6 4 6 各点之间的运价c= 6 5 5
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二、表上作业法
表上作业法是单纯形法在求解运输问题时的一种简化方 表上作业法 其实质是单纯形法。 法，其实质是单纯形法。 其实质是单纯形法 (1)给出初始调运方案 给出初始调运方案——初始基可行解：即在(m×n)产 给出初始调运方案 销平衡表上给出m+n-1个数字格 个数字格。用最小元素法或伏格尔法。 个数字格 (2)检验 检验方案是否最优，若是最优解，则停止计算；否则 检验 转下一步。求各非基变量的检验数，即在表上计算空格的 计算空格的 检验数。在表上用闭环回路法或乘数法。 检验数 (3)调整 调整调运方案，得新的方案。——确定入基和出基变 调整 量，找出新的基可行解。在表上用闭环回路法。 (4)重复(2),(3)直到求出最优方案。 定理】：产销平衡的运输问题一定有可行解， 】：产销平衡的运输问题一定有可行解 【定理】：产销平衡的运输问题一定有可行解，且一定 有最优解。 有最优解。
设Xij表示从产地Ai调运到Bj的运输量(i＝1，2；j＝1 ，2，3)，现将安排的运输量列表如下：
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产销平衡表
销地 运输量 产地 A1 A2 销量 B1 X11 X21 150 B2 X12 X22 150 B3 X13 X23 200 产量 （件） 200 300 500
B1 3 1 7 2
B2
B3
B4
行 差额
A1 A2 A3
列差额
销地 产地
11 3 10 9 2 8 4 10 5 5 1 3
0 1 2
A1 A2 A3
列差额
11 3 10 9 2 8 4 10 5 5 1 2
0 1 2
B1 3 1 7 2
B2
B3
B4
行 差额
销地 产地
B1 3 1 7 2
B2
B3
B4
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Objective value:
销地 运输量 产地 A1 A2 销量 B1 50 100 150 B2 150 0 150
2500
B3 0 200 200 产量 （件） 200 300 500
共有2个产地和3个销地，产销平衡。 各产地产量a=(200,300) 各销地销量b=(150,150,200)
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运输问题
Min Z = ∑∑ cij xij ∑ xij = ai j ( p ) ∑ xij = b j i xij ≥ 0
对偶问题
Max W = ∑ ai ui + ∑ b j v j ui + v j ≤ cij (mn个约束) (d ) u , v 为自由变量 i j
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伏格尔法(Vogel)——差额法： 差额法： 伏格尔法 差额法 最小元素法的缺点是：为了节省一处的费用，有时会造 最小元素法的缺点 成在其他处要多花几倍的运费。 伏格尔法考虑到： 伏格尔法考虑到 ： 一产地的产品假如不能按最小运费就 近供应，就应考虑次小运费。这就有一个差额，差额越大， 说明不能按最小运费调运时，运费增加越多。因而对差额最 大处，就应当采用最小运费调运。
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则产销平衡的运输问题的线性规划模型如下所示：
m z = ∑∑cij xij in
i=1 j =1
m
n
n i = 1,2,L, m 产量约束 ∑xij = ai = jm1 x =b ∑ ij j j = 1,2,L, n 销量约束 i=1 xij ≥ 0 运输问题有m×n个决策变量，m+n 个约束条件。由于 产销平衡条件，只有m+n–1个相互独立，因此，运输问 题的基变量只有m+n–1 个。
检验数 1 2 1 -1 10 12
闭环回路计算检验数的经济解释为： 闭环回路计算检验数的经济解释为： 从任一空格出发，如(A1,B1)，若让A1的产品调运1吨给 B1，为了保持产销平衡，就要依次作调整：在(A2,B1)处减 少1吨，在(A2,B3)处增加1吨，在(A1,B3)处减少1吨，即构 成了以空格(A1,B1)为起点的闭环回路。 调整后的方案使运费变成 (+1)×3＋(－1)×1＋ (+1)×2＋(－1)×3＝1（元）这就是 (A1,B1)的检验数。 当检验数还存在负数时，说明原方案还不是最优解。 当检验数还存在负数时 说明原方案还不是最优解。 负数 用闭环回路求检验数,当产销点很多时 这种计算很繁琐。 当产销点很多时,这种计算很繁琐 用闭环回路求检验数 当产销点很多时 这种计算很繁琐。 2）位势法： ）位势法： 位势法的原理是对偶理论。 位势法的原理是对偶理论。
运筹学》 《运筹学》
第三章 运输问题
