27
系统Ⅰ.
①1 2 … n
② n+1 n+2 …
2n
1
系统Ⅱ.
2
n
…
n+1
n+2
2n
解ห้องสมุดไป่ตู้
设Ai
{第i个 元 件 正
(i 1 ,2 , ,n )
常},工 则P作 (Ai)r
设 B1={ 系统Ⅰ正常工作}
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B2={ 系统Ⅱ正常工作} 考察系统Ⅰ：
设 C ={ 通路①正常工作 }，D={ 通路②正常工作 }
17
例3 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女 孩是等可能的，令A={一个家庭中有男孩，又有女孩}， B={一个家庭中最多有一个女孩} 对下列两种情形讨论A与B的独立性； （1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩。 解（1）有两个小孩的家庭时的样本空间有4个基本事件,
其概率各为1/4,此时
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结论的应用 n 个独立事件和的概率公式:
设事件 A1,A2,…,An相互独立,则
P (A 1 A 2 A n )1P (A 1 A 2 … A n ）
1P(A 1A 2… A n) 1P (A 1)P (A 2)… P (A n ) A1,A2,…,An
也相互独立
即 n个独立事件至少有一个发生的概率等于 1减去各自对立事件概率的乘积.
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3. n 个事件的独立性
定义 若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意两个事件 相互独立，即对于一切 1 ≤i< j ≤n, 有
P (A iA j) P (A i)P (A j)
共
C
2 n
Cn3
Cnn
则A 称 1， A2， An两
两
相.
互 (1 独 1)n C立 n0 Cn1
2n 1 n 个式子.
11
例1 分别掷两枚均匀的硬币，令A={硬币甲出现正面 H}，B={硬币乙出现反面T}，试验证A、B相互独立．
解 样本空间={HH, HT, TH, TT}共含有4个基本事 件，它们发生的概率均为1/4．而A={HH, HT}，B={HT, TT}，AB={HT}，故有
P(A)=P(B)=1/2，P(AB)=1/4，P(AB)=P(A) P(B) ， 所以A、B相互独立．
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两个结论
1 .若 事A1件 , A2,, An(n2)相互独 ,则立 其中任 k(2意 kn)个事件也是 . 相互 2. 若n个事件 A1, A2,,An(n2)相互独, 立 则将A1, A2,, An中任意多个事件 们换 的成 对它 立 事,件 所 得n的个 事 件 仍 相 互 .(独独立立性 关 运算封) 闭
A={(男，女），（女，男）}
B={(男，男)(男，女)(女，男)} AB={(男，女)(女，男)}
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P(A)=1/2,P(B)=3/4,P(AB)=1/2 则事件A,B不独立， （2）类似可求，但有P(AB)=P(A)P(B)成立，
则A与B相互独立。
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注. A1,A2,,An相 互 独 立 A1,A2,,An两两相互独立
两事件相互独立 P (A ) B P (A )P (B )二者之间没
两事件互斥
AB
有必然联系
例如
B
AB 1
若 P(A)1,P(B)1,
2
2
A
则 P (A ) B P (A )P (B ).
1
由两此事可件见相两互事独件立相互独立两但事两件事互件斥不. 互斥.
5
可以证明： 特殊地， 当P(A)0,P(B)0时，有
2
引例 盒中有 5个球(3绿2红),每次取出一 , 个
有放回地取.记 两次
A第一次抽,取 取到绿,球
B第二次抽,取 取到绿,球
则有
3 P(BA) P(B)
5
它表A的 示发生并B发 不生 影的 响可.能
若P(A)0，则
P(BA )P(B )P (A ) B P (A )P (B )
3
2. 定义 设A,B是两事,如 件果满足等式
1.6 独立性
一、事件的相互独立性 二、几个重要定理 三、例题讲解 四、小结
1
一、事件的相互独立性
(一) 两个事件的独立性
由条件概率，知 P(AB) P(AB) P(B)
一般地， P(AB)P(A)
这意味着：事件B的发生对事件A发生的概率 有影响. 然而，在有些情形下又会出现：
P(AB)P(A)
P(A1A2)41P(A 1)P(A2)
110，101， 011，000
P(A1A3)
1 4
P(A 1)P(A3)
P(A2A3)
1 4
P(A2)P(A3)
A1,A2,A3两两相互; 独立
(2 )P (A 1 A 2 A 3 ) 40 0 P(A1)P(A2)P(A3)8 1
A1,A2,A3不相互.独立
BA 1A 2 A 100
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依题设，A1,A2,,A10相 0 互独立
P (B ) P (A 1 A 2 A 1) 00
1P(A 1A 2 A 10 )0 1P(A 1A 2A 10)0 1P (A 1)P (A 2) P (A 10 )0
1[1P(A1)1 ]00
1(10.0 0)41001(0.9 9)61000.33
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(2) 若事件A与B相互独立, 则以下三对事件
也相互独立.
