F反( )g r 0
我们考虑当A处的夹角增加
l B
, FT l
A
2 l
2a
D
FT l
只有B、D和C处的约束力的虚功不 C
为零。那么：
W
FT r1 + FT r1 + W r2
2FTl sin( ) sin -W 2l cos( ) cos
Wa[ctan( ) ctan ] 0
3
T mx&i2 / 2 i 1
3
所以，
3
L T U mx&i2 / 2 U (x1, x2 , x3)
i 1
带入那格朗日方程得到
x&i 0 x j
L
xi
xi
3 j 1
mx&2j
/
2
U
(
x1,
x2
,
x3
)
U xi
L
x&i
x&i
3 j 1
mx&2j /
2 U (x1,
x2, x3)
f q,t
q&
2 q q
f q,t
16
那么
L ' L d f q,t
q&
q& q& dt
即有：
m( X&& &x&cos ) MX&& 0 m&x& mX&&cos mg sin
m( X&& &x&cos ) MX&& 0
解之得：
X&& mg sin cos M msin2
&x&
(M M
m)g sin msin2
15
10．直接用拉格朗日方程[ 1.1.2 (2.21) 式 ] 证明，由相差一广义坐标和时间的函数的时间
全导数的两个拉格朗日函数L` 和L [1.1.3
(3.13)式 ] 得到的运动方程相同。
证明：L和L’相差一个广义坐标和时间的全微
分
L ' L q,q&,t d f q,t
dt
பைடு நூலகம்
那么
L q,q&,t
t
f q,t
q&
q
f q,t
L ' d f q,t
q
q dt
q
L 2 tq
时，对应的虚位移为
v
l
。
（b）小球经过 dt 时间后的位移，可以看作 有两部分组成：
（1）小球绕O点作圆周运动所产生的位移 l&dtev
（2）小球随O点一起作简谐运动所产生的位移
Xv&dt AdtevX
M
所以，小球的位移为
dr l&dtev AdtevX
l
dr 和 r
的区别如图所示：
m x3
9
2
L m&2 U ()
L 0
L 0 z
L m& &
L m 2& L mz&
&
z&
带入拉格朗日方程，则有：
m&& m&2 dU () , && 2&& 0, d
m&z& 0
7
3.长度为l的细绳系一小球，悬挂点按照 X Asin (t t0 )方式运动，如图所示，小球被限 制在 (x, z)平面内运动，t t0时悬线竖直向下。
利用近似方法
f (x x) f (x) f x
x
可sin得(：) sin cos
cos( ) cos sin
ctan( ) ctan csc2
12
将上面的近似式代入虚功方程可得：
2FTl cos + 2Wl sin Wa csc2 0
即有： FT Wa /(2l sin2 cos ) W tan
FT 0
sin 3 a
2l
FT 0
sin 3 a
2l
FT 0
sin 3 a
2l
杠对B的作用力向外 杠对B的作用力向内 杠对B无作用力
13
9．质量为M的斜面可以无摩擦地在水平桌面上
滑动。斜面上无摩擦地放一滑块 m，如图所示。
写出拉格朗日方程，并求斜面的加速度 和&x&
滑块相对于斜面的加速度 X&&。
分析力学作业讲解
第一章 低速宏观运动的基本原理
1
• 包括1 2 3 4 9 10 11 12题
2
1.设质点在势能场U(r)中运动，在笛卡尔坐
标系中写出其拉格朗日方程。
解：拉格朗日方程为：
d L L 0 dt q& q
L为拉格朗日函数
( 1, 2,3)
L T U
笛卡尔坐标中的坐标变量为 x1, x2, x3，那么
中运动，写出其那格朗日方程。
解：由柱坐标和笛卡尔坐标的关系可知
dr ed e d ezdz
等式两边同时除以dt
r& e & e & ez z&
那么，系统的动能为
T = 1 mr&2 1 m(&2 2&2 z&2 )
2
2
z
r z
y
x
6
那么，系统的拉格朗日为
所以
L T U = 1 m(&2 2&2 z&2 ) U ()
mx&i
x&i 0
带入拉格朗日方程
x&j
4
d dt
L q&
L q
d dt
mx&i
U xi
0
( 1, 2,3)
即有
m&x&i
U xi
( 1, 2,3)
这就是笛卡尔坐标系中的拉格朗日方程。
5
2.已知柱坐标 (,, z) 与笛卡尔坐标的关系是
x cos, y= cos, z z
如图1．设质点在轴对称势能场 U ()
连接点（B和D处），各棒之间可以无摩擦的
转动，C点上系有一重物W，C点和重物受到
约束，只能上下运动，设A点两棒之间的夹
角为 2 ,试用虚功原理求平衡时联结棒BD
中的张力 FT ，讨论的FT
方向 与 的大小的关系。
问：在什么情况FT 下 0
有
，说明其意义。
A l 2 l
2a
B
D
l
l
C
W
11
解：虚功原理
解：系统的拉格朗日函数为
x
L 1 m( X& x&cos )2 1 mx&2 sin2 O
2
2
X
1 MX&2 mgx sin
2
L mg sin L m cos (x&cos X&) mx&sin2
x
x&
L 0 X
XL& m(X& x&cos ) MX&
14
带入拉氏方程：
m cos (&x&cos X&&) m&x&sin2 mg sin
M
M
l
r
m
x3
l
dr
m x3
虚位移和实际位移的主要区别在于
➢虚位移之和约束有关。
➢实际位移除了和约束有关以外，还和物体 当前的运动状态有关。
10
4.长度同为l 的轻棒四根，相互连接成一个可
以无摩擦的改变顶角的菱形ABCD，AB和AD两
棒无摩擦的支于处于同一水平线上且相距2a
的两根钉上，BD之间用一根轻质棒连接，在
（a）求悬线和竖直线偏离 所对应的虚位移 r
（b）已知在这一时刻的角速度为 &，求经过 dt
时间后的位移 dr。问：当 dt 0时，dr 与 r
有何差别？
解： （a）在任意时刻，约
M
束所容许的位移为虚位移， 途中的小球，受到细绳的和 自身重力的约束，在这个时
l
m x3
刻，
8
小球只能围绕O点作圆周运动，当偏离角为