洛伦兹变换的推导
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三、狭义相对论的基本原理 1. 狭义相对论的基本原理 （1）相对性原理：基本物理定律在所有惯性系中 都保持相同形式的数学表达式，一切惯性系都是等 价的； （2）光速不变原理：在一切惯性系中，光在真空 中的传播的速率都等于c，与光源的运动状态无关。 这两条原理非常简明，但意义深远。它们是狭义相 对论的基础，其正确性要由它们所导出的结果和实验 事实来判定。
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2. 洛伦兹变换
（1）坐标变换
假设 x = k( x v t ) k 是比例系数，与x和t 都无关。 y
按照狭义相对论第一条基本原 理， S系和S 系除了作相对运动 外别无差异，考虑运动的相对性， 应有： x = k(x + vt ) 另外两个坐标的变换容易写出
S
y
r
o
o
v
S
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在S系有 在S 系有
x = ct x = ct
y
y
S
S
x
x
将两式分别代入
x = k( x v t ) 和 x = k(x + vt )
得
ct k (c v)t
ct k (c v)t
消去t 和t 后，可解得
k
1 1 v / c
2 2
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将k 代入坐标和时间变换式中，得到洛伦兹变换 的最终形式： 逆变换 正变换
x 2 2 1 v / c y y z z 2 t vx / c t 1 v2 / c2
x vt
x 2 2 1 v / c y y z z 2 t vx / c t 1 v2 / c2
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x vt
在v << c的情况下，洛伦兹变换过渡到伽利略变换。
从洛伦兹变换中可以看到，x 和t 都必须是实数， 所以速率v必须满足
v 1 2 0 c
或者2ຫໍສະໝຸດ vc我们得到了一个十分重要的结论，这就是一切物 体的运动速度都不能超过真空中的光速 c，或者说 真空中的光速c 是物体运动的极限速度。
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P
r
x
x
y = y
z = z
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（2）时间变换 将 x = k( x v t ) 代入 x = k(x + vt ) ，得
x k ( x vt ) kvt
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解出
1 k 2 t kt ( )x kv
当两个坐标系的原点重合时，t = t = 0。这时，如 果在原点处有一点光源发出一光脉冲，S系和S 系都 将观察到光脉冲以速率c向各个方向传播。