第5章 狭义相对论 习题及答案1. 牛顿力学的时空观与相对论的时空观的根本区别是什么？二者有何联系？答：牛顿力学的时空观认为自然界存在着与物质运动无关的绝对空间和时间，这种空间和时间是彼此孤立的；狭义相对论的时空观认为自然界时间和空间的量度具有相对性，时间和空间的概念具有不可分割性，而且它们都与物质运动密切相关。
在远小于光速的低速情况下，狭义相对论的时空观与牛顿力学的时空观趋于一致。
2.狭义相对论的两个基本原理是什么？ 答：狭义相对论的两个基本原理是：（1）相对性原理 在所有惯性系中，物理定律都具有相同形式；（2）光速不变原理 在所有惯性系中，光在真空中的传播速度均为c ,与光源运动与否无关。
3．你是否认为在相对论中，一切都是相对的？有没有绝对性的方面？有那些方面？举例说明。
解 在相对论中，不是一切都是相对的，也有绝对性存在的方面。
如，光相对于所有惯性系其速率是不变的，即是绝对的；又如，力学规律，如动量守恒定律、能量守恒定律等在所有惯性系中都是成立的，即相对于不同的惯性系力学规律不会有所不同，此也是绝对的；还有，对同时同地的两事件同时具有绝对性等。
4．设'S 系相对S 系以速度u 沿着x 正方向运动，今有两事件对S 系来说是同时发生的，问在以下两种情况中，它们对'S 系是否同时发生？（1）两事件发生于S 系的同一地点； （2）两事件发生于S 系的不同地点。
解 由洛伦兹变化2()vt t x cγ'∆=∆-∆知，第一种情况，0x ∆=，0t ∆=，故'S 系中0t '∆=，即两事件同时发生；第二种情况，0x ∆≠，0t ∆=，故'S 系中0t '∆≠，两事件不同时发生。
5-5 飞船A 中的观察者测得飞船B 正以0.4c 的速率尾随而来，一地面站测得飞船A 的速率为0.5c ，求：（1）地面站测得飞船B 的速率； （2）飞船B 测得飞船A 的速率。
解 选地面为S 系，飞船A 为S '系。
（1）'0.4,0.5x v c u c ==，2'341'x x x v u v c vv c+==+ （2）'0.4BA AB x v v v c =-=-=-5.6 惯性系S ′相对另一惯性系S 沿x 轴作匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计时起点．在S 系中测得两事件的时空坐标分别为1x =6×104m,1t =2×10-4s ，以及2x =12×104m,2t =1×10-4s ．已知在S ′系中测得该两事件同时发生．试问： (1)S ′系相对S 系的速度是多少?(2)S '系中测得的两事件的空间间隔是多少? 解: 设)(S '相对S 的速度为v ，(1) )(1211x c vt t -='γ)(2222x c vt t -='γ 由题意012='-'t t 则)(12212x x cvt t -=- 故812122105.12⨯-=-=--=cx x t t cv 1s m -⋅(2)由洛仑兹变换 )(),(222111vt x x vt x x -='-='γγ 代入数值，m 102.5412⨯='-'x x 5-7 一门宽为a ，今有一固有长度0l (0l ＞a )的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动．若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率u 至少为多少?解: 门外观测者测得杆长为运动长度，20)(1cu l l -=，当l a ≤时，可认为能被拉进门，则l a ≤解得杆的运动速率至少为：20)(1l a c u -= 5-8 在S 系中有一静止的正方形，其面积为100m 2，观察者S '以0.8c 的速度沿正方形的对角线运动，S '测得的该面积是多少？解 设正方形在S 系中每边长为L, ，因为相对运动，沿着运动方向的对角线缩短，垂直于运动方向的对角线长度不变。
固在S '系观测的面积为2260S L L L m '===5-9 观测者A 测得与他相对静止的x-y 平面上某圆面积为122cm ，另一观察者B 相对于A 以0.8c 的速率平行于x-y 平面做匀速圆周运动，则B 测得这一图形的面积是多少？（答案：7.2c m 2） 解: 将静系S 固联于观测者A 所在的xoy 平面，动系S '固联于观测者B 上，在观测的时刻t ，令S 和S '系的()x x '重合。
则在动系上观测，圆的直径在运动方向收缩，在垂直于运动方向的直径不变，因此，观测者A 观测的圆，B 测得为一椭圆。
该椭圆的长轴为 /2a d =短轴为 13210b d ==面积为 233(/2)1020S ab d d d πππ==⨯⨯= 由题意 24()12102dπ-=⨯ 由此得到 2442233412107.2107.2()2020S d m cm π--==⨯⨯⨯=⨯= 5-10一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行．如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度是多少? 解:因为201l l β'=-2351β=-2315β=- ∴c c v 542591=-= 5-11 某种介子静止时的寿命是810s -。
如它在实验室中的速率为8210m s ⨯，在它的一生中能飞行多少米？解：介子静止时的寿命是固有时间，由于它相对于实验室运动，从而实验室观测的寿命是非固有时间。
在实验室观测的介子寿命为：882822821.3425(210)11(310)s u c τ--====⨯--⨯所以介子一生中能飞行距离为：2.68s c m τ∆==5-12两个惯性系中的观察者O 和O '以0.6c (c 表示真空中光速)的相对速度相互接近，如果O 测得两者的初始距离是20m ，则O '测得两者经过多少时间相遇?解 O '测得的是固有时间t '∆，O 测得相遇时间为t ∆，又cv L t 6.0200==∆ 所以O '测得的固有时间t '∆为∴vL tt 201βγ-=∆='∆ 8200.88.8910s 0.6c-⨯==⨯，此题也可用长度收缩效应来解。
