2018届北京市西城区高三理科数学二模试题及答案西城区高三模拟测试数学（理科） 2018.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．若集合{|01}A x x =<<，2{|20}B x xx =-<，则下列结论中正确的是 （A ）AB =∅（B ）A B =R（C ）A B ⊆ （D ）B A ⊆2．若复数z 满足(1i)1z -⋅=，则z =（A ）1i 22+ （B ）1i 22-+ （C ）1i 22-- （D ）1i22- 3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,1)上单调递减的是 （A ）1y x= （B ）2y x = （C ）||2x y = （D ）cos y x =（A ）②，③，①，④（B ）③，②，④，① （C ）②，③，④，① （D ）③，②，①，④第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知圆C 的参数方程为2cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则圆C的面积为____；圆心C 到直线:340l x y -=的距离为____．10．241()xx+的展开式中2x 的系数是____．11．在△ABC 中，3a =，2b =，π3A ∠=，则cos2B =____．12．设等差数列{}na 的前n 项和为nS ．若11a =，23SS >，则数列{}na 的通项公式可以是____．13．设不等式组1,3,25x x y x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≥≤ 表示的平面区域为D ．若直线0ax y -=上存在区域D 上的点，则 实数a 的取值范围是____．14．地铁某换乘站设有编号为 A ，B ，C ，D ，E 的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 A ，B B ，C C ，D D ，E A ，E疏散乘客时间（s ）120 220 160 140 200则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()(1tan )sin 2f x x x =+⋅． （Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）若(0,π)α∈，且()2f α=，求α的值．16．（本小题满分14分）如图，梯形ABCD 所在的平面与等腰梯形ABEF 所在的平面互相垂直，////AB CD EF ，AB AD⊥．2CD DA AF FE ====，4AB =．（Ⅰ）求证：//DF 平面BCE ； （Ⅱ）求二面角C BF A --的余弦值；（Ⅲ）线段CE 上是否存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ？请说明理由．17．（本小题满分13分）在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中a ，b 的值； （Ⅱ）在该指标检测值为4的样本中随机选取2人，求这2人中有患病者的概率； （III ）某研究机构提出，可以选取常数*00.5()Xn n =+∈N ，若一名从业者该项身体指标检测值大于0X ，则判断其患有这种职业病；若检测值小于X ，则判断其未患有这种职业病．从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患有职业病．写出使得判断错误的概率最小的0X 的值及相应的概率（只需写出结论）．18．（本小题满分14分）已知直线:1l y kx =+与抛物线2:4C yx=相切于点P ．（Ⅰ）求直线l 的方程及点P 的坐标； （Ⅱ）设Q 在抛物线C 上，A 为PQ 的中点．过A 作y 轴的垂线，分别交抛物线C 和直线l 于M ，N ．记△PMN 的面积为1S ，△QAM 的面积为2S ，证明：12S S =．19．（本小题满分13分）已知函数ln ()x f x ax x =-，曲线()y f x =在1x =处的切线经过点(2,1)-．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设1b >，求()f x 在区间1[,]b b 上的最大值和最小值．20．（本小题满分13分） 数列nA ：12,,,(2)n a a a n ≥的各项均为整数，满足：1(1,2,,)i a i n -=≥，且123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=，其中10a ≠．（Ⅰ）若3n =，写出所有满足条件的数列3A ； （Ⅱ）求1a 的值；（Ⅲ）证明：12n a aa +++>．西城区高三模拟测试数学（理科）参考答案及评分标准2018.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．A 3．D 4．B5．D 6．C 7．A 8．A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.10．6 9．π，6511．1312．2n-+（答案不唯一）13．1[,3]2 14．D注：第9题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为函数tan y x =的定义域是π{|π,}2x x k k ∈≠+∈R Z ， 所以()f x 的定义域为π{|π,}2x x k k ∈≠+∈R Z ． ……………… 4分（Ⅱ）()(1tan )sin 2f x x x =+⋅sin (1)sin 2cos xx x=+⋅……………… 5分2sin 22sin x x=+……………… 6分sin2cos21x x =-+……………… 7分π2)14x -+．……………… 8分由()2f α=，得π2sin(2)42α-=． ……………… 9分 因为 0πα<<，所以ππ7π2444α-<-<， ………………10分所以ππ244α-=，或π3π244α-=． ………………11分解得π4α=，或π2α=（舍去）． ………………13分16．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）因为//CD EF，且CD EF=，所以 四边形CDFE 为平行四边形，所以//DF CE． …… 2分因为DF ⊄平面BCE ，…… 3分 所以//DF 平面BCE ．…… 4分（Ⅱ）在平面ABEF 内，过A 作Az AB ⊥．因为 平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB=，又 Az ⊂平面ABEF ，Az AB ⊥，所以 Az ⊥平面ABCD ，所以 AD AB ⊥，AD Az ⊥，Az AB ⊥．如图建立空间直角坐标系A xyz-． ………………5分由题意得，(0,0,0)A ，(0,4,0)B ，(2,2,0)C ，3)E ，3)F ．所以(2,2,0)BC −−→=-，(0,3)BF −−→=-．设平面BCF 的法向量为(,,)x y z =n ， 则0,0,BC BF −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即 220,330.x y y z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩令1y =，则1x =，3z3)=n ． ……………… 7分平面ABF 的一个法向量为(1,0,0)=v ， (8)分则5cos ,||||⋅〈〉==n v n v n v ．