概率统计练习册习题解答标准化工作室编码[XX968T-XX89628-XJ668-XT689N]苏州科技学院 《概率论与数理统计》活页练习册习题解答信息与计算科学系 概率论与数理统计教材编写组2013年12月习题1-1 样本空间与随机事件1．选择题（1）设,,A B C 为三个事件，则“,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可表示为（ D ） （A ）ABAC BC （B ）A B C （C ）ABC ABC ABC （D ）A B C（2）设三个元件的寿命分别为123,,T T T ，并联成一个系统，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作，事件“系统的寿命超过t ”可表示为（ D ）A {}123T T T t ++>B {}123TT T t >C {}{}123min ,,T T T t >D {}{}123max ,,T T T t > 2．用集合的形式表示下列随机试验的样本空间Ω与随机事件A ：对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件A 表示“射击次数不超过5次”。
解：{} ，，，＝321Ω；{}54321A ，，，，＝。
3．设某工人连续生产了4个零件，i A 表示他生产的第i 个零件是正品（4,3,2,1=i ），试用i A 表示下列各事件：（1）只有一个是次品；（2习题1-2 随机事件的概率及计算1．填空题（1）已知B A ⊂，4.0)(=A P ，6.0)(=B P ，则=)(A P ，=)(AB P ，=)(B A P 0 ，=)(B A P 。
（2）设事件A 与B 互不相容，()0.4,()0.3P A P B ==，则()P AB = ，()P AB = 。
2．选择题（1）如果()0P AB =，则（ C ）(A) A 与B 互不相容 (B) A 与B 互不相容 (C) ()()P A B P A -= (D) ()()()P A B P A P B -=- (2) 两个事件A 与B 是对立事件的充要条件是（ C ）（A ） )()()(B P A P AB P = （B ）1)(0)(==B A P AB P 且 （C ） Ω=∅=B A AB 且 （D ）∅=AB 3．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 （1）5只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率； （3）5只中至多有一只坏的概率。
4．（1）教室里有r 个学生，求他们的生日都不相同的概率； （2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.解：（1）设A =“他们的生日都不相同”，则365()365r rP P A =；（2）设B =“至少有两个人的生日在同一个月”，则212223214121141241212441()1296C C P C C C P C P B +++==； 或 412441()1()11296P P B P B =-=-=.习题1-3 条件概率1．选择题：（1）设A ，B 为两个相互对立事件，且0)(>A P ，0)(>B P ，则( C )。
（A ）0)(>A B P （B ）)()(A P B A P = （C ）0)(=B A P （D ）)()()(B P A P AB P = （2）一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为p ，第二道工序的废品率为q ，则该零件加工的成品率为（ Ｃ ）（A ） 1p q -- （B ）1pq - （C ）1p q pq --+ （D ）(1)(1)p q -+- 2．填空题:(1) 已知,6.0)(,5.0)(==B A P A P 若B A 、互不相容，则)(B P B A 、相互独立，则)(B P (2) 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80/81，该射手的命中率___23p =__。
3．为防止意外，在矿内同时安装了两种报警系统A 与B ，每种报警系统都使用时，对系统A 其有效的概率是，对系统B 其有效的概率为，在A 失效的条件下，B 有效的概率为.求：（1）发生意外时，这两种报警系统至少有一个有效的概率；（2）B 失灵的条件下，A 有效的概率。
解：设=A “报警系统A 有效”，=B “报警系统B 有效”（2）因为：862.0988.093.092.0)()()()(=-+=-+=B A P B P A P AB P4．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为，，，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回.试求：（1）顾客买下该箱的概率α；（2）在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率β.解 设A =“顾客买下该箱”，B =“箱中恰有i 件残次品”，0,1,2i =， （1）001122()()(|)()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B P B P A B α==++5．据数据显示，每1000名50岁的低风险男性中，有3名患有结肠癌.如果一名男性患有结肠癌，那么大便隐血检查表明有隐血的可能性是50%，如果一名男性没有患有结肠癌，那么大便隐血检查表明有隐血的可能性是3%．如果对一名低风险男性进行的隐血检查表明有隐血，那么他患有结肠癌的概率是多少解 设A =“50岁男性患有结肠癌”，B =“大便隐血检查呈隐血” 由题意，003.0)(=A P ，997.0)(=A P ，50.0)(=A B P ，03.0)(=A B P 由贝叶斯公式（），习题2-1 随机变量及其分布函数1．判断下列函数能否为某随机变量的分布函数.（ ） 解：1()F x 是；2()F x 不是，因为2()01F +∞=≠..习题2-2 离散型随机变量1．填空题(1) 设随机变量X 的分布律为:{},Nak X P == N k ， ,2,1=，试确定___1______a =。
