O“椭圆的切线方程”教学设计 马二中 向兵 一、教学目标 知识与技能：1、能根据已知条件求出已知椭圆的切线方程； 2、让学生可以运用研究圆的切线方程的方法类比到椭圆切线方程的研究。 过程与方法：尝试用椭圆的切线方程解决椭圆的切线性质问题。 情感态度与价值观： 通过对椭圆的切线方程问题的探究，培养学生勤于思考，勇于探索的学习精神。 二、教学重点与难点 教学重点：应用特殊化（由特殊到一般）方法解决问题。 教学难点：椭圆的切线方程的探究。 三、教学流程设计 (一）创设情境 复习：怎样定义直线与圆相切？

设计意图：温故而知新。由前面学习过的直线与圆相切引出直线与椭圆相切。定义做类比，都是“直线与其有且只有一个交点”来定义相切，从而通过解析法中联立方程组，消元，一元二次方程中的判别式等于零来解决。 (二）探究新知 基础铺垫：

问题1、已知椭圆22:182xyC与直线l只有一个公共点 （1）请你写出一条直线l的方程； （2）若已知直线l的斜率为1k，求直线l的方程；

（3）若已知切点(2,1)P,求直线l的方程；

（4）若已知切点5(3,)2P,求直线l的方程。 设计意图：（1）根据椭圆的特征，可以得到特殊的切线方程如22,2xy。先由特殊情况过渡到一般情况。切线确定，切点确定。 （2）已知斜率求切线，有两条，并且关于原点对称。利用斜截式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0。切线斜率确定，切线不确定。 （3）已知切点求切线，只有唯一一条。利用点斜式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0。由于切点是整数点，运算简洁。切点确定，切线确定。可总结由（2）（3）两道小题得到求切线方程的一般步骤：设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0。 （4）同（3）的方法，但是切点不是整数点，运算麻烦，学生运算有障碍，所以要引出由切点得到椭圆切线的一般方法。 问题一般化：

猜想：椭圆2222:1xyCab与直线l相切于点00(,)Pxy，则切线l的方程？ （椭圆的切线方程的具体求法，详情请见微课） 设计意图：类比经过圆上一点P(x0，y0)的切线的方程为200xxyyr进行猜想，培养学生合情推理的能力。由于具体的求解过于繁琐，思想方法同问题1，所以上课时没必要花费时间进行求解，做成微课方便学生课后时间自己解决。

探究：在椭圆中，有关切线问题，还可以求哪些量？ 例：已知圆的方程是x2 + y2 = r2，求经过圆上一点P(x0，y0)的切线的方程。

xy

OP

经过圆上一点P(x0，y0)的切线的方程为200xxyyr，且直线OP垂直于切线，所以，=-1opkk切线， 1.点与圆 设点P(x0，y0)，圆222()()xaybr则

点在圆22200()()xaybr， 点在圆上 22200()()xaybr， 点在圆外22200()()xaybr 由圆C方程及直线l的方程，消去一个未知数，得一元二次方程，设一元二次方程的根的判别式为Δ，则 l 与圆C相交0，

l 与圆C相切0，

l与圆C相离0

类比到圆中： 已知圆222:Cxyr与直线l相切于点00(,)Pxy，且点00(,)Pxy在第一象限，若直线l与x轴、y轴分别交于点BA、.

xy

OBA

P

结论（1）过点P的切线方程为200xxyyr； （2）OPAB1OPABkk；（可以用极限的思想理解，当椭圆中的ab

时，椭圆圆，所以221OPABbkka）

（3）过点P的切线方程为200xxyyr与x轴、y轴分别交于点BA、,20(0,)rAy，20(,0)rBx，所以00ABxky；（椭圆中2020ABbxkay也可理解为a趋于b时，ABk趋于00xy）

（4）2||||||2||||2||2ABAPBPAPBPOPr，当且仅当||||APBPr时，取“=”

由2014年高考题最后一道题 [2014·卷] 如图，设椭圆2222:1(0)xyCabab，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限. （1）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标； （2）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a－b.

如图，设椭圆2222:1(0)xyCabab，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限. （1）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标； yxO

P

(1)解：设直线l的方程为y＝kx＋m(k<0)，由

y＝kx＋m，

x2a2＋y2b2＝1，

联立消去y得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0. 由于l与C只有一个公共点，所以42222222244()()0akmambbak，化简

得2222makb(*)，解得点P的坐标为－a2kmb2＋a2k2，b2mb2＋a2k2. 又点P在第一象限，故222makb, 所以点P的坐标为22222222(,)akbPakbakb. （2）设点00(,)Pxy，且点00(,)Pxy在第一象限，用点P的坐标00,xy表示椭圆的切线方程；

(2)解：00(,)Pxy，则由（1）知2200222222,akbxyakbakb，

则可设过点P切线l的方程为00()yykxx消参得 22002200xbxakkybay代入00()yykxx得200020()bxyyxxay 化为整式222222220000ayybxxaybxab（因为点P在椭圆上，所以2222222200

0022

1xyaybxabab），

两边同除以22ab得椭圆的切线方程00221xxyyab，与圆的切线方程做类比，形式相仿。所以，过切点00(,)Pxy的椭圆的切线方程00221xxyyab. (3)连接OP，切线l的斜率为k切线，直线OP的斜率为OPk,求证=opkk切线定值；

(3)由（2）中所得的22002200xbxakkybay 又因为000000OPyykxx，所以22OPABbkka=定值 （与圆的=-1opkk切线做类比，可以用极限的思想理解，当椭圆中的ab时，椭圆加强为了圆，所以221OPABbkka）

问题2、已知椭圆2222:1xyCab与直线l相切于点00(,)Pxy，且点00(,)Pxy在第一象限，若直线l与x轴、y轴分别交于点BA、，求线段||AB的最小值。

xy

BA

OP

直线AB的方程设为,(0,),(,0)mykxmAmBk，则根据两点间的距离公式可得222

2||mABmk

，又因为前面根据直线和椭圆相切已求出2222makb(*)，代入可得

2222222222222222

222||()2()mbbABmakbaabakabababkkk

，线段||AB的最小值为ab.当且仅当22224222bbbakkkkaa时，取到“=”.下面再继续讨论“=”取到时的条件。 由前面已证过的22OPABbkka知，此时2323232000230OPybkbxayxa

2332232200002(1),xaabbxaaxxaab代入2320230OPybkxa得3

20

byab

，

所以可得到，22200||()PAxym222220000()(1)(1)bxkxkxxa，代入320,axab得2||PA32abaaaab



.||,||PAaPBb

问题3、已知椭圆2222:1xyCab与直线l相切于点00(,)Pxy，且点00(,)Pxy在第一象限，若直线l与x轴、y轴分别交于点BA、.若过原点O的直线l1与l垂直交与点D， 证明：||||PDAB定值.

y

xD

OA

BP

证明：由于过点P的切线l方程为00221xxyyab，直线l与x轴、y轴分别交于点BA、，所以2200(0,),(,0)baAByx，则442200||abABxy 由于直线l1过原点O且与l垂直，故直线l1的方程为x＋ky＝0，所以点P到直线l1的距离002||||1kyxPDk，前面已证过2020bxkay，代入得202222

02

000000

2424242440002242

000

||||||||||11bxxkyxaxybxyabaPDkbxaybxabxyay





22222||||||PDABababc

=定值（c为椭圆的半焦距）

问题4、如图，设椭圆2222:1(0)xyCabab，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限.若过原点O的直线1l与l垂直，证明：点P到直线1l的距离的最大值为ab.

y

xl1

lD

OP

证明：方法一、