5
5．（本题满分 10 分）证明：当 x 0 时成立
ln 1 x x 1 x2 1 x3 1 x4 。
234
6．（本题满分 10 分）证明：
1 0
1
sin
π 2
x
n
dx
2n1 1 （ n 1
n
1,
2,
）；
1
（2）求极限
lim
n
1 0
1
sin
π 2
x
n
dx
n
。
6
7．（本题满分
7．（本题满分 10 分）（1） L 的方向向量可取为
i jk c 1 1 2cj (1 c2 ) j (1 c2 )k ，
1 c c
因此 L 的对称式方程为
x 1 2c
yc 1 c2
zc 1 c2
。
（2）在以上方程中令 z t ，得
x
2ct (c2 1 c2
1)
A
Bt,
y
2c (c2 1)t 1 c2
7
复旦大学数学科学学院 2015～2016 学年第一学期期末考试试卷
《高等数学 B（I）》试题答案
1．（本题满分 40 分，每小题 5 分）（1） 16 ；（2） 2 ；（3）在 ( 1, e1 1] 上单 3
调减少，在[e1 1, ) 上单调增加； f (e1 1) e1 为极小值；
（4）
1 2
arcsin
x2 2
C
；（5） e2
1
1 e
2
；
（6）收敛；（7）
14 8
8 5
3 2
；（8）
x
2
y
z
0
。
（
3 2 1
装
2．（本题满分 10 分）3 个。
订 线
3．（本题满分 10 分）底面半径和高均为 3 V 。 π
内
不
4．（本题满分 10 分）（1） f (x) 28x6 cx （ c 为任意常数）；（2）无拐点；（3）
和 z 1所围立体的截面均为圆，其面积为
A(z) π(1 z2 ) ，
因此该立体的体积为
V
1
A(z)dx π
1 1 z2 dz = 4π 。
0
0
3
At
B,
其中
A
c2 1 1 c2
，B
2c 1 c2
。
显然 A2 B2 1，于是
x2 y2 A2 (1 t2 ) B2 (1 t2 ) 1 t2 ， 因此曲面 与平面 z t 的交线的方程为
x2 y2 1 t2， z t.
（3）由（2）知，过 (0, 0, z) 点且与 Oxy 平面平行的平面截由曲面 ，平面 z 0
10
分）设过点
(1,
c,
c)
的直线
L
的方程为
cx y x cy
z c, cz 1,
其中 c 为实
数。
（1）求直线 L 的对称式方程；
（2）当 c 连续变化时，L 随之移动而生成曲面 ，求曲面 与平面 z t 的交线的
方程，其中 t 为常数；
（3）求由曲面 ，平面 z 0和 z 1所围立体的体积。
（7）求矩阵
1 2
2 5
1 4的逆矩阵；来自1 4 6 （8）求经过原点，且与两平面 x 2 y 3z 13 0 和 3x y z 1 0 都垂直的平面的 方程。
3
2．（本题满分 10 分）问方程 2x3 3x2 1 0 有几个实根？请说明理由。 2
3．（本题满分 10 分）要制作一个体积为V 的圆柱形无盖铁桶，问如何确定其底面半 径和高才能用料最省？
复旦大学数学科学学院 2015～2016 学年第一学期期末考试试卷
A卷
数学科学学院
（
1．（本题满分 40 分，每小题 5 分）计算下列各题：
装
（1）确定常数 b，使得直线 y 9x b 为曲线 y x3 3x 的切线；
订
线
内
不
要
答
题
）
（2）求极限
lim
x
ln( ln(
x2 x3
3x 2x
要
答
不存在。
题
5．（本题满分 10 分）证： 作函数
）
f
(
x)
ln(1
x)
x
1 2
x2
1 3
x3
1 4
x4
，
x
1
，
则当 x (1, ) 时，
f (x) 1 1 x x2 x3 1 x
1 (1 x)(1 x2 ) 1 (1 x2 )(1 x2 )
1 x
1 x
x4 0 . 1 x
4
4．（本题满分 10 分）设函数 f 在 (, ) 上有连续二阶导数，且满足方程 x f (x) f (x) 140x6 。
（1）求 f (x) 的表达式； （2）问曲线 y f (x) 是否有拐点？请说明理由。 （3）是否存在函数 f ，它在开区间 (0, 1) 上大于零，并满足上面的方程，且曲线 y f (x) （ x [0, 1] ）与直线 x 1和 y 0 所围的图形 D 的面积为 2？请说明理由。
这说明函数 f 在[0, ) 上严格单调增加，从而当 x 0 时，
f (x) f (0) 0 ，
即
ln 1 x x 1 x2 1 x3 1 x4 。
234
6．（本题满分 10 分）（1）证；由 sin x 2 x（ 0 x π ）知 sin π x x（ 0 x 1），
π
2
1) 1)
；
1
（3）求函数 f (x) (x 1) ln(x 1) 的单调区间和极值；
（4）求不定积分
x dx ； 4 x4
（5）设
f
(x)
x, 2
x,
0 x 1, 求 4 f (x 2) ex dx ；
1 x,
2
2
（6）问反常积分
cos3 x
dx 是否收敛？请说明理由；
1 (x 2e3x ) 1 x
2
所以
1 0
1
sin
π 2
x
n
dx
11 xn dx = 1 1 x n1 1 2n1 1 。
0
n 1
0 n 1
（2）由于
2n 2n1 1
n1 n1
1 0
1
sin
π 2
x
n
dx
111n dx 2n ，
0
利用极限的夹逼性可得
1
lim n
1 0
1
sin
π 2
n
x
dx
n
=2
。