(2) 一批产品共100个，其中有10个次品，从中放回取5次，每次取一个，以X 表示任意取出的产品中的次品数，则X(3) 某射手对一目标进行射击，直至击中为止，如果每次射击命中率都是p ，以X表示射击的次数，则X 的分布律为2. 将编号为1,2,3,4的四个球随机地放入3个不同的盒子中，每个盒子所放球的个数不限，以X 表示放球最多的盒子中球的个数，试求X 的分布列及其分布函数()F x .3．设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为的泊松分布,试问(1) 在一周内恰好发生2次交通事故的概率是多少(2) 在一周内至少发生1次交通事故的概率是多少 解：设一周内发生交通事故的次数为X ，则()3.0~P X 。
4．某人购买某种彩票，若已知中奖的概率为0.001，现购买2000张彩票，试求：（1）此人中奖的概率；（2）至少有3张彩票中奖的概率（用泊松分布近似计算）。
解：设中奖的彩票数为X ，则(2000,0.001)XB .（1）2000(1)1(0)1(0.999)0.8648P X P X ≥=-==-≈. （2）由于20000.0012⨯=，故习题2-3连续型随机变量1. 设连续型随机变量X 的密度函数为试求：（1）常数a 的值；（2）随机变量X 的分布函数；（3）13()22P X <<。
（2）当0x <时，()0F x =；当2x >时，()1F x =. 故，2. 设连续型随机变量X 的分布函数为⎩⎨⎧<≥-=-000)1()(x x e A x F x ，，,试求：（1）系数A ；（2）X 的密度函数；（3）(13)P X <<。
解：（1）由1)(=+∞F 知，Ae A x F x x x =-==-+∞→+∞→)1(lim )(lim 1。
（2）⎩⎨⎧≤>='=-.0,0;0,)()(x x e x F x f x （3）()()311311)1()3()31(-----=---=-=<<e e e e F F X P 。
3. 设K 在(0，5)内服从均匀分布, 求方程02442=+++K Kx x 有实根的概率。
解：所求的概率为：4. 某种型号的电子管寿命X (以小时计)具有以下概率密度210001000()0x f x x ⎧>⎪=⎨⎪⎩，，其他，现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）, 任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少5. 设连续型随机变量~34X N （，），（1）求{}{}2,52>≤<X P X P ；（2）确定常数C 使{}{}C X P C X P >=≤。
（2习题2-4 二维随机变量及其分布1．一箱子装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80件，10件，10件。
现从中随机抽取一件，记 试求),(21X X 的联合分布列。
解：3．设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为：2,01,02(,)0x cxy x y f x y ⎧+≤≤≤≤=⎨⎩其他，求：（1）常数c ；（2）{1}P X Y +≤；（3）X 和Y 的边缘密度函数。
当10><x x 或时，()0=x f X ；求Y 的边缘密度函数：()()⎰+∞∞-=dxy x f y f Y ,。
当20><y y 或时，()0=y f Y ；4. 设),(Y X 服从}10,20|),{(≤≤≤≤=y x y x G 上的均匀分布，求：()121,10;P X X ===（1）),(Y X 的联合概率密度函数；（2）}{2X Y P <；（3）X 和Y 的边缘密度函数。
解：（1）由（X ，Y ）服从G 上的均匀分布知，（X ，Y ）的联合密度为：（3）先求X 的边缘密度：()()⎰+∞∞-=dyy x f x f X ,。
当20><x x或时，()0=x f X ；当20≤≤x 时，再求Y 的边缘密度函数：()()⎰+∞∞-=dxy x fy f Y,习题2-5 条件分布及随机变量的独立性1．设二维离散型随机变量),(Y X 只取 )2,1(),1,1(),0,0(-- 及 )0,2( 四对值，相应概率依次为125,31,61,121 ，试判断随机变量X 与Y 是否相互独立。
所以，X 与Y 不独立。
2.3．设二维连续型随机变量(,)X Y 的联合密度函数为 试判定X 与Y 是否相互独立。
解：()(,)X f x f x y dy+∞-∞=⎰.当0x ≤或1x ≥时，()0X f x =；当01x <<时，20()12xX f x dy x==⎰.()(,)Y f y f x y dx+∞-∞=⎰.由于当(,){01,02}x y x y x ∈<<<<时，(,)()()X Y f x y f x f y ≠⋅，且区域{01,02}x y x <<<<的面积不为0，所以，X 与Y 不相互独立. 4. 设二维连续型随机变量),(Y X 的联合密度函数为201,01(,)0x y cxy fx y <<<<⎧=⎨⎩其他， 求常数c ，并判断X 与Y 是否相互独立。