收稿日期: 2011-03-03 修回日期: 2012-03-31 基金项目: 绍兴文理学院科研启动基金(20115013); 浙江省教育厅科研计划(N20080183); 浙江省自然科学基 金(Y6110252); 中央高校基本科研业务费专项资金(2012QNA3007); 国家自然科学基金(11171305) 通讯作者: matlkw@
xnj
xnj+1
xnj−+11
£ £ £ £ xnj−1
x0(t)
e
e
e xnj +1 xnj++11
¥¥¥e¥ eeee
g g g g
xnj
e xnj+1
图 3 第三种情况的说明
第二种情况: 如果x0(t)和(xnj , xnj +1)相交于t = t¯ ∈ (tn, tn+1), 那么
u˙ (xnj +1, tn+1)
§1 引 言
考虑一个重要的爆破问题[1], 它可以写成如下带移动热源的偏微分方程的形式:
ut − uxx = δ(x − x0)F (u(x0, t)), (x, t) ∈ R × R+,
(1)
和初边值条件
u(x, t) → 0
当 |x| → ∞,
(2)
u(x, 0) = u0(x), −∞ < x < ∞.
√ s
=
√s0
3s + s0 s + 3s0
+
O(s
−
s0)3.
(9)
把方程(9)代入(7)得到
(s + 3s0)uˆx ± (3√s0s + s0√s0)uˆ = 0,
(10)
这里s0是一个参数(它的选取参见数值例子部分). 对(10)利用反拉普拉斯变换, 可以得到以下三
阶局部吸收条件
3s0ux + uxt ± 3√s0ut ± s0√s0u = 0.
(14)
3s0ux + uxt + 3√s0ut + s0√s0u = 0, x = xr.
(15)
§3 移动有限差分算法
这一节将利用移动网格方法(MMPDE6)来求解方程(12)-(15). 方程(12)可以写成以下形式
u˙ − uxx˙ − uxx = δ(x − x0)F (u(x0, t)),
∂2x˙ ∂ξ2
=
−
1 τ
∂ ∂ξ
M
∂x ∂ξ
(4)
在文[15]中被用来数值模拟方程(1). 它能够有效的抓住方程的奇异性. 文[16]通过在移动热源上 增加一个额外的网格点简化了[15]中提出的移动网格算法. 并且, 作者们成功地用新的算法解决 了两个和三个移动热源的问题.
本文首先利用统一方法的思想[13-14]为原问题(1)-(3)在选定的有界区域上给出了局部吸收 边界条件(LABCs). 然后对于得到的这个有界区域上的初边值问题, 用移动网格方法进行求解. 数值例子通过比较数值解和“精确解”说明了局部吸收边界条件(LABCs)的有效性. 本文的主要 目的是通过组合人工边界方法和移动网格方法来降低计算成本并且改进计算精度.
规则网格点了(图1中的(c)). 于是只需要考虑以下三种不同情况的有限差分离散格式[15].
第一种情况: 当x0(t)没有穿过(xnj−+11, xnj++11)和(xnj , xnj +1), 方程(16)中各项的有限差分逼近
格式如下
u˙ (xnj +1, tn+1)
≈
unj +1 − unj ∆tn+1
√
uˆx ± suˆ = 0.
(7)
208
高校应用数学学报
第27卷第2期
这里“± 中的加号对应右边的边界条件而减号对应左边的边界条件. 利用反拉普拉斯变换, 得到
两个人工边界条件
ux ±
1 π
t 0
√ uτ t−τ
dτ
=
0.
(8)
注意到以上导出的方程(8)是非局部的, 在实际计算的时候不是很方便. 下面考虑导出局部 吸收边界条件. 对√s进行有理函数逼近, 有如下表达式
(11)
于是无界区域上的原问题(1)-(3)可以被有界区域上的初边值问题所逼近:
ut − uxx = δ(x − x0)F (u(x0, t)), x ∈ [xl, xr],
(12)
u(x, 0) = u0(x), x ∈ [xl, xr],
(13)
3s0ux + uxt − 3√s0ut − s0√s0u = 0, x = xl,
祝汉灿等: 无界区域上带移动热源的反应扩散方程的移动网格方法
207
方程(1)是非常重要的一类方程, 经常被用来研究燃烧理论[2]. 数值模拟方程(1)-(3)有三个难点. 其中一个难点是该方程定义在无界区域上. 这个困难通
常可以用人工边界条件来处理. 人工边界条件用来最小化从人工边界上反射回来的波的数量[3]. 这种方法已经被很多研究者关注, 并且用来解决线性和非线性问题[4-12]. 最近, 一种新的人工边 界方法(称作统一方法)被提出并且用来解决非线性的薛定谔方程[13]和半线性的抛物方程[14]. 作 者们显示了统一方法是一种非常有效的方法用来处理无界区域上的半线性抛物方程. 统一方法 的基本思想如下. 首先, 通过时间分裂方法把原始问题分裂成一个线性的子问题和一个非线性 的子问题. 然后对线性的子问题, 考虑给定的人工区域的外面部分, 可以得到线性微分算子的单 方向的逼近算子. 最后把这个逼近算子和非线性算子组合在一起就得到了局部吸收边界条件.
