等比数列的概念与性质
一、知识归纳
1. ________________________________________________________________ 等比数列的概念：一般的，____________________________________________________________ ，那么这个数列
叫做等比数列，这个常数叫做，公比通常用字母q表示。
即
a n J
2. 若a,G,b成等比数列，则G叫做a与b的___________ 。
此时G=_____________ .
3. 等比数列的通项公式为： __________________________ 。
4. 首项为正数的等比数列的公比q =1时，数列为 ___________ 数列；当q ：：： 0时，数列为
数列；当0 ：：：q ::: 1时，数列为___ 数列；当q时，数列为_______________ 数列。
5. 等比数列性质：
在等比数列｛a.｝中，若m • n二P q ,则a m a^a p a q
6. 等比数列的前n项和
当q =1 时，S n 二_____________ ；
当q =1 时，S n 二_______________ .
7用函数的观点看等比数列：
（1）等比数列的通项公式是 ____________
二、经典题目
1、判断正误：
① 1，2，4，8，16是等比数列；
1 1 1
②数列1, — ,,，…是公比为2的等比数列;
2 4 8
a b .
③若，则a,b,c成等比数列；
④若= n n • N ，则数列On 成等比数列; a n
⑤0,2,4,8,16 是等比数列；
2.判断下列数列玄［是否为等比数列：
（1）a n =（-1 厂（W N* ；
（3）a n= n 2n,n N*
（）
（）
（）
（）（）.
⑵ a n+2 n：N* ；
（4）a n 二-1,n N*
思考：如何证明（判断）一个数列是等比数列？
3•已知等比数列3°,32,3,||(.
(1)试问：3n 1和9n分别是该数列的第几项？
(2)乘积3n 1 9n是该数列的项吗？如果是，它是该数列的第几项?
4•各项均为正数的等比数列｛a n｝中，a1 = 3,3)+a2+a3 = 21,则a3 + a4+a s= _________.
5.已知\a n为等比数列，且a3 =2,a2• a4 =—，求的通项公式。
3
1
6•在等比数列右n ｝中，已知Q=1,a4= -，则该数列的前10项和等于。
8
7. 已知等比数列a f的前10项和为So =10，前20项和为S20 = 30，求S30
8•等差数列｛a n｝中，q =2,公差不为零，且a1,a3,不恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列的公比等于________
2
9.(2012辽宁)已知等比数列｛a n｝为递增数列，且a s =a10, 2@n • a n .2) = 5a n 1,则数列｛a.｝的
通项公式a n = ________ .
10. (2012浙江)设公比为q(q 0)的等比数列｛a.｝的前n项和为S n ,若
S2=3a2+2,S4 =3a4+2，贝V q =____ .
111
11. 已知数列｛a n｝是公比为2的等比数列，若a3- a^ 6,则= ___________ ，-^+=+=+11 +
12.已知等比数列'a的前n项和Si = 2n-1，求数列'a；』的前n项和T n。
13.已知等比数列的前n项和为s n=4n+a，则a的值为等于___________
14.已知数列｛a n｝是各项均为正数的等比数列，且a1 a^2(- —),a3 a^ 32(丄—).
a? a3 a4 (1)求数列｛a n｝的通项公式；
⑵设b n =a；log2a n,求数列｛b n｝的前n项和T n.
15•已知｛a n｝是公比大于1的等比数列，S n为其前n项和，且a^2,S^ =7。
(1)求数列｛a n｝的通项公式a n ；
* 1 、
(2)设b n = log 2 a n s( n • N )，求数列｛｝的前n 项和T n。
b n 6卅
16. 在等比数列〈aj中，已知a n> 0, a2a4 + 2a3a5+ a4a6 = 25，贝U a^ a^ ______ .
17. 各项均为正数的等比数列faj中，若a4、a® a§三项之积为27.
贝V log 3 Q 十log 3 a^ log 3 a$ + log 3 a g =—.
18. ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 已知等比数列、a n f，若a a2• a3 = 7, a-i a2a^= 8，则a n = --------------------------------------------------------
19. 若数列faj是各项都为正数的等比数列，它的前n项和为80,其中数值最大的项为54, 前2n项和为6560,试求数列:a/?的首项与公比。
20. 数列也［的前n 项和为S n，a =1,S n 1 =4a n • 2,n N*.
(1)设0 = a n 1 -2a n ,求证:｛b n｝是等比数列；
a
⑵设C n —,求证:｛C n｝是等比数列.
3n —1
21. (1)求2 1与,2 -1的等比中项是------；
(2)等比数列的前三项和为168, a2-a5=42，求a5、a7的等比中项。
22. 某市共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2007年投入128辆电力型公交车，随后
电力型公交车每年的投入比上一年增加50%试问：
(1)该市在2013年应该投入多少辆电力型公交车？
3
1
(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的
7.已知等比数列｛a *｝的前n 项和为
1
，贝U X 的值
为（
6 1
L
2
512,如果中间一个数加上
n -1
1 2
2,则成等差数列，那么这三个数
A 1
D
1 A -
B
3
3
8. 三个数成等比数列，它们的积为 依次为（ ）。
A 4,8,16
B 16,8,4
C 4,8
9. 一个蜂巢里有一只蜜蜂， 第一天它飞出找回了 5个伙伴，第二天6只蜜蜂飞出去各找回了 5
个伙伴，…，如果这个找伙伴的过程继续下去，第 6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中共有
蜜蜂（）只。
A 55 986 B 46 656 二、填空题
，16 或 16,8,4 D
以上都不对
C 216
D 36
课后作业
2a + a
1.设a i 、a 2、a 3、a 4成等比数列，其公比为
2,则
1
一-的值为（）。
2a 3 a 4
A 1
C
1 A
B
C
1
D 1
4
2
8
9
2.若等比数列的首项为
9
，末项为 1
1
，公比为 2
2
，则这个数列的项数为（ ）。
8 3 3
A 3
B 4
C 5
D 6
3.设｛a n ｝是由正数组成的等比数
列，
公比q 二 2 ,且玄凤玄彳111 a 30 =
30 2 ,则 aaa 9 a 3
=()
A 210
B
220
C
2
15
D
216
A ｛a ；｝ 是等比数列
1
｛—｝是等比数
列
C ｛lg a n ｝是等差数列 ｛lg | a n |｝是等差数列
6.某工厂生产总值连续两年的年增长率依次为 p%、q%，则这两年的平均增长率是（ A P% q%
2
p% q%
C (1 p%)(1 q%)
(1 p%)(1 q%) -1
4. 一直角三角形三边边长成等比数
列，
则（）。
A三边边长之比为3: 4: 5B
三边边长之比为
1：
.3:3
C较少锐角正弦值为5 _1
D较大锐角正弦值为
• 5—1 22
5.在数列｛a n｝中，a n = q,(q = 0)，则下列结论不恒成立的是（）。
10. 已知各项都为正数的等比数列的任何一项都等于它后面相邻两项的和，则该数列的公比
q = __ 。
11. 设等差数列｛a n｝的公差d不为0, a i =9d,若a k是a i与a2k的等比中项，贝U k二_______ 。
12. 满足1 3 3^|l 3n 10000的最小自然数.
13. 已知等比数列｛a n｝中，a n .0®、a99为方程X2_10X T6=：0的两根，则a2°a5°a80的值
为_________ .。