5
3 9 111
6 20
第三章运输问题
例： Vogel说明
B1 A1 99
A2 8
B2
B3
99 99
5
9
2
A3 7
4
10
3
6
5
B4 4
1
6
5
6
罚数
5 95 81 71
第三章运输问题
二、方案的最优性检验－－闭回路法
闭回路――从一个非基变量（空格）出发，由水平或垂直直线组 成的一条封闭折线，该折线的其余顶点都为基变量（数学格）。 任一非基变量的闭回路是唯一的。
第三章 运输问题
第三章运输问题
教学大纲
一、基本要求： 1、掌握运输问题数学模型的基本特点； 2、熟练掌握最小元素法求初始可行解； 3、了解西北角法、Vogel法； 4、熟练掌握最优性检验方法中的一种：
闭回路法，位势法，初等变换法； 5、熟练掌握用闭回路法调整方案； 6、掌握退化解、产销不平衡、断路及最大化问题的处理思想。
第三章运输问题
运输问题模型的特点
3、运输问题一定有最优解 一方面，任何使产销平衡的调运方案都是可行方案，
这样的方案一定能找到，即运输问题的可行域必定存 在；
另一方面，由于cij≥0，则Z≥0，而目标函数是极小
化的，则Z有界。
4、运输问题代表了一大类问题，除调运以外，还有 资源分配、材料配方、工作指派、投资分析、工作地 布置和农作物布局等，是LP体系中形成最早，至今应 用最成功的分支。主要的求解方法是表上作业法（是 一种特殊的单纯形法）。
B1
B2
B3
B4 产量
3
11
3
10
A1
4
3
7
1
9
2
8
A2 3
1
4
7
4
10
5
A3
6
39
销量 3
6
5
6 20
空格（非基变量）的检验第数三章σ运11输问＝题 3－3＋2－1＝1＞0
B1
B2
3 ＋1 11
A1
1 －1 9 A2 3
7
4
B3
B4
3 －1 10
4
3
2 ＋1 8 1
10
5
产量 7 4
A3
6
39
销量 3
最小元素法
基本思路：就近调运，即在运费最低的路段开始，将尽可能 多的运量分配给运费最低的路段。
A1
A2
A3 销量
B1 3
1
3
7
3
B2 11
9
4
6
6
B3 3
4
2
1
10
5
B4 10
3
8
5
3
6
产量 7 4 9 20
此时，Z=43+310+31+12+64+35=86 第三章运输问题
沃格尔Vogel近似法
行罚数：一行中的：次小单位运价－最小单位运价 基本思想：如果某行的罚数大，则不按该行最小单位运价安排 运输，就会造成运费的较大损失，这种损失可能会大于不按全 局最小单位运价安排运输的损失。
A1
A2
A3 销量ຫໍສະໝຸດ B1 313
7
3
B2 11
9
4
6
6
B3 3
5
2
10
5
B4 产量 行罚数 10
2 7 071
8
1 4 161
运输问题模型的特点
1、对于一个m=3，n=4的运输问题，共有mn=12个
变量，m+n=7个约束方程；s.t.均由“＝”连接，且 找不到单位矩阵。
2、运输问题基变量共有m+n-1＝6个 基变量数应为m+n个，但，产销平衡，造成前m
个供应地约束和后n个需求地约束是线性相关的，即 有一个约束方程可以用其余的约束方程表示。
(1)
x21+x22+x23+x24=4
(2)
x31+x32+x33+x34=9
(3)
x11+ x21 + x31 =3
(4)
x12+ x22 + x32 =6
(5)
x13+ x23 + x33 =5
(6)
x14+ x24 + x34 =6
(7)
xij0，i=1,2,3,4，j=1, 2, 3
第三章运输问题
6
5
6 20
以空格（A1，B1）为例，A1至B1本来没有运量，现试作调整如下：
调整
运费变化
（A1，B1）处增加1吨
增加3元
（A1，B3）处减少1吨
减少3元
（A2，B3）处增加1吨
增加2元
（A2，B1）处减少1吨
减少1元
上述调整后，总运费σ1第1＝三章3运－输问3题＋2－1＝1，增加了1元
A1
A2
A3 销量
销地 B1
B2
B3
B4
产地
A1
3
11
3
10
A2
1
9
2
8
A3
7
4
10
5
运价表（单位：百元/千吨）
第三章运输问题
设产地Ai到销地Bj的调运量为xij，运量平衡表为：
A1
A2
A3 销量
B1 3
x11 1
x21 7
x31 3
B2 11
x12 9
x22 4
x32 6
B3 3
x13 2
x23 10
x33 5
B4 10
x14 8
x24 5
x34 6
产量 7 4 9 20
第三章运输问题
建立LP数学模型：
标函数 Min Z=3x11+11x12+3x13+10x14
+x21+9x22+2x23+8x24
s.t.产量约束： 销量约束： 非负约束：
+7x31+4x32+10x33+5x34
x11+x12+x13+x14=7
74
28 1
二、重点：表上作业法
三、难点：表上作业法
第三章运输问题
第一讲 运输问题 数学模型及其特点
第三章运输问题
[例3-1]某建材公司下设三个水泥厂A1、A2、A3，各厂每月产量 分别为A1——7千吨，A2——4千吨，A3——9千吨；现要将三 个厂生产的水泥分别运往四个建筑工地B1、B2、B3、B4，各工 地月需求量为B1——3千吨，B2——6千吨，B3——5千吨， B4——6千吨。已知各厂到各工地的单位运价如表，问应如何 调运才能在满足各工地需求条件下，使总运费最少？
第三章运输问题
一、初始方案的确定－－西北角法
中心思想：从运量平衡表的“西北角”（左上角）的变量开 始（从x11开始），给予尽可能大的运量。
B1
B2
B3
B4 产量
3
11
3
10
A1
3
4
7
1
9
2
8
A2
2
2
4
7
4
10
5
A3
3
69
销量 3
6
5
6 20
此时，Z0=33+411+29+2第三2章+运3输问1题0+65=135
B1 3
＋1
1 3
7 10
3
B2
B3
11
3
＋2 4
9
2
＋1 1
4
10
6
12
6
5
B4 产量 10
3
7
8 －1 4
5
39
6 20
存在σ24＜0，不是最优解。
第三章运输问题
位势法（对偶变量法）
B1 B2 B3 B4
B1 B2 B3 B4 ui
3 11 3 10
A1
4
3 7 A1 1 2 3 10 2
19 A2 3
第三章运输问题
第二讲 表上作业法
第三章运输问题
表上作业法
表上作业法是一种特殊的单纯形法，其基本思路与 其他数学规划一致，即
第一步，给出初始方案（初始可行解）；
第二步，对得到的方案进行最优性检验，若为最优 则停止，否则转入下步；
第三步，调整方案，得出新的方案，其目标函数值 应优于前一方案，然后回到第二步。