“椭圆的切线方程”教学设计马鞍山二中刘向兵一、教学目标知识与技能：1、能根据已知条件求出已知椭圆的切线方程；2、让学生可以运用研究圆的切线方程的方法类比到椭圆切线方程的研究。
过程与方法：尝试用椭圆的切线方程解决椭圆的切线性质问题。
情感态度与价值观：通过对椭圆的切线方程问题的探究，培养学生勤于思考，勇于探索的学习精神。
二、教学重点与难点教学重点：应用特殊化（由特殊到一般）方法解决问题。
教学难点：椭圆的切线方程的探究。
三、教学流程设计(一）创设情境复习：怎样定义直线与圆相切设计意图：温故而知新。
由前面学习过的直线与圆相切引出直线与椭圆相切。
定义做类比，都是“直线与其有且只有一个交点”来定义相切，从而通过解析法中联立方程组，消元，一元二次方程中的判别式等于零来解决。
(二）探究新知 基础铺垫：问题1、已知椭圆22:182x y C +=与直线l （1）请你写出一条直线l 的方程；（2）若已知直线l 的斜率为1k =-，求直线l （3）若已知切点(2,1)P ,求直线l 的方程； （4）若已知切点P ,求直线l 的方程。
设计意图：（1）根据椭圆的特征，可以得到特殊的切线方程如x y =±=（2）已知斜率求切线，有两条，并且关于原点对称。
利用斜截式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0∆=。
切线斜率确定，切线不确定。
（3）已知切点求切线，只有唯一一条。
利用点斜式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0∆=。
由于切点是整数点，运算简洁。
切点确定，切线确定。
可总结由（2）（3）两道小题得到求切线方程的一般步骤：设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0∆=。
（4）同（3）的方法，但是切点不是整数点，运算麻烦，学生运算有障碍，所以要引出由切点得到椭圆切线的一般方法。
问题一般化：猜想：椭圆2222:1x y C a b+=与直线l 相切于点00(,)P x y ，则切线l 的方程（椭圆的切线方程的具体求法，详情请见微课）设计意图：类比经过圆上一点P(x 0，y 0)的切线的方程为200x x y y r +=进行猜想，培养学生合情推理的能力。
由于具体的求解过于繁琐，思想方法同问题1，所以上课时没必要花费时间进行求解，做成微课方便学生课后时间自己解决。
探究：在椭圆中，有关切线问题，还可以求哪些量例：已知圆的方程是x 2 + y 2 = r 2，求经过圆上一点P(x 0，y 0)的切线的方程。
经过圆上一点P(x 0，y 0)的切线的方程为200x x y y r +=，且直线OP 垂直于切线，所以，=-1op k k ⋅切线， 1.点与圆设点P(x 0，y 0)，圆222()()x a y b r -+-=则 点在圆内22200()()x a y b r -+-<， 点在圆上 22200()()x a y b r -+-=， 点在圆外22200()()x a y b r -+->由圆C 方程及直线l 的方程，消去一个未知数，得一元二次方程，设一元二次方程的根的判别式为Δ，则l 与圆C 相交0⇔∆>，l 与圆C 相切0⇔∆=， l 与圆C 相离0⇔∆<类比到圆中：已知圆222:C x y r +=与直线l 相切于点00(,)P x y ，且点00(,)P x y 在第一象限，若直线l 与x 轴、y 轴分别交于点B A 、.结论（1）过点P 的切线方程为200x x y y r +=； （2）OP AB ⊥∴1OP AB k k ⋅=-；（可以用极限的思想理解，当椭圆中的a b →时，椭圆→圆，所以221OP ABb k k a⋅=-→-）（3）过点P 的切线方程为200x x y y r +=与x 轴、y 轴分别交于点B A 、,2(0,)r A y ，20(,0)r B x ，所以00AB x k y =-；（椭圆中2020AB b x k a y =-也可理解为a 趋于b 时，AB k 趋于00xy -）（4）||||||2AB AP BP r =+≥==，当且仅当||||AP BP r ==时，取“=”由2014年浙江高考题最后一道题[2014·浙江卷] 如图，设椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限.（1）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；（2）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a－b.如图，设椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限.（1）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；(1)解：设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k <0)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，联立消去y 得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0. 