高三数学《平面解析几何》单元练习七（考试时间120分 分值160分）一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把正确答案填在题中横线上)1．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是______．2．过点A (4，a )与B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则AB ＝________.3．已知双曲线x 24－y 212＝1的离心率为e ，抛物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则p 的值为________．4．若直线ax ＋2by －2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b 的最小值为______．5．若双曲线x 2a 2－y 2＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为________．6．已知曲线上的每一点到点A (0,2)的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，则曲线的方程为________．7．(2010·淮安质检)抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是________．8．已知点A 、B 是双曲线x 2－y 22＝1上的两点，O 为坐OA 标原点，且满足OA ·OB ＝0，则点O 到直线AB 的距离等于________．9．(2009·全国Ⅱ改编)双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________.10．(2009·四川高考改编)已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则12PF PF ⋅＝________.11．(2009·天津高考改编)设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A 、B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，BF ＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF＝________.12．(2010·南京模拟)已知点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0(a ，b 为常数)上，则 (x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为________．13．直线l 的方程为y ＝x ＋3，在l 上任取一点P ，若过点P 且以双曲线12x 2－4y 2 ＝3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为 ___________________________________________________________．14．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若AF FB =，,AF FB BA BC =⋅＝48，则抛物线的方程为______________．单元练习七答题纸班级姓名学号成绩一、填空题：1．______________2.______________3._____________4.________________5._______________6._______________7._____________8.________________9._______________10.______________11.____________12._______________13.____________________ 14.____________________二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0. (1)当a为何值时，直线l与圆C相切？(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝22时，求直线l的方程．16．(本小题满分14分)过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．17．(本小题满分14分)设椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A、B两点，点C是AB的中点，若|AB|＝22，OC的斜率为22，求椭圆的方程．18．(本小题满分16分)已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝203，椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的离心率为22，若圆与椭圆相交于A、B，且线段AB是圆的直径，求椭圆的方程．19．(本小题满分16分)给定抛物线C：y2＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，记O为坐标原点．(1)求OA OB⋅的值；(2)设AF FBλ⋅，当△OAB的面积S∈[2，5]时，求λ的取值范围．20．(本小题满分16分)(2010·苏北四市模拟)已知O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴，y 轴上运动，且|AB |＝8，动点P 满足AP ＝35PB ，设点P 的轨迹为曲线C ，定点为M (4,0)，直线PM 交曲线C 于另外一点Q . (1)求曲线C 的方程； (2)求△OPQ 面积的最大值．平面解析几何(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把正确答案填在题中横线上)1．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是______． 解析：由已知焦点到准线的距离为p ＝|a |2. 答案：|a |22．过点A (4，a )与B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则AB ＝________. 解析：由题知b －a5－4＝1，∴b －a ＝1. ∴AB ＝(5－4)2＋(b －a )2＝ 2.答案： 23．已知双曲线x 24－y 212＝1的离心率为e ，抛物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则p 的值为________．解析：依题意得e ＝2，抛物线方程为y 2＝12p x ，故18p ＝2，得p ＝116.答案：1164．若直线ax ＋2by －2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为______．解析：由(x －2)2＋(y －1)2＝13，得圆心(2,1)， ∵直线平分圆的周长，即直线过圆心．∴a ＋b ＝1. ∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b ≥3＋22，当且仅当b a ＝2ab ，即a ＝2－1，b ＝2－2时取等号，∴1a ＋2b 的最小值为3＋2 2. 