所以 二面角C BF A --的余弦值5． ………………10分 （Ⅲ）线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，理由如下： ………………11分解法一：设平面ACE 的法向量为111(,,)x y z =m ，则0,0,AC AE −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩m m即 1111220,330.x y y z +=⎧⎪⎨=⎪⎩令11y =，则11x =-，13z =-(1,1,3)=--m ． ………………13分因为 0⋅≠m n ，所以 平面ACE 与平面BCF 不可能垂直， 从而线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF． ………………14分解法二：线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，理由如下： …………11分假设线段CE 上存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ， 设 CG CEλ−−→−−→=，其中[0,1]λ∈． 设222(,,)G x y z ，则有222(2,2,)(2,3)xy z λλλ--=-，所以222x λ=-，22yλ=+，23zλ，从而(22,2,3)G λλλ-+，所以(22,23)AG λλλ−−→=-+．………………13分因为AG ⊥平面BCF ，所以//AG n．所以有2223113λλλ-+==，因为 上述方程组无解，所以假设不成立．所以 线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF． ………………14分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为 3.4100408.5⨯=人．… 2分10.100.350.250.150.100.05a =-----=，10.100.200.300.40b =---=．……………… 4分（Ⅱ）指标检测数据为4的样本中，有患病者400.208⨯=人，未患病者600.159⨯=人． ……………… 6分设事件A 为“从中随机选择2人，其中有患病者”．则29217C 9(A)C 34P ==，……………… 8分所以25(A)1(A)34P P =-=．……………… 9分 （Ⅲ）使得判断错误的概率最小的0 4.5X =． (11)分 当04.5X =时，判断错误的概率为21100． ………………13分 18．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由21,4y kx y x=+⎧⎪⎨=⎪⎩ 得22(24)10k x k x +-+=． ① (2)分依题意，有0k ≠，且22(24)40k k ∆=--=．解得 1k =．……………… 3分 所以直线l的方程为1y x =+． ……………… 4分 将 1k = 代入①，解得 1x =， 所以点P 的坐标为(1,2)． ……………… 5分（Ⅱ）设 (,)Q m n ， 则 24n m =，所以 12(,)22m n A ++． ……………… 7分 依题意，将直线22n y +=分别代入抛物线C与直线l ，得2(2)2(,)162n n M ++，2(,)22n n N +． ………………8分因为22(2)444441||16216164n n n n m n m n MN +-+-+-+=-===， (10)分221(2)(88)(44)||21616m n m n n AM +++-++=-=(88)(444)1164m m n m n +-++-+==，………………12分所以 ||||AM MN =．………………13分又 A 为PQ 中点，所以P Q ，两点到直线AN 的距离相等，所以 12S S =．………………14分19．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）()f x 的导函数为221ln ()x ax f x x--'=， ……………… 2分所以(1)1f a '=-．依题意，有 (1)(1)112f a --=--， 即1112a a -+=--，……………… 4分解得 1a =．……………… 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得221ln ()x x f x x --'=．当0<<1x 时，210x->，ln 0x ->，所以()0f x '>，故()f x 单调递增；当>1x 时，210x-<，ln 0x -<，所以()0f x '<，故()f x 单调递减．所以()f x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减． ……………… 8分因为 101b b <<<， 所以 ()f x 最大值为(1)1f =-．……………… 9分设 111()()()()ln h b f b f b b b b b b=-=+-+，其中1b >． ………………10分则 21()(1)ln 0h b b b '=->，故()h b 在区间(1,)+∞上单调递增． ………………11分所以 ()(1)0h b h >=， 即 1()()f b f b >， ………………12分故 ()f x 最小值为11()ln f b b b b=--． ………………13分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）满足条件的数列3A 为：1,1,6--；1,0,4-；1,1,2-；1,2,0-． ……………… 3分（Ⅱ）11a =-．……………… 4分否则，假设11a ≠-，因为10a ≠，所以11a ≥．又23,,,1n a a a -≥，因此有12312312222n n n n na a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+ 1232(1)2(1)2(1)2(1)n n n ---+-⋅+-⋅++-⋅+-≥123222211n n n ---=-----=，这与123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=矛盾！所以11a =-．……………… 8分（Ⅲ）先证明如下结论：{1,2,,1}k n ∀∈-，必有12122220n n n k k a a a ---⋅+⋅++⋅≤.否则，令12122220n n n k k a a a ---⋅+⋅++⋅>，注意左式是2n k-的整数倍，因此12122222n n n k n k k a a a ----⋅+⋅++⋅≥．所以有：12312312222n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+ 122(1)2(1)2(1)2(1)n k n k n k -----+-⋅+-⋅++-⋅+-≥ 1222221n k n k n k -----=-----1=， 这与123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=矛盾！ 所以 12122220n n n k k a a a ---⋅+⋅++⋅≤． ………………10分因此有：112123121212312210,20,420,2220,2220.k k k k n n n n a a a a a a a a a a a a a a -------<⋅+⋅+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅+⋅++⋅+≤≤≤≤将上述1n -个不等式相加得12121(21)(21)(21)0n n n a a a ---⋅-+⋅-++⋅-<， ① 又 123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+= ，② 两式相减即得 120n a a a +++>． ………………13分。