一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设 G 有 6 个元素的循环群， a 是生成元，则 G 的子集（）是子群。
A、aB、 a , e33 C、 e, a D、 e, a , a2、下面的代数系统（ G， * ）中，（）不是群A、G为整数集合， * 为加法B、G为偶数集合， * 为加法C、G为有理数集合， * 为加法D、G为有理数集合， * 为乘法3、在自然数集 N 上，下列哪种运算是可结合的？（）A、a*b=a-bB、a*b=max{a,b}C、 a*b=a+2bD、a*b=|a-b|4、设 1 、 2 、 3 是三个置换，其中 1 =（12）（23）（13），2 =（24）（14），3=（ 1324），则3=（）A、2 B 、12 D 、2112C 、25、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（）。
A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交换群二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子 ----- 称为整环。
43、已知群G中的元素a的阶等于 50，则a的阶等于 ------。
4、a 的阶若是一个有限整数n，那么 G与-------同构。
5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么 A∩B=----- 。
6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。
7 、叫做域F的一个代数元，如果存在F的-----a 0 , a1 , , a n使得na 0 a 1 a n0 。
8、a是代数系统( A ,0 )的元素，对任何x A 均成立 x a x ，则称 a 为---------。
9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、---------。
10、一个环R 对于加法来作成一个循环群，则P 是----------。
三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、设集合 A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,(1 2)}，写出H 的所有陪集。
2、设 E 是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是E中的运算，（E，）是一个代数系统，问（E，）是不是群，为什么？3、a=493, b=391,求(a,b), [a,b]和p, q。
四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、若 <G，*> 是群，则对于任意的a、 b∈ G，必有惟一的 x∈G使得 a*x ＝ b。
2、设 m是一个正整数，利用 m定义整数集 Z 上的二元关系：a? b 当且仅当 m︱a–b。
近世代数模拟试题三一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、6 阶有限群的任何子群一定不是（）。
A、2阶B、3阶C、4阶D、6阶2、设 G是群， G有（）个元素，则不能肯定G是交换群。
A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。
A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）A、（N, ）B、（Z, ）C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））D、 (P(A),)5、设 S3＝{(1) ，(12)，(13) ，(23) ，(123) ，(132)}，那么，在 S3 中可以与 (123)交换的所有元素有（）A、(1) ， (123) ，(132)B、 12) ，(13) ，(23)C、(1) ， (123)D、 S3中的所有元素二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、群的单位元是 --------的，每个元素的逆元素是--------的。
2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则f 1f a ----------。
3、区间 [1 ， 2] 上的运算a b{min a, b} 的单位元是-------。
4、可换群 G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。
5、环 Z8的零因子有 -----------------------。
6、一个子群 H 的右、左陪集的个数 ----------。
7、从同构的观点，每个群只能同构于他/ 它自己的 ---------。
8、无零因子环 R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的 -----------。
n9、设群G中元素a的阶为m，如果a e ，那么m与n存在整除关系为--------。
三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、用 2 种颜色的珠子做成有 5 颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S1， S2是 A 的子环，则 S1∩ S2也是子环。
S1+S2也是子环吗？3、设有置换(1345 )( 1245 ) ，(234 )( 456 ) S6。
11．求和；12．确定置换和的奇偶性。
四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、一个除环 R 只有两个理想就是零理想和单位理想。
2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a 和 ab2 a=e。
近世代数模拟试题一参考答案一、单项选择题。
1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 。
1、1, 1 , 1,0 , 1,1 2, 1 , 2,0 , 2 ,1；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构 ;7 、零、 -a ；8、S=I 或 S=R ；9、域；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：(1653 )( 247 )( 8)(123 )( 48 )( 57 )( 6)可知为奇置换，为偶置换。
和可以写成如下对换的乘积：(13 )( 15 )( 16 )( 24 )( 27 )(13 )( 12 )( 48 )( 57 )B 1A )C1A ) ( A( A2、解：设 A 是任意方阵，令2，2，则 B 是对称矩阵，而 C 是反对称矩阵，且AB C 。
若令有AB 1C1，这里B1和C1 分别为对称矩阵和反对称矩阵，则B B1 C 1 C，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：BB1，CC1 ，所以，表示法唯一。
3、答：（M m，m）不是群，因为M m中有两个不同的单位元素0 和 m。
四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）2e ，所以 xy 1111、对于 G 中任意元 x，y，由于( xy )( xy )y x yx （对每2e 可得 x x 1个 x，从x）。
2、证明在 F 里11aR, b0 )ab b a(a , bbQaR , b0)所有(a , b有意义，作 F 的子集bQ显然是 R 的一个商域证毕。
近世代数模拟试题二参考答案一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 。
1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 。
1、变换群；2、交换环；3、25；4、模n 乘余类加群；5、{2} ；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立； 10、交换环；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解： H的 3 个右陪集为： {I,(1 2)} ，{(1 2 3 ) ，(1 3)} ，{(132)，(2 3)}H的 3 个左陪集为： {I,(1 2)}，{(123)，(2 3)} ，{(1 3 2 )，(1 3 )}2、答：（ E，）不是群，因为（E，）中无单位元。
3、解方法一、辗转相除法。
列以下算式：a=b+102b=3× 102+85102=1×85+17由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a× b/17=11339。
然后回代： 17=102-85=102-(b-3 ×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.所以 p=4, q=-5.四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、证明设e是群<G，*>的幺元。
令x＝a－1*b，则a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b ＝e*b ＝ b。
所以， x＝a－1*b 是 a*x ＝ b 的解。
若 x ∈G也是 a*x ＝b 的解，则 x ＝e*x ＝ (a －1*a)*x＝a－1*(a*x) ＝a－1*b ＝x。
所以， x＝a－1*b 是 a*x ＝b 的惟一解。
2、容易证明这样的关系是Z 上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z 记为Zm，每个整数 a 所在的等价类记为 [a]= ｛ x∈ Z； m︱x–a｝或者也可记为a，称之为模 m剩余类。
若 m︱ a– b 也记为 a≡b(m)。
当 m=2时， Z2 仅含 2 个元： [0] 与 [1] 。
近世代数模拟试题三参考答案一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、唯一、唯一；2、a；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、m n；三、解答题（本大题共3小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。
用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只 1 种，四白一黑 1 种，三白二黑 2种， , 等等，可得总共8种。
2、证由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b ∈S1∩S2 有 a-b, ab ∈S1∩S2：因为 S1，S2 是 A 的子环，故 a-b, ab ∈S1 和 a-b, ab ∈S2 ，因而 a-b, ab ∈S1∩ S2 ，所以 S1∩ S2是子环。