和 [uxx](x0(t),t) = [ut](x0(t),t) = x0(t)F (u(x0(t), t)).
xj−1 xj−1
xj
xj+1
(a)
x0(t) xj
xj+1
(c)
x0(t) xj−1 xj
xj+1
(b)
xj−1
x0(t)
xj
xj+1
(d)
图 1 热源x0(t)的几个不同位置
在区间[xl, xr]上给定一个网格剖分: xl < x1 < · · · < xN−1 < xr, 可以根据热源的位置把网
高校应用数学学报 2012, 27(2): 206-219
无界区域上带移动热源的反应扩散 方程的移动网格方法
祝汉灿1,2, 梁克维2 (1. 绍兴文理学院 数学系, 浙江绍兴 312000;
2. 浙江大学 数学系, 浙江杭州 310027)
摘 要: 对无界区域上带移动热源的反应扩散方程提出了局部吸收边界条件. 移动网 格方法对导出的有界区域问题进行了求解. 数值例子显示了当热源移动的速度比较慢 的时候, 方程会在有限时间内发生爆破现象. 而当热源移动的速度足够快时, 爆破现象 不会发生. 数值例子验证了新方法的有效性和精确性. 关键词: 移动网格方法; 爆炸现象; 反应扩散方程; 移动热源; 无界区域; 局部吸收边界 条件 中图分类号: O241 文献标识码: A 文章编号: 1000-4424(2012)02-0206-014
(16)
这里
u˙
:=
∂u(x(ξ, t), t) ∂t
ξf ixed
=
ut
+ uxx˙ .
(17)
既然当x = x0时, 方程(16)的右边部分为0, 可以得到以下方程
u˙ − uxx˙ − uxx = 0.
(18)
当穿过曲线x0(t)时, 方程(18)的每一项包含一个跳跃. 引入跳跃符号
[ϕ](x¯,t¯)
格点分成规则的和不规则的. 当热源x0(t) ∈/ (xj−1, xj+1)时(图1的(a)), 网格点xj是规则的, 反之
则是不规则的. 从图1中, 可以看到总共有三种不规则网格点((b),(c),(d)中的xj). 利用[16]中的
思想, 在构造(16)的差分逼近格式之前, 在热源处添加一个额外的网格点. 这样, 看到只有一类不
除了无界区域, 数值模拟方程(1)-(3)还有另外两个难点[15-16]. 其中一个是δ-函数会导致方 程解的导数不连续. 基于在固定均匀网格上带有δ-函数的微分方程的解法[17-18], 马教授以及他 的合作者[15]提出了一种精确的逼近计划. 他们利用跳跃条件的信息, 通过构造一个光滑函数导 出了五种不同的逼近格式. 另外一个难点是爆破现象会在某一个时间点T 发生. 近几年提出的移 动网格方法在解这类带有奇异性的方程时, 计算精度和有效性都会得到明显的改进[19-22]. 其中, 黄教授[23]提出的移动网格方法(MMPDEs)已经被成功地用来解决类似的一些爆破问题[24-28]. 其中的一个移动网格方法(MMPDE6)
−
hnj +1
2 +
hnj++11
unj++11 − unj +1 hnj++11
−
unj +1 − unj−+11 hnj +1
−
hnj +1
2 +
hnj++11
F (unj +1)
+
hnj +1 2
ut − uxx = 0.
(5)
利用关于时间t的拉普拉斯变换, 可以把方程(5)写成
suˆ − uˆxx = 0,
(6)
这e的±特里x√征uˆs. 值=考,uˆ虑而(x到uˆ, s2无)=穷:=e远x√处0s∞是的e区−两s域t个u((x边−,∞界t)d,条xt.l件]解上i.齐的e.,特次|x征方| →值程.∞(6这)时,样可u在→以人得0工. 到于边两是界个uˆ上1线有=性如e−无下x√关方s是的程区特域征[x函r,数∞uˆ)上=