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2、调运方案的检验 、 判别的方法是计算空格（非基变量）的检 验数，若所有的检验数都大于等于0，为最优 解。 1）闭环回路法： ）闭环回路法： 在给出的初始调运方案表上，从每一空格 出发找一条闭环回路，它是以某空格为起点 ，用水平或垂直线向前划，每碰到一数字格 转90°后（回路的转角点必须是一个基变量 ° 回路的转角点必须是一个基变量 ） ，继续前进，直到回到起始空格为止。 从每一空格出发一定存在且只有唯一的 闭环回路。 闭环回路。 从空格开始加减闭环各个顶点的运输单价 ，可得每个空格对应的检验数。
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销地 B1 产地 A1 A2 A3 销量
空格 (11) (12) (22) (24) (31) (33)
B2
B3
B4 产量
销地 产地
B1 3 1 7
B2 11 9 4
B3 3 2 10
B4 10 8 5
3 6
3 6
4 1
5
3 3
6
7 4 9
A1 A2 A3
行 差额
A1 A2 A3
列差额
11 3 10 9 2 8 4 10 5 5 1 2
7 6 2
A1 A2 A3
列差额
11 3 10 9 2 8 4 10 5 5 2 2
10 8 2
1）分别计算出各行和各列的最小运费和次最小运费的 差额，填入表格的最右列和最下行。 2）从行或列差额中选出最大者，选择它所在行或列中 的最小元素。B2列中的最小元素是4，可确定A3的产品先 满足B2的需要，同时将B2列运价划去。 3）对未划去的元素再分别计算出各行、各列的最小运 对未划去的元素再分别计算出各行、 对未划去的元素再分别计算出各行 费和次最小运费的差额，重新填入表格的最右列和最下行 费和次最小运费的差额 。重复1）2），直到找到初始调运方案。总运费为 元。 总运费为85元 总运费为 伏格尔法给出的初始解比用最小元素法给出的更接近 最优解。本例用伏格尔法给出的初始解就是最优解。 最优解。本例用伏格尔法给出的初始解就是最优解。
销地 B1 产地 A1 A2 A3 销量 B2 B3 B4 产量
销地 产地
B1 B2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B3
B4
行 差额
5 3 6
3 6 5
2 1 3
6
7 4 9
A1 A2 A3
列差额
3 11 3 10 1 9 2 8 7 4 10 5 2 5 1 3
0 1 1
销地 产地
B1 3 1 7 2
B2
B3
B4
行 差额
销地 产地
满足产地产量的约束条件为： X11+X12+X13=200 X21+X22+X23=300 满足销地销量的约束条件为： X11+X21＝150 X12+X22＝150 X13+X23＝200
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使运输费最小的目标函数为： minz＝6X11+4X12+6X13+6X21+5X22+5X23 Xij>=0 一般运输问题的线性规划的模型： 一般运输问题的线性规划的模型 有m个产地生产某种物资，有n个地区需要该类物资。 Al，A2，…，Am表示某种物资的m个产地；Bl，B2，… Al A2 … Am m Bl B2 … ，Bn表示某种物资的n个销地； 令a1, a2, …, am表示各产地产量， b1, b2, …, bn表示各 销地的销量，∑ai=∑bj 称为产销平衡。 Cij表示把物资从产地Ai运到销地Bj的单位运价。 同样设Xij表示从产地Ai运到销地Bj的运输量。
第三章
运输问题
运输模型（产销平衡） 一、运输模型（产销平衡）
例 1 ． 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地 B1、B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运 往各销地的每件物品的运费如下表所示： 问：应如何调运，使得总运输费最小？
销地 运费单价 产地 A1 A2 销量 B1 6 6 150 B2 4 5 150 B3 6 5 200 产量 （件） 200 300
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例 1： 某公司经销甲产品，它下设三个加工厂，每日的 ： 产量分别为A1－7吨，A2－4吨，A3－9吨。该公司把这些 产品分别运往四个销售点。各销售点每日销量为B1－3吨， B2－6吨，B3－5吨，B4－6吨。已知从各工厂到各销售点的 单位产品的运价如下表所示。 产销平衡表 销售点 产量 B1 B2 B3 B4 加工厂 A1 7 3 11 3 10 A2 4 1 9 2 8 A3 9 7 4 10 5
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