二、电磁学计算题
考情分析
增分专练
1.如图所示,在xOy平面内0<x<L的区域内有一方向竖直向上的匀强电场,x>L的区域内有一方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场。
某时刻,一带正电的粒子从坐标原点,以沿x轴正方向的初速度v0进入电场;之后的某一时刻,一带负电粒子以同样的初速度从坐标原点进入电场。
正、负粒子从电场进入磁场时速度方向与电场和磁场边界的夹角分别为60°和30°,两粒子在磁场中分别运动半周后恰好在某点相遇。
已知两粒子的重力以及两粒子之间的相互作用都可忽略不计。
求:
(1)正、负粒子的比荷之比∶;
(2)正、负粒子在磁场中运动的半径大小;
(3)两粒子先后进入电场的时间差。
2.如图所示,空间存在一水平向右的有界匀强电场,电场上下边界间的距离为d,左右边界足够宽。
现有一带电荷量为+q、质量为m的小球(可视为质点)以竖直向上的速度从下边界上的A点进入匀强电场,且恰好没有从上边界射出,小球最后从下边界的B点离开匀强电场,若A、B两点间的距离为4d,重力加速度为g,求:
(1)匀强电场的电场强度;
(2)小球在B点时的动能;
(3)求小球速度的最小值。
3.如图甲所示,一对足够长的平行粗糙导轨固定在水平面上,两导轨间距l=1 m,左端用R=3 Ω的电阻连接,导轨的电阻忽略不计。
一根质量m=0.5 kg、电阻r=1 Ω的导体杆静止置于两导轨上,并与两导轨垂直。
整个装置处于磁感应强度B=2 T 的匀强磁场中,磁场方向垂直于导轨平面向上。
现用水平向右的拉力F拉导体杆,拉力F与时间t的关系如图乙所示,导体杆恰好做匀加速直线运动。
在0~2 s内拉力F所做的功为W=J,重力加速度g取10 m/s2。
求:
(1)导体杆与导轨间的动摩擦因数μ;
(2)在0~2 s内通过电阻R的电荷量q;
(3)在0~2 s内电阻R上产生的热量Q。
4.如图所示,竖直平行正对放置的带电金属板A、B,B板中心的小孔正好位于平面直角坐标系xOy的O点,y 轴沿竖直方向,在x>0的区域内存在沿y轴正方向的匀强电场,电场强度大小为E=×103 V/m;比荷为
1.0×105 C/kg的带正电的粒子P从A板中心O'处由静止释放,其运动轨迹恰好经过M(,1)点;粒子P的重力不计,试求:
(1)金属板A、B之间的电势差U AB;
(2)若在粒子P经过O点的同时,在y轴右侧匀强电场中某点由静止释放另一带电微粒Q,使P、Q恰能在运动中相碰;假设Q的质量是P的2倍,带电情况与P相同;Q的重力及P、Q之间的相互作用力均忽略不计;求粒子Q所有释放点的集合。
增分册答案精解精析
增分专练
1.答案(1)1∶3(2)L L(3)
解析(1)设粒子进磁场时速度方向与边界夹角为θ,
v y=
v y=t,t=
=
故∶=∶=1∶3
(2)进入磁场时正、负粒子的速度分别为v1==v0,v2==2v0
粒子在磁场中运动时,qvB=m,R=
得=
出电场时,粒子沿竖直方向的位移大小y=·t,
两粒子离开电场位置间的距离d=y1+y2=L
根据题意作出运动轨迹,两粒子在P点相遇,
由几何关系可得2R1=d sin 60°,2R2=d sin 30°
则R1==L,R2=d=L
(3)两粒子在磁场中运动的时间均为半个周期
t1==
t2==
由于两粒子在电场中运动时间相同,所以进电场时间差即磁场中相遇前的时间差
Δt=t1-t2=。
2.答案(1)(2)5mgd(3)
解析(1)设小球从A运动到B的时间为t,电场强度为E。
在水平方向上有··t2=4d
在竖直方向上有·g·=d
联立解得E=
(2)设小球进入电场时的速度为v0,小球到达B点时的动能设为E k。
在竖直方向上有=2gd
由功能关系得E k=m+4qEd
联立解得E k=5mgd
(3)设经时间t'小球的速度最小,由运动的合成与分解得:
v y=v0-gt',v x=gt',=2gd
v=-
则有当(gt')2=(v0-gt')2时v有最小值,即
t'=
代入解得v min=
3.答案(1)0.4(2)2 C(3) 8 J
解析(1)设导体杆的加速度为a,则t时刻导体杆的速度v=at 产生的感应电动势为E=Blv
电路中的感应电流为I=
导体杆上所受的安培力为F安=BIl==
由牛顿第二定律可知F-μmg-=ma
即F=ma+μmg+
代入数据得F=a+5μ+at N
由图像可知F=3+2t(N)
由于导体杆做匀加速直线运动,加速度a为常数,比较两式可得
a=2 m/s2,μ=0.4
(2)0～2 s时间内,导体杆的位移为x=a=4 m
在0～2 s内的平均感应电动势=Δ
=
Δ
平均感应电流为=
通过的电荷量q=t1=
代入数据得q=2 C
(3)2 s末,导体杆的速度v=at1=4 m/s。
设在力F的作用过程中,电路中产生的总热量为Q'。
由动能定理可知
W F-μmgx-Q'=mv2
代入数据可得Q'=J
由串联电路的知识可知Q=Q'=8 J。
4.答案(1)1 000 V
(2)y=x2,其中x>0
解析(1)设粒子P的质量为m、带电荷量为q,从O点进入匀强电场时的速度大小为v 0;由题意可知,粒子P在y轴右侧匀强电场中做类平抛运动;设从O点运动到M(,1)点历时为t0,由类平抛运动规律可得x M=v0t0,y M=,解得v0=×104 m/s。
在金属板A、B之间运动过程,由动能定理得qU AB=m,解得U AB=1 000 V
(2)设P、Q在右侧电场中运动时的加速度分别为a1、a2;Q粒子从坐标N(x,y)点释放后,经时间t与粒子P相碰;由牛顿运动定律及类平抛运动的规律和几何关系可得:
对于P:Eq=ma1
对于Q:Eq=2ma2
x=v0t
a1t2=y+a2t2
解得y=x2,其中x>0
即粒子Q释放点N(x,y)坐标满足的方程为y=x2,其中x>0。