概率论与数理统计练习题（1）随机试验 样本空间 随机事件 概率的定义 古典概型3．设C B A ,,是三事件，且81)(,0)()(,41)()()(======AC P BC P AB P C P B P A P ， 求C B A ,,至少有一个发生的概率． 解：由于()0P AB =，所以()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+ 1111544488=++-=．4．设B A ,是两事件，且7.0)(,6.0)(==B P A P ．问： （1）在什么条件下)(AB P 取到最大值，最大值是多少？ （2）在什么条件下)(AB P 取到最小值，最小值是多少？ 解：由于()()()()P AB P A P B P A B =+- ，所以（1）当()0.7P A B = 时，()P AB 取最大值0.6； （2）当()1P A B = 时，()P AB 取最小值0.3．5．某工厂有10个车间，每个车间选出2名代表出席职工代表会议，又从这20名代表中任选出10人组成工会委员会．求：（1）第二车间在工会委员会中有代表的概率； （2）每个车间在工会委员会中都有代表的概率解：令A ={第二车间在工会委员会中有代表}，B ={每个车间在工会委员会中都有代表}，则（1）10181020()1C P A C =-；（2）1010202()P B C =．．概率论与数理统计练习题（2）条件概率 独立性3．甲、乙、丙3台机床加工同一种零件，零件由各台机床加工的百分比依次是50%，30%，20%．各机床加工的优质品率依次是80%，85%，90%，将加工的零件放在一起，从中任取1个，求取得优质品的概率． ．解：令1B ={取到的产品是甲机床加工的}，2B ={取到的产品是乙机床加工的}， 3B = {取到的产品是丙机床加工的}，A ={取得优质品}．则112233()()(|)()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B P B P A B =++0.50.80.30.850.20.90.835=⨯+⨯+⨯=．4．将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收站收到时，信息A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作A 的概率为0.01．信息A 与信息B 传送的频繁程度为2∶1．若接收站收到的信息是A ，问原发信息是A 的概率是多少？ 解：令H ={原发信息是A}，C ={收到的信息是A}，则20.98()(|)1963(|)0.99521()(|)()(|)1970.980.0133P H P C H P H C P H P C H P H P C H ⨯====+⨯+⨯5．甲、乙、丙三人同时对飞机射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7．飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落．求飞机被击落的概率．解：令A ={飞机被击落}，i B ={恰有i 人击中飞机}，0,1,2,3i =，则0()0.60.50.30.09P B =⨯⨯=，1()0.40.50.30.60.50.30.60.50.70.36P B =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 2()0.60.50.70.40.50.70.40.50.30.41P B =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 3()0.40.50.70.14P B =⨯⨯=．从而3()()(|)0.0900.360.20.410.60.1410.458i i i P A P B P A B ===⨯+⨯+⨯+⨯=∑概率论与数理统计练习题（3） 离散型随机变量、连续型随机变量姓名 学号 班级3．一汽车沿街行驶，需通过3个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿不依赖于其他信号灯，而且红绿两种信号显示的时间相等，以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数，求X 的分布律． 解 X表示汽车首次遇到红灯前已通过的路口数，其可能取值为0，1，2，3，则21}0{==X P ， 412121}1{=⋅==X P ， 81212121}2{=⋅⋅==X P ， 81212121}3{=⋅⋅==X P ．4．设随机变量~(108,9)X N ，求：（1）{101.1117.6}P X <<；（2）常数a ，使{}0.90P X a <=；（3）常数a ，使{||}0.01P X a a ->=．解 (1)101.1108117.6108{101.1117.6}{}33P X P X --<<=<<(3.2)( 2.3)(3.2)(2.3)10.9886=Φ-Φ-=Φ+Φ-=．(2)由于108108108{}{}()0.9333X a a P X a P ---<=<=Φ=，所以1081.283a -=，因此111.84a =．(3)由于{||}{2}{0}P X a a P X a P X ->=>+<1{2}{0}0.01P X a P X =-<+<=，所以{2}0.99P X a <=，即1082108{}0.9933X a P --<=，于是21082.333a -=，从而57.495a =．设随机变量X 的概率密度为sin ,0,()0,.k x x f x π≤≤⎧=⎨⎩其他求：（1）常数k ；（2）X 的分布函数； 解 (1)12k =； (2)0,0,11()cos ,0,221,.x F x x x x ππ<⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪>⎪⎩(3)2011{0}sin d 222P X x x ππ<<==⎰概率论与数理统计练习题（4） 二维随机变量、边缘分布与条件分布姓名 学号 班级3．