① A与 B； ② A 与 B；
注 称此为二事件的独立性 关于逆运算封闭.
③ A 与 B.
证 ① A A A ( B B ) A A B B
P (A )P (A) B P (A B )
P(AB)P(A)P(A)B
9
又∵ A与B相互独立
A与B 独立 A与B 相容( 不互斥) 或 A与B 互斥 A与B 不独立
证 若A与B 独立, 则 P (A)B P (A )P (B ) P (A ) 0 ,P ( B ) 0 P (A ) B P (A )P (B ) 0 故AB 即 A与B 不互斥(相容).
6
理解: 若A与B互斥，则 AB = B发生时，A一定不发生.
∵ 每条通路正常工作
通路上各元件
都正常工作
而 系统Ⅰ正常工作
两条通路中至少
有一条正常工作
B 1CD A 1 A 2 A n A n 1 A n 2 A 2 n
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P ( C ) P ( A 1 A 2 A n ) P ( A 1 ) P ( A 2 ) P ( A n ) rn
P(AB)P(A)P(B) 则称事A件 ,B相互独,简 立称 A, B独立 .
注. 1º若P(A)0,则
P(BA)P(B) P (A)B P (A )P (B )
说明 事件 A 与 B 相互独立,是指事件 A 的 发生与事件 B 发生的概率无关.
4
2º独立与互斥的关系 这是两个不同的概念.
互独斥立是是事事 件件间间本的身概 的率关属系性
P(AB) 0
B
A
这表明: B的发生会影响 A发生的可能性(造成 A不发生), 即B的发生造成 A发生的概率为零. 所以A与B不独立.
7
3.性质1.5
(1) 必然事件 及不可能事件与任何事件A 相互独立.
证 ∵ A=A, P()=1
∴ P(A) = P(A)=1• P(A)= P() P(A) 即 与A独立. ∵ A=, P()=0 ∴ P(A) = P()=0= P() P(A) 即 与A独立.
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事件的独立性在可靠性理论中的应用：
一个元件的可靠性：该元件正常工作的概率. 一个系统的可靠性：由元件组成的系统正常
工作的概率. 例5 设一个系统由2n 个元件组成，每个元件 的可靠性均为 r，且各元件能否正常工作是相 互独立的. (1) 求下列两个系统Ⅰ和Ⅱ的可靠性； (2) 问：哪个系统的可靠性更大？
1. 三事件两两相互独立的概念 定义 设A,B,C 是三个事件 ,如果满足等式
P(AB) P(A)P(B), P(BC) P(B)P(C), P(AC) P(A)P(C), 则称事件A, B, C 两两相互独立 .
15
2. 三事件相互独立的概念
定义 设 A,B,C 是三个事件,如果满足等式
P(AB) P(A)P(B), P(BC) P(B)P(C), P(AC) P(A)P(C), P(ABC) P(A)P(B)P(C), 则称事件A,B,C 相互独立.
(i1 ,2 , ,n )
31
所以，系统Ⅱ正常工作的概率：
P ( B 2 ) P ( A 1 A n 1 ) P ( A 2 A n 2 ) P ( A n A 2 n )
[r(2r)]n rn(2r)n
(2) 问：哪个系统的可靠性更大？
令 f (x) xn (n 2)，则
0r1
P(A B)P(A )P(A)B P (A )P (A )P (B ) P(A)1 [P(B)] P(A)P(B)
③ ABAB(对偶 ) 律
P (A B )P (A B )
1P (A B )
10
1P (A B ) 1 [P (A ) P (B ) P (A)B ] 1 [P (A ) P (B ) P (A )P (B )] [1 P (A ) ]P (B )1 [ P (A )] [1P (A )][1P (B )] P(A)P(B).
设一个口袋里装有练四张形状相同的卡
片.在这四张卡片上依次标有下列各组 数字：110，101，011，000 从袋中任取一张卡片，记 A i {取到的 i位 卡上 片的 第 1}数字为
证明： (1) A1,A2,A3两两相互;独立 (2)A1,A2,A3不相互独 . 立