答案：3＋2 25．若双曲线x 2a 2－y 2＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为________．解析：由a 2＋1＝4，∴a ＝3，∴e ＝23＝233. 答案：2336．已知曲线上的每一点到点A (0,2)的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，则曲线的方程为________．解析：设曲线上任意一点的坐标是(x ，y )，依题意得x 2＋(y －2)2－|y |＝2， 即x 2＋(y －2)2＝|y |＋2.① 当y ≥0时，化简①式得y ＝18x 2；当y ＜0时，化简①式得x ＝0，所以曲线的方程是y ＝18x 2(y ≥0)和x ＝0(y ＜0)．答案：y ＝18x 2(y ≥0)和x ＝0(y ＜0)7．(2010·淮安质检)抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是________．解析：准线方程为y ＝116由定义知116－y M ＝1 ⇒y M ＝－1516.答案：－15168．已知点A 、B 是双曲线x 2－y 22＝1上的两点，O 为坐OA 标原点，且满足OA ·OB ＝0，则点O 到直线AB 的距离等于________． 解析：由OA ·OA ＝0⇒OA ⊥OB ，由于双曲线为中心对称图形，为此可考查特殊情况，令点A 为直线y ＝x 与双曲线在第一象限的交点，因此点B 为直线y ＝－x 与双曲线在第四象限的一个交点，因此直线AB 与x 轴垂直，点O 到 AB 的距离就为点A 或点B 的横坐标的值，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1，y ＝x⇒x ＝ 2.答案： 29．(2009·全国Ⅱ改编)双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________.解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±12x 即x ±2y ＝0，圆心(3,0)到直线的距离d ＝|3|(2)2＋1＝ 3. 答案： 310．(2009·四川高考改编)已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则12PF PF ⋅＝________.解析：由渐近线方程y ＝x 得b ＝2， 点P (3，y 0)代入x 22－y 2b 2＝1中得y 0＝±1.不妨设P (3，1)，∵F 1(2,0)，F 2(－2,0)，∴12PF PF ⋅＝(2－3，－1)·(－2－3，－1)＝3－4＋1＝0. 答案：0 11．(2009·天津高考改编)设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A 、B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，BF ＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF＝________.解析：如图过A 、B 作准线l ：x ＝－12的垂线，垂足分别为A 1，B 1，由于F 到直线AB 的距离为定值．∴S △BCF S △ACF ＝BCCA. 又∵△B 1BC ∽△A 1AC . ∴BC CA ＝BB 1AA 1，由拋物线定义BB 1AA 1＝BF AF ＝2AF.由BF ＝BB 1＝2知x B ＝32，y B ＝－3，∴AB ：y －0＝33－32(x －3)．把x ＝y 22代入上式，求得y A ＝2，x A ＝2，∴AF ＝AA 1＝52. 故S △BCF S △ACF＝BF AF ＝252＝45. 答案：4512．(2010·南京模拟)已知点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0(a ，b 为常数)上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为________．解析：(x 0－a )2＋(y 0－b )2可看作点(x 0，y 0)与点(a ，b )的距离．而点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0上，所以(x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为点(a ，b )到直线ax＋by ＝0的距离|a ·a ＋b ·b |a 2＋b2＝a 2＋b 2. 答案：a 2＋b 213．直线l 的方程为y ＝x ＋3，在l 上任取一点P ，若过点P 且以双曲线12x 2－4y 2 ＝3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为_____．解析：所求椭圆的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0),2a ＝PF 1＋PF 2.欲使2a 最小，只需在直线l 上找一点P ，使PF 1＋PF 2最小，利用对称性可解．答案：x 25＋y 24＝114．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若AF FB =，,AF FB BA BC =⋅＝48，则抛物线的方程为______________．解析：设抛物线的准线与x 轴的交点为D ，依题意，F 为线段AB 的中点， 故AF ＝AC ＝2FD ＝2p ，AB ＝2AF ＝2AC ＝4p ，∴∠ABC ＝30°，|BC |23p ，BA BC ⋅＝4p ·23p ·cos30°＝48，解得p ＝2， ∴抛物线的方程为y 2＝4x . 答案：y 2＝4x二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切？ (2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2. 解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧ CD ＝|4＋2a |a 2＋1，CD 2＋DA 2＝AC 2＝22，DA ＝12AB ＝ 2. 解得a ＝－7，或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.16．(本小题满分14分)过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1、l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．解：法一：设点M 的坐标为(x ，y )，∵M 为线段AB 的中点，∴A 的坐标为(2x,0)，B 的坐标为(0,2y )．∵l 1⊥l 2，且l 1、l 2过点P (2,4)，∴PA ⊥PB ，k PA ·k PB ＝－1.而k PA ＝4－02－2x ，k PB ＝4－2y 2－0，(x ≠1)， ∴21－x ·2－y 1＝－1(x ≠1)． 整理，得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．