（3）如图②，将 ABF 绕点 B 顺时针旋转一个角 a(0 a 180) ，记旋转中 ABF 为 A' BF ' ，在旋转过程中，设 A' F ' 所在的直线与直线 AD 交于点 P ，与直线 BD 交于点
Q ．是否存在这样的 P、Q 两点，使 DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时 DQ 的
32
12 5
2
9； 5
（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如图①-1 所示：
由对称点性质可知，∠1=∠2．BF=BE 9 ， 5
由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4=∠1，BF=B′F′ 9 ， 5
①当点 F′落在 AB 上时，
∵AB∥A′B′，
∴∠3=∠4，
根据平移的性质知：∠1=∠4，
九年级数学几何模型压轴题专题练习（解析版）
一、初三数学 旋转易错题压轴题（难） 1．已知：如图①，在矩形 ABCD 中， AB 3, AD 4, AE BD ，垂足是 E .点 F 是点 E 关于 AB 的对称点，连接 AF、BF ．
（1）求 AF 和 BE 的长； （2）若将 ABF 沿着射线 BD 方向平移，设平移的距离为 m (平移距离指点 B 沿 BD 方向 所经过的线段长度)．当点 F 分别平移到线段 AB、AD 上时，直接写出相应的 m 的值．
55
5
（3）存在．理由如下：
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
∠2+∠ABD=90°，∠BAE+∠ABD=90°，
∴∠2=∠BAE，
∵点 F 是点 E 关于 AB 的对称点，
∴∠1=∠BAE，
∴∠1=∠2，
在旋转过程中，等腰△DPQ 依次有以下 4 种情形： ①如图③-1 所示，点 Q 落在 BD 延长线上，且 PD=DQ，
质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点；第（3）问难度很大，解题关键是画出各种旋
转图形，依题意进行分类讨论．
2．已知：如图①，在矩形 ABCD 中，AB＝5， AD 20 ，AE⊥BD，垂足是 E．点 F 是点 E 3
关于 AB 的对称点，连接 AF、BF．
（1）求 AE 和 BE 的长； （2）若将△ABF 沿着射线 BD 方向平移，设平移的距离为 m（平移距离指点 B 沿 BD 方向 所经过的线段长度）．当点 F 分别平移到线段 AB、AD 上时，求出相应的 m 的值； （3）如图②，将△ABF 绕点 B 顺时针旋转一个角 α（0°＜α＜180°），记旋转中的
即：
9 5
2
12 5
2
BQ
BQ2
，
解得： BQ 15 ， 8
∴DQ=
15
BD-BQ=5-
25
；
88
Hale Waihona Puke ③如图③-3 所示，点 Q 落在 BD 上，且 PD=DQ，
则∠3=∠4． ∵∠2+∠3+∠4=180°，∠3=∠4，
∴∠4=90°- 1 ∠2． 2
∵∠1=∠2，
∴∠4=90°- 1 ∠1， 2
长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） AF 12 , BF 9 ；（2） m 9 或 m 16 ；（3）存在 4 组符合条件的点
5
5
5
5
P 、点 Q ，使 DPQ 为等腰三角形； DQ 的长度分别为 2 或 25 或 9 10 5 或 85
5 3 10 ． 5
【解析】
【分析】
（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；
则∠2=∠3．
∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2=∠3，
∴∠1=∠4，
∴BQ=BA′=3，
∴DQ=BD-BQ=5-3=2．
综上所述，存在 4 组符合条件的点 P、点 Q，使△DPQ 为等腰三角形，DQ 的长度分别为：
2 或 25 或 9 10 5 或 5 3 10 ．
85
5
【点睛】
本题是四边形综合题目，主要考查了矩形的性质、轴对称的性质、平移的性质、旋转的性
∴∠A′QB=∠4=90°- 1 ∠1， 2
∴∠A′QB=∠A′BQ， ∴A′Q=A′B=3，
∴F′Q=A′Q-A′F′=3- 12 3 ， 55
在 Rt△BF′Q 中，由勾股定理得：BQ=
BF2 FQ2
9 2 5
3 5
2
3
10 5
，
∴DQ=BQ-BD= 5 3 10 ； 5
④如图④-4 所示，点 Q 落在 BD 上，且 PQ=PD，
∵S△ABD
1 2
BD•AE=
1 2
AB•AD，
∴AE= AB AD 3 4 12 ，
BD
55
∵点 F 是点 E 关于 AB 的对称点，
∴AF=AE 12 ，BF=BE， 5
∵AE⊥BD， ∴∠AEB=90°，
在 Rt△ABE 中，AB=3，AE 12 ， 5
由勾股定理得：BE
AB2 AE2
∴∠3=∠2，
∴BB′=B′F′ 9 ，即 m 9 ；
5
5
②当点 F′落在 AD 上时，
∵AB∥A′B′，AB⊥AD，
∴∠6=∠2，A′B′⊥AD，
∵∠1=∠2，∠5=∠1，
∴∠5=∠6，
又知 A′B′⊥AD，
∴△B′F′D 为等腰三角形，
∴B′D=B′F′ 9 ， 5
∴BB′=BD-B′D=5- 9 16 ，即 m 16 ；
②如图③-2 所示，点 Q 落在 BD 上，且 PQ=DQ，
则∠2=∠P，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠P，
∴BA′∥PD，
则此时点 A′落在 BC 边上．
∵∠3=∠2，
∴∠3=∠1，
∴BQ=A′Q，
∴F′Q=F′A′-A′Q= 12 -BQ， 5
在 Rt△BQF′中，由勾股定理得：BF′2+F′Q2=BQ2，
（2）依题意画出图形，如图①-1 所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别
求出 m 的值；
（3）在旋转过程中，等腰△DPQ 有 4 种情形，分别画出图形，对于各种情形分别进行计
算即可．
【详解】
（1）∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠BAD=90°，
在 Rt△ABD 中，AB=3，AD=4，
由勾股定理得：BD= AB2 AD2 32 42 5，
则∠Q=∠DPQ， ∴∠2=∠Q+∠DPQ=2∠Q， ∵∠1=∠3+∠Q，∠1=∠2， ∴∠3=∠Q， ∴A′Q=A′B=3，
∴F′Q=F′A′+A′Q= 12 3 27 ，
5
5
在 Rt△BF′Q 中，由勾股定理得：BQ=
BF2 FQ2
9 2 5
27 5
2
9
10 5
，
∴DQ=BQ-BD= 9 10 5 ； 5