O 测得长度为固有长度，O '测得长度为非固有长度，设用L 表示，则00.8,L L L L ===由L t v'∆=有 8080.80.8208.8910s 0.60.6 3.010L t c -⨯'∆===⨯⨯⨯5-13一米尺静止在'S 系中，长度为0l ，并与'X 轴成30o角。
若在S 系中测得该米尺与X 轴成45o角，则'S 相对于S 系的速度为多大？S 系中测得该米尺的长度是多少？解：在S 中观察，米尺在运动方向（X 轴方向）长度收缩，在Y 轴方向长度不变，因此00cos30x l l l ==000sin30y y l l l ==由题意：045y xl tg l =所以 045tg解之得'S 相对于S 系的速度为： u=0.816c 0.816(/)u c m s =S 系中测得该米尺的长度为：00.707l l m ==5-14(1)如果将电子由静止加速到速率为0.1c ，须对它作多少功?(2)如果将电子由速率为0.8c 加速到0.9c ，又须对它作多少功? 解: (1)对电子作的功，等于电子动能的增量，得22220000(1)1)k k E E mc m c m c m c γ∆=-=-=-=-)11.011()103(101.922831--⨯⨯⨯=-161012.4-⨯=J=eV 1057.23⨯(2)同理)()(2021202212c m c m c m c m E E E k k k---=-='∆)1111(221222202122cv cv c m c m c m ---=-=))8.0119.011(103101.92216231---⨯⨯⨯=-J1014.514-⨯=eV 1021.35⨯=5-15 两飞船，在自己的静止参考系中侧的各自的长度均为0l m ，飞船甲上仪器测得飞船甲的前端驶完飞船乙的全长需s t ∆，求两飞船的相对运动速度。
解 由运动的相对性可知，乙船全长驶过甲船前端所需要时间为s t ∆，0l m 是固有长度，由甲船上来观测，乙船的长度收缩为l l =，u 即为两飞船的相对运动速度，由题意有：l l u t ==∆所以 22222(1)u l u t c-=∆由此得到：u =5-16一物体的速度使其质量增加了10%，试问此物体在运动方向上缩短了百分之几? 解: 设静止质量为0m ，运动质量为m ， 由题设10.00=-m m m 而 201β-=m m由此二式得10.01112=--β∴10.1112=-β设物体在运动方向上的长度和静长分别为l 和0l ，则相对收缩量为：%1.9091.010.111112000==-=--=-=β∆l l l l l5-17一电子在电场中从静止开始加速，试问它应通过多大的电势差才能使其质量增加0.4%?此时电子速度是多少?已知电子的静止质量为9.1×10-31kg ．解由质能关系1004.0200=∆=∆c m E m m ∴100/)103(101.94.01004.0283120⨯⨯⨯⨯==∆-c m E J 1028.316-⨯=＝eV 106.11028.31916--⨯⨯=eV 100.23⨯= 所需电势差为3100.2⨯伏特 由质速公式有：004.111004.01111100002=+=∆+=∆+==-m m mm m m m β ∴32221095.7)004.11(1)(-⨯=-==c v β故电子速度为-17s m 107.2⋅⨯==c v β5-18 一正负电子对撞机可以把电子加速到动能K E ＝2.8×109eV ．这种电子速率比光速差多少? 这样的一个电子动量是多大?(与电子静止质量相应的能量为0E ＝0.511×106eV)解: 2022201c m cv c m E k --=所以20202022/111cm E c m c m E c v k k +=+=- 由上式，2962622020)108.210511.0/()1051.0(1)(1⨯+⨯⨯-=+-=c E c m c m c v k8109979245.2⨯=-1s m ⋅810997924580.2⨯=-v c -1s m ⋅8109979245.28=⨯--1s m ⋅由动量能量关系420222c m c p E +=可得cc m E E ccm c m E ccm E p k k k 20242022042022)(+=-+=-=11882138269182s m kg 1049.1103/]106.1)10511.0108.22108.2[(---⋅⋅⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=5-19甲相对乙以0.6c 的速率运动，求：（1）甲携带质量为1kg 的物体，乙测得该物体的质量是多少？ （2）甲、乙测得该物体的总能量各是多少？ 解：（1）m ==1.25kg（2）甲测得该物体的总能量：21600910E m c J ==⨯；乙测得该物体的总能量：2171.1310E mc J ==⨯5-20一静止质量为0m 的粒子，裂变成两个粒子，速度分别为0.6c 和0.8c ．求裂变过程的静质量亏损和释放出的动能．解: 孤立系统在裂变过程中释放出动能，引起静能减少，相应的静止质量减少，即静质量亏损． 设裂变产生两个粒子的静质量分别为10m 和20m ，其相应的速度c v 6.01=,c v 8.02= 由于孤立系统中所发生的任何过程都同时遵守动量守恒定律和能(质)量守恒定律，所以有0112222201221102211=-+-=+v cv m v c v m v m v m ϖϖϖϖ022220221102111m cv m cv m m m =-+-=+注意1m 和2m 必沿相反方向运动，动量守恒的矢量方程可以简化为一维标量方程，再以6.01=v c,8.02=v c 代入，将上二方程化为：20106886m m =，020106.08.0m m m =+上二式联立求解可得：010459.0m m =,020257.0m m =故静质量亏损020100284.0)(m m m m m =+-=∆由静质量亏损引起静能减少，即转化为动能，故放出的动能为202284.0c m mc E k =∆=∆5-21实验室测得一质子的速率为0.995c ，求该质子的质量、总能量、动量和动能。