中学课本通常这样定义曲线的方程：
在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某 种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f (x, y)=0的实 数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的 曲线。
通常称条件(1)为方程的完备性(或曲线的纯粹性)， 称条件(2)为方程的纯粹性(或曲线的完备性)。但 曲线方程为什么要满足纯粹性与完备性？
牛顿在这基础上，将曲线看作是动点的路径，把 物体运动的轨迹表示为参数方程x=x(t), y=y(t). 然 后研究流数x’(t)和y’(t)；莱布尼茨则从曲线的切 线入手研究曲线性质，在坐标系上观察曲线在一 点的切线斜率的变化。由此，诞生了微积分.
而追溯函数的来源，它正是对各种特殊的曲线的 概括，从而最终成为描述运动的工具.
解析几何的教学要重视使学生经历“几何问题代 数化——处理代数问题——分析代数结果的几何 意义——解决几何问题”的过程，不断体会数形 结合的思想。
在平面解析几何初步的教学中，教师应帮助学生 经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代 数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问 题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结 果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应 贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地 体会“数形结合”的思想方法。
1、如何理解解析几何的基本思想？
解析几何的基本思想当然是数形结合。但是，数 形结合思想是以两个重要的思想观念为基础的： 一是坐标观念，一是运动变化的思想。
坐标观念通过位置量化，解决了点的代数化问题， 而运动变化思想则通过引入点动成线观念，实现 了曲线的代数化。笛卡尔的重要贡献在于他把运 动与变化的思想引入数学，从动态的角度解决几 何问题，把曲线看作是运动的轨迹。
中学数学教学比较重视建立坐标观念，而较忽视 解析几何中运动变化思想。无论是理解解析几何 思想本质(没有点动成线，何谈曲线方程)还是理 解数学学科发展，这都是不利的。
如所知，数学进步的一次重要飞跃是从常量数学 到变量数学。而变量数学的创立有两个主要标志： 解析几何和微积分。解析几何之所以列入，很重 要的在于它奠定了从动态角度解决一系列复杂代 数和几何问题的理论基础。以运动为基础，方程 与曲线统一起来，代数学与几何学统一起来，运 动也由此顺理成章地进入了代数学，产生了函数。
8 平面解析几何
解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其 本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了 数形结合的重要数学思想。
与课程改革前相比，中学解析几何变化不大，主 体内容仍然是：直线与方程、圆与方程、圆锥曲 线与方程。只是前两者作为必修模块，统称为平 面解析几何初步，第三者则放到选修1-1和选修 2-1中。另外，还在平面解析几何初步中增加了 一点空间直角坐标系的简单知识。
从某种程度上讲，解析几何对变量数学的意义较 之微积分更为基本，它奠定了微积分研究的基础。
解析几何的历史贡献就在于它将坐标观念与运动 变化思想结合到一起。在解析几何创立之前，方 程是静态的，人们只关注如何求出方程的根。几 何研究虽然把曲线看作动点运动的轨迹，但是曲 线不能计算。只当解析几何把动点形成的曲线看 作是“坐标(数)”变化的结果，变数才破土而出。
还有一点值得注意的是，坐标系与参数方程在多 年退出后又作为选修专题4-4重新进入了中学数 学。该专题是解析几何初步、平面向量、三角函 数等知识的综合应用和进一步深化。其中，极坐 标系和参数方程是重点内容，而对于柱坐标系、 球坐标系等则只要求学生作简单了解。
在“坐标系与参数方程”专题中，学生将了解曲 线的多种表现形式，体会从实际问题中抽象出数 学问题的过程，培养探究数学问题的兴趣和能力， 体会数学在实际中的应用价值，提高应用意识和 实践能力。
直线和圆是最简单的几何图形。圆锥曲线在数学 上是一个非常重要的几何模型，有很多非常好的 几何性质。这些重要的几何性质在日常生活、社 会生产及其他科学中都有着重要而广泛的应用。
在引入圆锥曲线时，应通过丰富的实例（如行星 运行轨道、抛物运动轨迹、探照灯的镜面），使 学生了解圆锥曲线的背景与应用。教师可以向学 生展现圆锥曲线在实际中的应用，例如，投掷铅 球的运行轨迹、卫星的运行轨迹。
具体而言，运用坐标表示，使得几何的“点”和 代数的“数”之间构成对应关系，进而根据点动 成线，把曲线上的“几何点集”，和满足方程的 “坐标数集”对应起来，并且能够相互转换。通 过坐标把曲线的性质译成了代数的语言，使许多 曲线有了一般的表示法和统一的研究手段。
总之，解析几何的基本手段是用坐标表示数，用 方程表示曲线，用代数方法来研究几何图形。这 种数和形之间的转换能力，是“数学双基”的一 部分，是数学思想的华生将在平面 直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代 数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系， 并了解空间直角坐标系。体会数形结合的思想， 初步形成用代数方法解决几何问题的能力。
在“圆锥曲线与方程”模块中，学生将学习圆锥 曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系， 掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在 刻画现实世界和解决实际问题中的作用。结合已 学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的 对应关系，进一步体会数形结合的思想。
“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数， 运动进入了数学.有了变数，辩证法进入了数学. 有了变数，微分和积分立刻成为必要的了.” （恩格斯《自然辩证法》 ）
2、曲线的方程为什么要满足纯粹性与完备性？
曲线的方程和方程的曲线是解析几何的基本概念 和理论基石，它反映了曲线和方程之间的统一。
曲线可以看作适合某种条件的点的集合或轨迹， 曲线的方程则是平面上具有某种几何性质的点的 坐标之间关系的反映，这样几何中的形和代数中 的数就统一起来，研究曲线的几何问题可以转化 为研究方程的代数问题；反过来，代数问题也可 以转化为几何问题来研究。