等比数列的概念公开课ppt
合作交流
例3、等比数列 { a n } 中, a 4 · a 7 = -512,a 3 + a 8 = 124,
法公一比:q直为接整列数方,程求组求a 10.a 1、q。
法二:在法一中消去了 a 1,可令 t = q 5
法三:由 a 4 · a 7 = a 3 · a 8 = -512 a32 124a3 512 0 a3 128或a3 4
临沂四中高二数学组
旧知回顾
名称 概念
等差数列
从第2项起,每一项与它前
一项的差等同一个常数
常数
公差(d)
性质
d可正可负,且可以为零
通项
an a1 (n 1)d
通项 变形
an
ak
(n k)d
(n, k N * )
创设情景,引入新课
(1)“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”
(2) 一位数学家说过:你如果能将一张 纸对折38次,我就能顺着它在今天晚上爬 上月球。
9
3
解:设它的第一项是 a ,则由题意得 1
a1
(
1 )51 3
4 9
解得, a1 36
答:它的第一项是36 .
(2)一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项.
解:设它的第一项是
a ,公比是 1
q
,则由题意得
a1q 10 , a1q 2 20
解得, a1 5 , q 2
5(,4)… 1,-1,1,-1, 1(5,)… 1,0,1,0,1,…
是,公 比q= -1
不是等比数列
(6) 0,0,0,0,0,…
不是等比数列
(7) 1, x, x2, x3, x4, (x 0) 是,公比 q=
x
对概念的更深理解
an1 q(是与n无关的数或式子 ,且q 0) an
2
方法一:叠乘法
方法二:归纳法
a2 q
a1
a3 q a2 a4 q
…a3 …
(n-1)个 式子
an q
an1
a2 a1q
a3
aa12qq2
(a1q)q
a4 a3q (a1q2 )q
a1q3
……
an a1
qn1
an a1qn1
等比数列的通项公式
a 等比数列 an ,首项为 1,公比为q,则通项公式为
a 0 时,既是等差数列 又是等比数列;
(6) 0,0,0,0,…
a 0 时,只是等差数列
而不是等比数列.
等差数列通项公式的推导: an an1 d
方法一:(叠加法)
a2 a1 d
a3 a2 d
a4
…
a3…
d
(n-1)个 式子
an1 an2 d
an an1 d
an a1 qn1
当q=1时,这是 一个常函数。
an 0
变形结论:
在等差数列 an 中
an am (n m)d
(n, m N* )
试问:在等比数列 an 中,如果知道 am和公
比q,能否求 an ?如果能,请写出表达式。
an amqnm (n, m N* )
an a1 (n 1)d
方法二:(归纳法)
a2 a1 d
a3 a2 d
(a1 d ) d
a1 2d
a4 a3 d
(a1 2d) d
…a1
3d
…
an a1 (n 1)d
an 等比数列通项公式的推导:an1
qn
a 解:设这个等比数列的第1项是
那么
1
a q2 12
1
,公比是q ,
a q3 18 1
解得,
q3 2
16
,
a 1
3
因此 a a q 16 这个数列的第1项与第2项分别是 与 8.
3
课堂互动
(1)一个等比数列的第5项是 4,公比是 1 ,求它的第1项;
每一项与它的前一项的 差 等于同一个常
数,那么这个数列就叫做等差数列 ,这个
常数叫做等差数列的公差(d)。
课堂互动
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1)
1,3,9,27,81,… 是,公比
(2) 1 , 1 , 1 , 1 ,
2 4 8 16
q=3
是,公比
q=
1
2
(3) 5,5,5,5,5,
是,公比 q=1
a1 q1n1 b1 q2n1与a1 q1n b1 q2n
即为 a1b1(q1q2 )n1与a1b1(q1q2 )n
an1 an
bn1 bn
a1b1(q1q2 )n a1b1(q1q2 )n1
q1q2 .它是一个与n无关的常数,
所以 an bn 是一个以 q1q2 为公比的等比数列
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2020/1/13
等比中项的定义
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成 等比数列,那么G就叫做a与b的等比中项
在这个定义下,由等比数列的定义可得
Gb 即 aG G2 ab
G ab
等比数列的通项公式练习
课后练习P53 A1 , 7
典型例题
例1 一个等比数列的第3项与第4项 分别是12与18,求它的第1项与第2项.
因此 a4 a1q3 40 答:它的第一项是5,第4项是40.
等比数列的例题
例2 已知 an ,bn 是项数相同的等比数列, 求证 an bn是等比数列.
证明:设数列an 首项为a1,公比为q1;bn 首项为b1,公比为q2 那么数列 an bn的第n项与第n+1项 分别为:
以上两个实例所包含的数学问题:
(1)
1 ,1 2
,1 ,1 48
1
,
16
,…
(2) 1 ,2 ,4 ,8 ,16 ,32 ,…
等比数列概念
等比数列
一般地,如果一个数列从第2项起,
每一项与它的前一项的 比 等于同一个
常数,那么这个数列就叫做等比数列 ,这
个常数叫做等比数列的公比(q)。
等差数列
一般地,如果一个数列从第2项起,
aa38
1. 各项不能为零,即 an 0
(1) 1,3,9,
2. 公比不能为零,即 q 0
2(27),…1 , 1 , 1 , 1 , 3. 当q>0,各项与首项同号
2 4 8 16
(3) 5(,4)… 1,… (5)
5, 5, 5, 1,-1,1,1,0,1,0,…
当q<0,各项符号正负
4相.间数列 a, a , a , …