扩展有限元方法和裂纹扩展
1.1 扩展有限元方法（XFEM ）基本理论
1999年，美国Northwestern University 的Belytschko 和Black 领导的研究小
组提出了扩展有限元方法，为解决裂纹这类强不连续问题带来了曙光。
他们正式
应用扩展有限元法（XFEM ）这一专业术语是在2000年，截止到目前，扩展有
限元法（XFEM ）成为我们解决强不连续力学问题的最有效的数值计算方法，也
成为计算断裂力学的重要分支。
XFEM 在有限元的框架下进行求解，无需对构件
内部的物理界面进行网格划分，具有常规有限元方法的所有优点。
它最明显的特
点是用已知的特征函数作为形函数来使传统有限元的位移得到逼近，进而克服了
在裂纹尖端和变形集中处进行高密度网络划分产生的困难，方便地模拟裂纹的任
意路径，而且计算精度和效率得到了显著的提高[6]。
扩展有限元方法是将已知解析解的特征函数作为插值函数增强传统有限元
的位移逼近，来使得单元内的真实位移特性得以体现，裂纹尖端和物理或几何界
面独立于有限元网格。
XFEM 主要包括以下三部分内容：首先是不考虑构件的任
何内部细节，按照构件的几何外形尺寸生成有限元网格；其次，采用水平集方法
跟踪裂纹的实际位置；根据已知解，改进影响区域的单元的形函数，来反映裂纹
的扩展。
最后通过引入不连续位移模式来表示不连续几何界面的演化。
因为改进
的插值函数在单元内部具有单元分解的特性，其刚度矩阵的特点与常规有限元法
的刚度矩阵特性保持一致。
单元分解法(Partition Of Unity Method)和水平集法
（Level Set Method ）、节点扩展函数构成了扩展有限元法的基本理论，其中，单
元分解法是通过引入加强函数计算平面裂纹扩展问题，保证了XFEM 的收敛性；
水平集法是跟踪裂纹的位置和模拟裂纹扩展的常用数值方法，任何内部几何界面
位置都可用它的零水平集函数来表示。
(1)单元分解法的基本思想是任意函数()x φ都可以用子域内一组局部函数
()()x x N I ϕ表示，满足如下等式：
()()()x x N x I
I ϕφ∑= （1）
其中，它们满足单位分解条件：f I I
åx ()=1 ()x N I 是有限元法中的形函数，根
据上述理论，便可以根据需要对有限元的形函数进行改进。
在XFEM 中，单元
分解的目的是进行数值积分，达到不引人额外的自由度的目的[7-8]。
(2)水平集法 使用水平集法来描述几何间断性。
在一般情形下，多用来追踪
界面的位置。
这里的界面可以是闭合曲线或者是计算域边界的曲线。
在扩展有限
元方法中，由于网格划分并不需要符合裂纹的几何性质，简化裂纹跟踪位置的关
键是对裂纹的几何描述。
而水平集法的强大优势是可以用于分析和计算界面运
动。
正好符合扩展有限元方法的要求即对于任意方向的裂纹增长不需要网格重
划。
裂纹的水平集函数常取下列符号的距离函数即:
()()
γγγψx x t x t x -±=∈min , (2) 若x 位于裂纹上方，上式符号为正，反之为负[9-10]。
(3)扩展有限元法的位移模式（节点扩展函数简介）：
扩展有限元法的基本内容就是在含有位移不连续性的影响区域内通过一些
附加的加强函数来多常规有限元法的位移模式进行改进，进而对不连续的位移进
行描述。
为了实现断裂分析，裂纹尖端附近渐近函数用来模拟裂尖的应力奇异性，
间断函数则用来表示裂纹几何界面处的位移间断跳跃。
所以改进的位移逼近可以
写为:
()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=∑∑==411ααααI I I N
I I b x F x H u x N u (3)
其中，()x N I 为有限元形函数，I u 为节点位移向量的连续部分，I α为与
Heaviside 函数相关的节点扩展自由度向量，()x H 是裂纹面的间断跳跃函数，α
I b 是与弹性渐进裂尖函数有关的节点扩展自由度向量，()x F α是裂尖应力渐进函数。
等式右边第一项可用于构件中的所有节点，右边第二项单元节点形函数被裂纹完
全贯穿的情况，第三项裂尖停留在单元内部的节点。
