(∑M )2. 相关系数的显着性检验步骤：1) 提出假设：M 0：ρ=0；M 1：ρ≠0 2) 计算检验统计量：t =|M |√M −21−M 2~M (M −2)3) 确定α并决策：|M |>M M 2，拒绝M 0；|M |<M M 2，不拒绝M 03. 一元回归模型：y =M 0+M 1M +?4. 一元线性回归方程形式：M (M )=M 0+M 1M ，其中M 0是直线方程在y 轴上的截距，是当M =0时，y 的期望值；M 1是直线的斜率，称为回归系数，表示当M 每变动一个单位时y 的平均变动值5. 一元线性回归中，估计的回归方程：M ̂=M ̂0+M ̂1M ,其中M ̂0是估计的回归直线在y 轴上的截距，M ̂1是直线的斜率，它表示对于一个给定的M 的值，M ̂是y 的估计值，表示当M 每变动一个单位时y 的平均变动值 6. 根据最小二乘法求M ̂0以及M ̂1的公式：{M ̂1=M ∑M M M M −(∑M M M M =1)(∑M M MM =1)M M =1M ∑M M M M =1(∑M M M M =1)M ̂0=M ̅̅̅−M 1M ̅̅̅7. 误差平方和之间的关系：∑(M M −M ̅̅̅)2=M M =1∑(M ̂M −M ̅̅̅)2+∑(M M −M M =1M M =1M ̂M )2，即：SST (总平方和)=SSR (回归平方和)+SSE（残差平方和）8. 判定系数（回归平方和占离差平方和的比例）：M 2=MMM MMM=∑(M ̂M −M ̅̅̅)2M M =1∑(M M −M̅̅̅)2MM =1=1−∑(M M −M ̂M )2M M =1∑(M̂M −M ̅̅̅)2M M =19. 估计标准误差(实际观察值与回归估计值离差平方和的均方根)：M M =√∑(M M −M̂M )2M M =1M −2=√MMM M −2=√MMM10. 线性关系的显着性检验：1) 提出假设：M 0：β1=0，线性关系不显着；M 1：β1≠0，有线性关系 2) 计算检验统计量：F =MMM 1⁄MMM M −2⁄=MMM MMM~M (1,M −2)3) 确定显着性水平α，并根据分子自由度1和分母自由度n-2找出临界值M M 4) 决策：若F >M M ，拒绝M 0；F <M M ，不拒绝M 0 11. 回归系数的显着性检验：1) 提出假设：M 0：β1=0，线性关系不显着；M 1：β1≠0，有线性关系 2) 计算检验统计量：t =M ̂1M M ̂1~M (M −2)3) 确定显着性水平α并决策：若|M |>M M 2⁄，拒绝M 0；|M |<M M 2⁄，不拒绝M 012. 置信区间估计：E (M 0)在1−α置信水平下的置信区间：M ̂0±M M 2⁄(M −2)M M √1M +(M 0−M ̅̅̅)2∑(M M −M̅̅̅)2MM =1 其中，M M 为估计标准误差，(n −2)为M M 2⁄的自由度13. 预测区间估计：M 0在1−α置信水平下的预测区间：M ̂0±M M 2⁄(M −2)M M √M +1M+(M 0−M ̅̅̅)2∑(M M −M̅̅̅)2M M =114. 回归分析表的结构： 15. 几点说明：1) 判定系数M 2测度了回归直线对观测数据的拟合程度，若所有观测点都落在直线上，残差平方和SSE=0，M 2=1，拟合是完全的2) 在一元线性回归中，相关系数r 实际上是判定系数M 2的平方根 3) 相关系数r 与回归系数M ̂1是同号的第十三章 时间序列预测和分析1. 环比增长率：报告期增长率与前一期水平之比减1：M M =M MM M −1−1 (i =1，2，Λ，n )2. 定基增长率：报告期水平与某一固定时期水平之比减1M M =M M M 0−1 (i =1，2，Λ，n ),其中， M 0表示用于对比的固定基期的观察值3. 平均增长率：序列中各逐期环比值(也称环比发展速度) 的几何平均数减1后的结果（描述现象在整个观察期内平均增长变化的程度）G ̅=√M 1M 0×M 2M 1×Λ×M MM M −1M −1=√MM M 0M−1，G ̅表示平均增长率，n 为环比值的个数1) 当时间序列中的观察值出现0或负数时，不宜计算增长率2) 在有些情况下，不宜单纯就增长率论增长率，要注意增长率与绝对水平的结合分析4. 时间序列预测的步骤：1) 确定时间序列所包含的成分，也就是确定时间序列的类型 2) 找出适合此类时间序列的预测方法3) 对可能的预测方法进行评估，以确定最佳预测方案 4) 利用最佳预测方案进行预测5. 均方误差：通过平方消去正负号后计算的平均误差，用MSE 表示MSE=∑(M M−M M)2MM=1M，其中M M为观测值，M M为预测值6.简单平均法：根据过去已有的t期观察值来预测下一期数值。