由于l 与C 只有一个公共点，所以42222222244()()0a k m a m b b a k ∆=--+=，化简得2222m a k b =+(*)，解得点P的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－a 2km b 2＋a 2k 2，b 2m b 2＋a 2k 2.又点P在第一象限，故m = 所以点P的坐标为22(P .（2）设点00(,)P x y ，且点00(,)P x y 在第一象限，用点P 的坐标00,x y 表示椭圆的切线方程；(2)解：00(,)P x y ，则由（1）知2200x y ==，则可设过点P切线l 的方程为00()y y k x x -=-消参得22002200x b x a kk y b a y =-⇒=-代入00()y y k x x -=-得200020()b x y y x x a y -=-- 化为整式222222220000a y y b x x a y b x a b +=+=（因为点P 在椭圆上，所以222222220000221x y a y b x a b a b+=⇒+=）， 两边同除以22a b 得椭圆的切线方程00221x x y ya b+=，与圆的切线方程做类比，形式相仿。
所以，过切点00(,)P x y 的椭圆的切线方程00221x x y ya b+=.(3)连接OP ，切线l 的斜率为k 切线，直线OP 的斜率为OP k ,求证=op k k ⋅切线定值；(3)由（2）中所得的22002200x b x a kk y b a y =-⇒=-又因为000000OP y y k x x -==-，所以22OP AB b k k a⋅=-=定值 （与圆的=-1op k k ⋅切线做类比，可以用极限的思想理解，当椭圆中的a b =时，椭圆加强为了圆，所以221OP ABb k k a⋅=-→-）问题2、已知椭圆2222:1x y C a b+=与直线l 相切于点00(,)P x y ，且点00(,)P x y 在第一象限，若直线l 与x 轴、y 轴分别交于点B A 、，求线段||AB 的最小值。
直线AB 的方程设为,(0,),(,0)my kx m A m B k=+-，则根据两点间的距离公式可得2222||m AB m k=+，又因为前面根据直线和椭圆相切已求出2222m a k b =+(*)，代入可得2222222222222222222||()2()m b b AB m a k b a a b a k a b ab a b k k k =+=+++=+++≥++=+，线段||AB 的最小值为a b +.当且仅当22224222b b b a k k k k a a=⇒=⇒=时，取到“=”.下面再继续讨论“=”取到时的条件。
由前面已证过的22OP ABb k k a ⋅=-知，此时2323232000230OP y b k b x a y x a==⇒=2332232200002(1),x a a b bx a ax x a a b=-⇒=-⇒=+代入2320230OPy b k x a==得320b y a b=+，所以可得到，22200||()PA x y m =+-222220000()(1)(1)b x kx k x x a=+=+=+，代入320,a x a b =+得2||PA 32a b a a a a b+=⋅=+.||,||PA a PB b ∴==问题3、已知椭圆2222:1x y C a b+=与直线l 相切于点00(,)P x y ，且点00(,)P x y 在第一象限，若直线l 与x 轴、y 轴分别交于点B A 、.若过原点O 的直线l 1与l 垂直交与点D ， 证明：||||PD AB ⋅=定值.证明：由于过点P 的切线l 方程为00221x x y ya b+=，直线l 与x 轴、y 轴分别交于点BA 、，所以2200(0,),(,0)b a A B y x ，则||AB =由于直线l1过原点O 且与l 垂直，故直线l 1的方程为x ＋ky ＝0，所以点P 到直线l 1的距离||PD =2020bx k a y =-，代入得20222202||||b x x PD -+====22222||||||PD AB a b a b c ∴⋅=-=-==定值（c 为椭圆的半焦距）问题4、如图，设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限.若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P到直线1l 的距离的最大值为a b -.证明：方法一、由于直线l 1过原点O 且与l 垂直，故直线l 1的方程为x ＋ky ＝0，所以点P 到直线l 1的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2k b 2＋a 2k 2＋b 2k b 2＋a 2k 21＋k2， 整理得d ＝a 2－b 2b 2＋a 2＋a 2k 2＋b2k2. 因为a 2k 2＋b2k2≥2ab ，所以a 2－b 2b 2＋a 2＋a 2k 2＋b 2k2≤a 2－b 2b 2＋a 2＋2ab＝a －b ， 当且仅当k 2＝ba时等号成立．所以，点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b .方法二、由前面证过的问题2与问题3的结论，线段||AB 的最小值为a b +，2222||||||PD AB a b a b ∴⋅=-=-=定值，可得点P 到直线l 1的距离||PD 的最大值为a －b .。