课 题
等比数列求和
学习内容与过程
知识点
1.等比数列前n 项和公式
（1）当{ EMBED Equation.3 |1 q 时， ① 或 ②
（2）当q=1时，
注意：（1）知三求二：, q, n ，，五个中知道任意两个便可建立方程组求出另外两个；
（2）当已知, q, n 时用公式①；当已知, q, 时，用公式②.
（3）在判断是否为等比数列时需要注意讨论q 是否为零，例如a ，a ，a ，...；在利用等比数列求和公式时，需要讨论的是公比q 是否为1，例如
（4）等比数列求和公式的函数理解：当时，，它可以看作指数函数与常数函数的复合函数
公式的推导方法一：
一般地，设等比数列它的前n 项和是
由
得
∴当时， ① 或 ②
当q=1时，
公式的推导方法二：
有等比数列的定义，
根据等比的性质，有
即 （结论同上）
围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．
公式的推导方法三：
＝
＝＝
（结论同上）
例1 已知等比数列的前n 项和为，若，求数列的公比 （答案：）
变式1：求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和.
解：由
，
从第5项到第10项的和为-=1008
变式2：一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人？
解：根据题意可知，获知此信息的人数成首项的等比数列
则：一天内获知此信息的人数为：
变式3：等比数列中， （答案：）
2. 等比数列前n 项和的性质
（1）在等比数列中，，...，也成等比数列，公差为
注意：是，...，成等比数列，而不是，...；
（2）若项数为2n ，则
（3）
（4）为等比数列
例2 一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数 （答案：2,8）
变式1 一个项数是偶数的等比数列，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前三项之积为64，求
变式2 设是由正数组成的等比数列，是其前n 项和，证明；（2）求证：等比数列中有
变式3 已知等比数列中，求
3.等比数列常见应用题：
⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a ，年增长率为r ，则每年的产量成等比数列，公比为r +1. 其中第n 年产量为1)1(-+n r a ，且过n 年后总产量为：
.)1(1]
)1([)1(...)1()1(12r r a a r a r a r a a n
n +-+-=+++++++-
⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a 元，利息为r ，每月利息按复利计算，则每月的a 元过n 个月后便成为n r a )1(+元. 因此，第二年年初可存款：
)1(...)1()1()1(101112r a r a r a r a ++++++++=)1(1]
)1(1)[1(12r r r a +-+-+.
⑶分期付款应用题：a 为分期付款方式贷款为a 元；m 为m 个月将款全部付清；r 为年利率. ()()()()()()()()1111111......11121-++=⇒-+=+⇒++++++=+--m m
m m m m m r r ar x r r x r a x r x r x r x r a
例3 某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从2009年起，每年年初到银行存入a 元，年利率p 保持不变，并按复利计算，到2019年年初将所有存款和利息全部取出，共取出多少元？
变式1某牛奶厂2002年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%，每年年底扣除下一年的消费基金后，剩余资金投入再生产，这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金，才能实现经过5年资金达到2000万元的目标（精确到万元）？
变式2 （购房问题）某家庭打算在2010年的年底花40万元购一套商品房，为此，计划从2004年初开始，每年年初存入一笔购房专用存款，使这笔款到2010年底连本带息共有40万元。

如果每年的存款数额相同，依年利息2%并按复利计算，问每年应该存入多少钱？
课堂检测
1. 在等比数列中，首项，末项，公比，求项数( )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
2.随着市场的变化与生产成本的降低，每隔年计算机的价格降低，年价格为元的计算机到年时的价格应为（）
A．元B．元C．元D．元
3.若是等比数列，其公比是，且，，成等差数列，则等于（）
A．或B．或C．或D．或
4.设{a n}是等比数列，且a1=，S3=，则它的通项公式为a n= ( )
(A) (B) (C) (D)或
5. 等比数列{a n}中，a2＝9，a5＝243，则{a n}的前4项和为().
A．81 B．120 C．168 D．192
6.设，，，成等比数列，其公比为，则的值为（）
A．B．C．D．
7．在等比数列= （）
A．B．C．D．
8．在中,是以为第三项, 为第七项的等差数列的公差,是以为第三项, 为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是（）
A．钝角三角形B．锐角三角形C．等腰直角三角形D．以上都不对
9．等比数列的各项均为正数，且，则（）
A．B．C．D．
10．和的等比中项为.
11．在等比数列中,,则
12.已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则
13.在等比数列{a n}中，已知S n＝3n＋b，则b的值为_______.
14.在等比数列中，，，则=
15.在等比数列中，如果，，那么为
16.若、、成等比数列，则函数的图象与轴交点的个数为．
17.在等比数列中,和是方程的两个根,则
18.在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为．
19. 在等比数列，已知，，求.
20．设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，
（Ⅰ）求，的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．
21： {a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，a n＋1＝S n(n＝1，2，3…)．求证：数列{}是等比数列．
22．数列的前项和为，，．
（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）求数列的前项和．
23.在等比数列中，求的范围。

解：
当时，；
当时，为偶数；
∴。