引入位移扩展函数使得扩展有限元法确保裂尖可以被模拟为精确地停留在
单元内部，同时允许在相对粗糙的二维有限元网格上获得比较好的精度[11]。
1.2扩展有限元方法研究现状
1.1.1 有限元法研究裂纹扩展
有限元方法是目前来说应用非常广泛的数值计算方法之一，对弹性体进行模
拟裂纹扩展时，有限元网格的划分对整个计算过程最为重要，它不仅仅影响着计
算的精度和速率，而且还决定着此计算过程能否顺利进行。
模拟裂纹扩展问题的
关键是裂纹尖端处的应力场，所以裂纹尖端处的单元应当设计为奇异性单元，并
且在尖端领域内进行局部加密来提高计算精度，计算网格随着裂纹的扩展而不断
变化，用来保证奇异性单元和加密网格始终位于裂纹尖端[12] ，综上，网格的重新划分在有限元法模拟裂纹扩展过程中是非常关键的一个问题。
很多文献关于有限元方法模拟裂纹扩展过程的裂纹尖端处的网格生成进行了研究，比如杨庆生的《断裂过程的有限元模拟》中研究了自身适应的模拟裂纹扩展的有限元网格生成技术。
还有2003年陈永强和姚振汉在有限元技术的基础上，对表征非均匀材料且初始分布并不均匀的格子模型用重复多子域边界元法对非均匀材料在简单荷载作用下的破坏过程进行了相关研究和模拟。
诸如对裂纹扩展过程模拟的研究还有很多，但是有限元法是基于网格的数值方法，由于裂纹尖端的奇异性和强不连续性，使得网格划分变得困难，还是没有完全解决此类问题。
1.1.2扩展有限元方法研究裂纹扩展
扩展有限元方法（the extended finite method—XFEM）可以减少裂纹面网格划分带来的劣势。
该方法基于整体划分（单元分解）的概念，仍然属于传统有常规有限元方法的扩展。
整体划分的概念使扩展函数方便地进入到有限元当中，不连续性也可以通过引入额外自由度的扩展函数来解决，即可以确定裂纹的实际位置，跟踪裂纹的生长[13]。
当然，扩展有限元方法保留了传统有限元的框架，其刚度矩阵具有与常规有限单元一样的优点。
具有以下特点：
（1）单元划分的常规有限元扩展
（2）引入特殊的位移函数，扩展自由度实现不连续性
（3）不需要重新划分网格描述几何间断性
（4）所划分网格与构件的几何或物理界面无关
（5）可用于模拟任意性、求解相关路径裂纹的裂纹初始和扩展过程
（6）同时允许几何和材料的非线性的存在
（7）裂纹的生成与扩展路径可以完全基于计算的结果
（8）简化模型网格细化后的裂纹研究
（9）在裂尖应变奇异性改进方法的基础上，使裂纹分析的收敛速度得到提高
1.3断裂力学中裂纹相关内容
断裂力学的任务是：获得不同材料的断裂强度；预测物体在给定外力作用下是否将发生断裂，即建立材料断裂准则；研究载荷作用过程里的裂纹扩展规律；研究在复杂环境和应力同时作用下物体的断裂问题。
裂纹扩展有三种基本形式：张开型、滑开型以及撕开型。
在工程应用与实际
生产中，并非所有的断裂问题都可简化为上述三个基本模式之一，还有复合型断
裂是三种基本模式的组合，也是最常见的裂纹类型。
在断裂力学中，有最为基本
的理论即：能量释放率理论、裂纹尖端弹性应力场理论、J 积分理论[14]。
（1）能量释放率（G ）理论：
R G G C =≥ (4)
其中R 是裂纹扩展的阻力，C G 是G 达到R 时的临界值。
该理论认为材料对
裂纹扩展的阻力等于弹性表面能与伴随裂纹产生的塑性应变功之和，成功的
解释了裂纹扩展现象，为线弹性断裂力学的发展奠定了基础。
（2）裂纹尖端应力场理论：
C K K = (5)
应力强度因子K 不仅仅适用于稳定的裂纹扩展，还适用于应力腐蚀和疲劳之
类的亚裂纹扩展。
（3）J 积分理论：
ds x
u T
wdy J ⎰Γ∂∂-= (6) 是一个回路积分,由Rice 提出，J 积分是一个与积分路径无关的常数，J 积分和 应力强度因子K 一样反映裂纹尖端的力学特性的。
1.4 本章内容小结
本章内容详细介绍了扩展有限元方法（XFEM ）的基本理论和内容，包括单位分
解法、水平集法、引入节点扩展函数表征扩展有限元方法描述裂纹的位移模式，
以及扩展有限元方法基本特点和它的发展，以及与有限元方法模拟裂纹的对比，
最后还简要的介绍了断裂力学中裂纹的相关基本理论。