一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个就是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群,a 就是生成元,则G 的子集( )就是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统(G,*)中,( )不就是群A 、G 为整数集合,*为加法B 、G 为偶数集合,*为加法C 、G 为有理数集合,*为加法D 、G 为有理数集合,*为乘法3、在自然数集N 上,下列哪种运算就是可结合的？( )A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ就是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( )A 、12σB 、1σ2σC 、22σD 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。
A 、不可能就是群B 、不一定就是群C 、一定就是群D 、 就是交换群二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于------。
4、a 的阶若就是一个有限整数n,那么G 与-------同构。
5、A={1、2、3} B={2、5、6} 那么A ∩B=-----。
6、若映射ϕ既就是单射又就是满射,则称ϕ为-----------------。
7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10Λ使得010=+++n n a a a ααΛ。
8、a 就是代数系统)0,(A 的元素,对任何A x ∈均成立x a x =ο,则称a 为---------。
9、有限群的另一定义:一个有乘法的有限非空集合G作成一个群,如果满足G对于乘法封闭;结合律成立、---------。
10、一个环R对于加法来作成一个循环群,则P就是----------。
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)1、设集合A={1,2,3}G就是A上的置换群,H就是G的子群,H={I,(1 2)},写出H 的所有陪集。
2、设E就是所有偶数做成的集合,“•”就是数的乘法,则“•”就是E中的运算,(E,•)就是一个代数系统,问(E,•)就是不就是群,为什么？3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 与p, q。
四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分)1、若<G,*>就是群,则对于任意的a、b∈G,必有惟一的x∈G使得a*x＝b。
2、设m就是一个正整数,利用m定义整数集Z上的二元关系:a〜b当且仅当m︱a–b。
近世代数模拟试题三一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个就是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、6阶有限群的任何子群一定不就是( )。
A、2阶B、3 阶C、4 阶D、 6 阶2、设G就是群,G有( )个元素,则不能肯定G就是交换群。
A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于( )。
A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格( )A、(N,≤)B、(Z,≥)C、({2,3,4,6,12},|(整除关系))D、 (P(A),⊆)5、设S3＝{(1),(12),(13),(23),(123),(132)},那么,在S3中可以与(123)交换的所有元素有( )A 、(1),(123),(132)B 、12),(13),(23)C 、(1),(123)D 、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、群的单位元就是--------的,每个元素的逆元素就是--------的。
2、如果f 就是A 与A 间的一一映射,a 就是A 的一个元,则()[]=-a f f 1----------。
3、区间[1,2]上的运算},{min b a b a =ο的单位元就是-------。
4、可换群G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。
5、环Z 8的零因子有 -----------------------。
6、一个子群H 的右、左陪集的个数----------。
7、从同构的观点,每个群只能同构于她/它自己的---------。
8、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的-----------。
9、设群G 中元素a 的阶为m ,如果e a n =,那么m 与n 存在整除关系为--------。
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链,问可做出多少种不同的项链？2、S 1,S 2就是A 的子环,则S 1∩S 2也就是子环。
S 1+S 2也就是子环不？3、设有置换)1245)(1345(=σ,6)456)(234(S ∈=τ。
1.求στ与στ-1;2.确定置换στ与στ-1的奇偶性。
四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分)1、一个除环R 只有两个理想就就是零理想与单位理想。
2、M 为含幺半群,证明b =a -1的充分必要条件就是aba =a 与ab 2a =e 。
一、单项选择题。
1、C;2、D;3、B;4、C;5、D;二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)。
1、()()()()()(){}1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1--;2、单位元;3、交换环;4、整数环;5、变换群;6、同构;7、零、-a ;8、S=I 或S=R ;9、域;三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)1、解:把σ与τ写成不相杂轮换的乘积:)8)(247)(1653(=σ )6)(57)(48)(123(=τ可知σ为奇置换,τ为偶置换。
σ与τ可以写成如下对换的乘积:)27)(24)(16)(15)(13(=σ )57)(48)(12)(13(=τ2、解:设A 就是任意方阵,令)(21A A B '+=,)(21A A C '-=,则B 就是对称矩阵,而C 就是反对称矩阵,且C B A +=。
若令有11C B A +=,这里1B 与1C 分别为对称矩阵与反对称矩阵,则C C B B -=-11,而等式左边就是对称矩阵,右边就是反对称矩阵,于就是两边必须都等于0,即:1B B =,1C C =,所以,表示法唯一。
3、答:(m M ,m +)不就是群,因为m M 中有两个不同的单位元素0与m 。
四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分)1、对于G 中任意元x,y,由于e xy =2)(,所以yx x y xy xy ===---111)((对每个x,从e x =2可得1-=x x )。
2、证明在F 里)0,,(11≠∈==--b R b a b a a b ab有意义,作F 的子集)0,,(≠∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-b R b a b a Q 所有-Q 显然就是R 的一个商域 证毕。
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)。
1、C;2、D;3、B;4、B;5、A;二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)。
1、变换群;2、交换环;3、25;4、模n乘余类加群;5、{2};6、一一映射;7、不都等于零的元;8、右单位元;9、消去律成立;10、交换环;三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)1、解:H的3个右陪集为:{I,(1 2)},{(1 2 3 ),(1 3)},{(1 3 2 ),(2 3 )} H的3个左陪集为:{I,(1 2)} ,{(1 2 3 ),(2 3)},{(1 3 2 ),(1 3 )}2、答:(E,•)不就是群,因为(E,•)中无单位元。
3、解方法一、辗转相除法。
列以下算式:a=b+102b=3×102+85102=1×85+17由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339。
然后回代:17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b、所以 p=4, q=-5、四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分)1、证明设e就是群<G,*>的幺元。
令x＝a－1*b,则a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b。
所以,x＝a－1*b就是a*x＝b的解。
若x'∈G也就是a*x＝b的解,则x'＝e*x'＝(a－1*a)*x'＝a－1*(a*x')＝a－1*b ＝x。
所以,x＝a－1*b就是a*x＝b的惟一解。
2、容易证明这样的关系就是Z上的一个等价关系,把这样定义的等价类集合Z记为Zm,每个整数a所在的等价类记为[a]=｛x∈Z;m︱x–a｝或者也可记为a,称之为模m剩余类。
若m︱a–b也记为a≡b(m)。
当m=2时,Z2仅含2个元:[0]与[1]。
近世代数模拟试题三参考答案一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个就是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、C;2、C;3、D;4、D;5、A;二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、唯一、唯一;2、a ;3、2;4、24;5、;6、相等;7、商群;8、特征;9、n m ;三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)1、解 在学群论前我们没有一般的方法,只能用枚举法。
用笔在纸上画一下,用黑白两种珠子,分类进行计算:例如,全白只1种,四白一黑1种,三白二黑2种,…等等,可得总共8种。
2、证 由上题子环的充分必要条件,要证对任意a,b ∈S1∩S2 有a-b, ab ∈S1∩S2:因为S1,S2就是A 的子环,故a-b, ab ∈S1与a-b, ab ∈S2 ,因而a-b, ab ∈S1∩S2 ,所以S1∩S2就是子环。
S1+S2不一定就是子环。
在矩阵环中很容易找到反例:3、解: 1.)56)(1243(=στ,)16524(1=στ-;2.两个都就是偶置换。