教学课题第25章概率初步
一、知识框架
1.1随机事件和概率
1．必然事件、不可能事件和随机事件
1.定义：
（1）必然事件
在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．
（2）不可能事件
在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．
（3）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.
2、概率的意义
概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A
的概率(probability)，记为.
1.2用列举法求概率
1．必然事件和不可能事件
在一定条件下，必然会发生的事情称为必然事件．一定不会发生的事情称为不可能事件．必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0.
2．用列举法计算概率
常用的列举法有两种：列表法和画树状图法.设共有n种结果.如果出现其中每一种结
果的可能性大小是一样的，那么出现每一种结果的概率都是1
n
.如果一个事件包含m种可
能的结果，那么出现这个事件的概率为1
n
+
1
n
+……+
1
n
=
m
n
.
个事件发生的频率作为这个事件的概率的估计值.
3、用频率估计概率
当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.
二、重点和难点
随机事件和概率
1、通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确判断；
2、初步理解概率定义，通过具体情境了解概率意义.
3、概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；
4、概率反映了随机事件发生的可能性的大小；
5、事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0<P(随机事件)<1.
用列举法求概率
1、通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件、不可能事件的特点，并根据这些特
点对有关事件作出准确的判断；
2、能够运用树状图法和列表法计算简单事件发生的概率.
3、树状图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
4、在用树状图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.
5、列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
6、列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.
用频率求概率
1、理解频率与概率的区别与联系；能够通过大量重复实验，估计事件发生的概率；能利用频率与概率的关系解决实际问题.
2、事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；
3、频率本身是随机的，在实验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复实验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；
4、概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
三、易错点
随机事件和概率
1、频率和概率的关系：当大量重复试验时，频率会稳定在概率附近.
2、概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；概率反映了随机事件发生的可能性的
大小；事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即，其中P(必
然事件)=1，P(不可能事件)=0，0<P(随机事件)<1.
3、计算随机事件的可能性的大小，根据不同题目的不同条件确定解法，如面积法、数值法等.
用列举法求概率
1、树状图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；在用树状图
法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.
2、列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；列表法适用于涉及
两步试验的随机事件发生的概率.
用频率估计概率
1、概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.
2、事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.
3、频率本身是随机的，在实验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复实验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；
四、典型例题
例1.（1）指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？
①若 a、b、c都是实数，则a(bc)=(ab)c；
若摸到所有的红球与黑球共6个，还会摸到2个白球；
所以从中摸出8个球，恰好红球、白球、黑球都摸到，这件事情是必然事件．
故选D．
【总结升华】解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．关键是得到相应事件的类型．
例4、2．一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个黄球，从中随机摸
出一个，则摸到黄球的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】从袋中随机摸出一个球的所有可能情况有８种，其中是黄球的情况有３种，故摸
到黄球的概率是.
【总结升华】这是一道典型的古典概型题.
例5. 把一副扑克牌中的3张黑桃牌（它们的正面牌面数字分别是3、4、5）洗匀后正面
朝下放在桌面上．
（1）如果从中随机抽取一张牌，那么牌面数字是的概率是多少？
（2）小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽出一张牌，记下牌面数字
后放回，洗匀后正面朝下，再由小李随机抽出一张牌，记下牌面数字．当张牌面数字相
同时，小王胜；当张牌面数字不相同时，小李胜．现请你利用树状图或列表法分析游戏
规则对双方是否公平？并说明理由.
【思路点拨】（1）问属于古典概型；（2）问可以采用列表法或树状图法列出所有的可能，
计算小王和小李各自取胜的概率，再去做判断.
【答案与解析】
（1）P（抽到牌面数字４）=；
（2）游戏规则对双方不公平，理由如下：
3 4 5
3 （3，3）（3，4）（3，5）
4 （4，3）（4，4）（4，5）
5 （5，3）（5，4）（5，5）
一共有9种可能的结果，每种结果发生的可能性相等，∴P（牌面数字相同）=；P
（牌面数字不相同）=2
3
，∴小李胜的概率要大，游戏不公平.
【总结升华】列表法可以不重不漏的列出所有可能的结果.
例6、不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白
球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为1
2
.
（1）试求袋中蓝球的个数.
（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图法，求两次摸到的都是白球的概率.
【答案】（1）1个；
（2）P（两次摸到白球）=1
6
.
例7.关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（）
A. 频率等于概率
B. 当实验次数很大时，频率稳定在概率附近
C. 当实验次数很大时，概率稳定在频率附近
D. 实验得到的频率与概率不可能相等
【思路点拨】对于某个确定的事件来说，其发生的概率是固定不变的，而频率是随着试验次数的变化而变化的.
【答案】B.
【解析】事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.
【总结升华】概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.
例8. 某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，并规定：顾客购物10元以上能获得
一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据：
(1)计算并完成表格：
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 546 701
落在“铅笔”的频率
(2)请估计，当很大时，频率将会接近多少？
(3)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少？
(4)在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少？(精确到 1°)
【答案与解析】(1) 0.68、0.74、0.68、0.69、0.6825、0.701；
(2) 0.69；
(3) 由（1）的频率值可以得出P（获得铅笔）=0.69；
(4) 0.69×360°≈248°.
【总结升华】(1)试验的次数越多，所得的频率越能反映概率的大小；(2)频数分布表、扇形图、条形图、直方图都能较好地反映频数、频率的分布情况，我们可以利用它们所提供的信息估计概率．。