已知X 服从参数6.0=p 的（0-1）分布，在0=X 及1=X 下关于Y 的条件分布律分别为Y1 2 3{|0}P Y X =41 21 41 Y1 2 3{|1}P Y X =21 61 31 求(,)X Y 的分布律．解 依题意，{}010.4P X p ==-=，{}10.6P X p ===， 于是有 {}{}{}110,10100.4410P X Y P X P Y X =======⨯=， {}{}{}110,20200.425P X Y P X P Y X =======⨯=， {}{}{}110,30300.4410P X Y P X P Y X =======⨯=， {}{}{}131,11110.6210P X Y P X P Y X =======⨯=， {}{}{}111,21210.6610P X Y P X P Y X =======⨯=，{}{}{}111,31310.635P X Y P X P Y X =======⨯=．所以(,)X Y 的分布律为Y X1 2 30 1/10 1/5 1/10 13/101/101/54．设随机变量(,)X Y 的概率密度为34e ,0,0;(,)0,.x y k x y f x y --⎧≥≥=⎨⎩其他（1）求常数k ；（2）求(,)X Y 的分布函数()y x F ,；（2）求{}20,10<<<<Y X P ． 解 (1)由3401x y ke dxdy ∞∞--=⎰⎰，知12k =．(2)340012,0,0,(,)0,0,0y xx y edxdy x y F x y x y --⎧>>⎪=⎨⎪≤≤⎩⎰⎰34(1)(1),0,0,0,0,0.x y e e x y x y --⎧-->>=⎨≤≤⎩(3)2134380{01,02}(12e d )d (1e )(1e )x y P X Y x y ----<<<<==--⎰⎰5．已知平面区域D 由曲线xy 1=及直线20,1,e y x x ===围成，(,)X Y 在D 上服从均匀分布．求（1）(,)X Y 的联合密度函数；（2）X 和Y 的边缘密度函数． 解 由于22e e 111()d ln |2m D x x x===⎰，故 (1)211,1e ,0,(,)21,.x y f x y x ⎧≤<≤≤⎪=⎨⎪⎩其他；(2)22221(e 1),0e ,21,1e ,11()()(1),e 1,220,.0,.X Y y x f x f y y xy --⎧-≤<⎪⎪⎧≤<⎪⎪==-≤≤⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎩其他其他 概率论与数理统计练习题（5）随机变量的独立性、随机变量函数的分布姓名 学号 班级3．设随机变量X 的分布律为1{},1,2,2kP X k k === ，求2sin X Y π=的分布律. 解 sin 2XY π=的可能取值为1,0,1-，而1{},1,2,2k P X k k === ， 故4312{1}215k k P Y ∞+==-==∑，2111{0}23k k P Y ∞====∑，41018{1}215k k P Y ∞+====∑， 则Y 的分布律为Y -1 0 1k p215 13 8154．一电子仪器由两部件构成，以X 和Y 分别表示两部件的寿命（单位：千小时），已知X 和Y 的联合分布函数为0.50.50.5()1e e e ,0,0,(,)0,x y x y x y F x y ---+⎧--+≥≥=⎨⎩其他.（1）问X 和Y 是否相互独立？（2）求两部件的寿命均超过100小时的概率． 解 (1)0.5()lim (,)1(0)xX F x F x y e x -==-≥，0.5()lim (,)1(0)yY F y F x y e y -==-≥，0.50.50.50.50.5()()()(1)(1)11,0,0,x y X Y xyx y F x F y e e eeex y -----+=--=--+≥≥即 0.50.50.5()1,0,0;()()0,x y x y X Y e e e x y F x F y ---+⎧--+≥≥=⎨⎩其它,有 (,)()()X Y F x y F x F y =， 故X 和Y 相互独立．(2){}{}{}0.1,0.10.10.1P X Y P X P Y >>=>>{}{}(10.1)(10.1)P X P Y =-≤-≤ 0.050.050.050.050.1[1(1)][1(1)]0.9048e e e e e -----=----===．5．设随机变量X 与Y 相互独立，其密度函数分别为1,01,e ,0,()()0,0,0y X Y x y f x f y y -≤≤⎧⎧>==⎨⎨≤⎩⎩其他,..求随机变量Y X Z +=2的分布函数．解 由于X 、Y 独立，因此,01,0,(,)0,y e x y f x y -⎧<<>=⎨⎩其它．所以2(){2}(,)Z x y zF z P X Y z f x y dxdy +<=+<=⎰⎰/220012000,0,,02,,2,z z x y z xy z dx e dy z dx e dy z ----⎧<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎩⎰⎰⎰⎰即 20,0,1()(1),02,211(1), 2.2z Z z z F z e z z e e z --⎧⎪<⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪-->⎪⎩概率论与数理统计练习题（6）数学期望、方差姓名 学号 班级3．对某目标进行射击，直到击中为止，如果每次命中率为p ，求射击次数X 的数学期望和方差．解 X 的可能取值为1,2,n = ，而1{}(1),1,2,n P X n p p n -==-= ， 故121111(1)(1)11n nn n p p p EX n p p n p p p p p∞∞-==-=-=-==--∑∑， 22123211(1)(2)1()(1)(1)11n n n n p p p p p E X n p p n p p p p p ∞∞-==---=-=-==--∑∑， 2221()()pDX E X EX p -=-=。