∵当x ＝1时，A 、B 的坐标分别为(2,0)，(0,4)，∴线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程x ＋2y －5＝0.综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.法二：设M 的坐标为(x ，y )，则A 、B 两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y )，连结PM ，∵l 1⊥l 2，∴2PM ＝AB .而PM ＝(x －2)2＋(y －4)2， AB ＝(2x )2＋(2y )2， ∴2(x －2)2＋(y －4)2＝4x 2＋4y 2. 化简，得x ＋2y －5＝0即为所求的轨迹方程．法三：设M 的坐标为(x ，y )，由l 1⊥l 2，BO ⊥OA ，知O 、A 、P 、B 四点共圆，∴MO ＝MP ，即点M 是线段OP 的垂直平分线上的点．∵k OP ＝4－02－0＝2，线段OP 的中点为(1,2)， ∴y －2＝－12(x －1)， 即x ＋2y －5＝0即为所求．17．(本小题满分14分)设椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A 、B 两点，点C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程． 解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么A 、B 的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y －1＝0的解． 由ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，两式相减，得 a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，因为y 1－y 2x 1－x 2＝－1， 所以y 1＋y 2x 1＋x 2＝a b ， 即2y C 2x C ＝a b ，y C x C ＝a b ＝22，所以b ＝2a .① 再由方程组消去y 得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0，由AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2 ＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝22，得(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4，即(2b a ＋b )2－4·b －1a ＋b＝4.② 由①②解得a ＝13，b ＝23， 故所求的椭圆的方程为x 23＋2y 23＝1.18．(本小题满分16分)已知圆(x －2)2＋(y －1)2＝203，椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)的离心率为22，若圆与椭圆相交于A 、B ，且线段AB 是圆的直径，求椭圆的方程．解：∵e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝22，∴a 2＝2b 2. 因此，所求椭圆的方程为x 2＋2y 2＝2b 2，又∵AB 为直径，(2,1)为圆心，即(2,1)是线段AB 的中点，设A (2－m,1－n )，B (2＋m,1＋n )，则⎩⎪⎨⎪⎧ (2－m )2＋2(1－n )2＝2b 2，(2＋m )2＋2(1＋n )2＝2b 2，|AB |＝2203⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 8＋2m 2＋4＋4n 2＝4b 2，8m ＋8n ＝0，2m 2＋n 2＝2203⇒⎩⎪⎨⎪⎧2b 2＝6＋m 2＋2n 2，m 2＝n 2＝103，得2b 2＝16. 故所求椭圆的方程为x 2＋2y 2＝16.19． (本小题满分16分)给定抛物线C ：y 2＝4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，记O 为坐标原点． (1)求OA OB ⋅的值；(2)设AF FB λ⋅，当△OAB 的面积S ∈[2，5]时，求λ的取值范围． 解：(1)根据抛物线的方程可得焦点F (1,0)，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，将其与C 的方程联立，消去x 可得y 2－4my －4＝0.设A ，B 点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(y 1>0>y 2)， 则y 1y 2＝－4.因为y 21＝4x 1，y 22＝4x 2， 所以x 1x 2＝116y 21y 22＝1，故OA OB ⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3.(2)因为AF FB λ⋅，所以(1－x 1，－y 1)＝λ(x 2－1，y 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＝λx 2－λ， ①－y 1＝λy 2， ②又y 21＝4x 1， ③ y 22＝4x 2， ④由②③④消去y 1，y 2后，得到x 1＝λ2x 2，将其代入①，注意到λ>0，解得x 2＝1λ. 从而可得y 2＝－2λ，y 1＝2λ， 故△OAB 的面积S ＝12OF ·|y 1－y 2|＝λ＋1λ， 因λ＋1λ≥2恒成立，所以只要解λ＋1λ≤5即可，解之得3－52≤λ≤3＋52. 20．(本小题满分16分)(2010·苏北四市模拟)已知O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴，y 轴上运动，且|AB |＝8，动点P 满足AP ＝35PB ，设点P 的轨迹为曲线C ，定点为M (4,0)，直线PM 交曲线C 于另外一点Q .(1)求曲线C 的方程； (2)求△OPQ 面积的最大值．解：(1)设A (a,0)，B (0，b )，P (x ，y )，则AP ＝(x －a ，y )，PB ＝(－x ，b －y )， ∵AP ＝35PB ，∴⎩⎨⎧ x －a ＝－35x ，y ＝35(b －y ).∴a ＝85x ，b ＝83y . 又AB ＝a 2＋b 2＝8，∴x 225＋y 29＝1. ∴曲线C 的方程为x 225＋y 29＝1. (2)由(1)可知，M (4,0)为椭圆x 225＋y 29＝1的右焦点，设直线PM 方程为x ＝my ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 225＋y 29＝1，x ＝my ＋4，消去x 得(9m 2＋25)y 2＋72my －81＝0，∴|y P －y Q |＝(72m )2＋4×(9m 2＋25)×819m 2＋25 ＝90m 2＋19m 2＋25. ∴S △OPQ ＝12OM ·|y P －y Q |＝2×90m 2＋19m 2＋25 ＝20m 2＋1m 2＋259＝20m 2＋1m 2＋1＋169 ＝20m 2＋1＋169m 2＋1 ≤2083＝152， 当m 2＋1＝169m 2＋1， 即m ＝±73时，△OPQ 的面积取得最大值为152，此时直线方程为3x ±7y －12＝0.。