柯西不等式的变形公式的妙用 柯西不等式晌丝形公式的她用 湖北省襄阳市第一中学王勇龚俊峰441000 柯西不等式具有对称和谐的结构,应用的关键在 于抓住问题的结构特征,找准解题的正确方向,合理 地变形,巧妙地构造.作为新课程的选修内容,柯西不 等式(简记为"方和积不小于积和方")在数学的多个 领域都有着广泛的应用.课堂教学中,笔者与学生共 同探究了柯西不等式的一个变形公式的应用,方便快 捷,妙不可言,达到了化难为易,化繁为简,化陌生为 熟悉的目的. 柯西不等式的变形公式:设a,n,…,a为实 数,b,bz,…,为正数,则等+薏十…+筹≥ b1+62+…+ 等号. , 当且仅当一薏一?一时取 址明:田tⅡJ四个寺瓦,侍 ((22十~t2+…+等)(64.b24.…+) ()+(老)+..?+(老).][c,z +()4-…+()!] ≥(.+老'+...+老.) 一(口l十以2+…+甜). . . .bl,b2,…～b为正数,...bl4"b24-…+>O, . ? . 鲁+譬+…+譬≥. 当且仅当一-...一卿一… 时取等号. 下面分类例析,旨在探索题型规律,揭示解题 方法. 1在代数中的妙用 例1设n,b,C均为正数,且不全相等,求证: ++>. 证明:由柯西不等式的变形公式,得 ++一:一 04.b6+f.f+n2(a+6).2(bq-一c) l2 .2(c+a) ,(2+2+2)0 2(n+6)+2(64-c)+2(f+0) 4(a+6+f) 一 —— a4"b4"c' 当且仅当一一,即6 —6+f:f+n,亦即a~b=c时,上述不等式取等号. 因题设a,b,c不全相等,于是9l_+赢9+?) 0 >? ._..I◆

点评:将十+变形为+ 十,为应用柯西不等式的变形公式创十,为应用柯西不等式的变形公式创 造了条件.本题注意阐明等号取不到的理由. 例2若(z,b,cE(0,1),满足ab+bc+ca=1,求 ++的最/J,值. 解析:由柯西不等式的变形公式,得 .—1_—L一_—L 1一a1一b.1一c izl1I1 1一.1一厅'1一f ≥导 9 3一(n+6+C)' 而n+6+c≥+bc+cn, . ' .n2+b2+c+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca), nO(口+6+f)z≥3×1,亦即日+6+c≥. . ? . 上 1--a ++≥-3"--- 9_ (a+b+c)≥'.——十十 3一 3(3+43)一————一' 当且仅当一6一c一每时,上述几个不等式同时 取等号. . ? . 上+—l_+l_的最小值为旦一1一 n1—6.1一C2 点评:将++变形为12+12 +}是求解的基础.后续所用到的n+6.+c≥"6 +6c+及(n+6+c)≥3(a6++∞)是常用的重 要结论,应切实掌握. 例3已知实数n,b,C,d满足,"++c+一3, a+2bz+3c+6d.一5,试求n的取值范围. ● 分析:分离参数n,利用柯西不等式的变形公式 把方程化为关于参数n的不等式,解不等式即可. 解析:由已知得,6+f+一3一口.2+3c2-6d 一5一n. 由柯西不等式的变形公式,得 5--az=2b.+3c+6d一Tb2十Tc2十Td2 百百 ≥6+升' . ' . 5一n≥(3--a),解得l≤&≤2. . ' .n的取值范围为[1,2]. 例4已知-z,,∈R+,求证:+ +z百3? 证明:令-T++—,则 x v十z ~y+zx+2y+zx+y+一2z一生t+x+ 2z+十z tY+案t十十2 一s…(+南+). 由柯西不等式的变形公式,得 +南+=+焉+ ～ (1+1+1)一 9 干F而干(￡+)一4t' . ? . 上 2x+y+z+i+上2y+z++y+2z≤3一￡'4t.'I z . 3一9一 _ 3 . 点评:本题先用换元法将所证不等式的左边进行 变形,为下一步活用柯西不等式的变形公式奠基.本 题有一定的难度,极富思考性和挑战性. 2在三角中的妙用 例5若口,』9,y均为锐角,且满足COSd+co十 COS.y一1, 求证:cOtZa十c.+cot2号. 证明:要证cot2a+c.t+c.t2号, 只需证冬+嚣+,≥导, sin ++ sin≥号,口slJyZ 靴+十南≥詈. 由cosg-~-cos/~-}-COS),一1易得sina+sin.口+ sin2),一2. 由柯西不等式的变形公式,得 ++南++ ,(1+1+1).9 ~- sin2a+sin2fl+sin27--2' . ' . 原不等式成立. 点评:本题联袂使用切割化弦法,分析法及柯西 不等式的变形公式等方可圆满解决. 例6设a,I9,y∈(o,号),且sin2.+sin2/?+ sin27—1, 求证:+曼 slny + slna 1. Sln. 证明:由柯西不等式的变形公式,得 上上曼i出 slnsin)'slno: 一— (sin— 2 a)2_L!:4-一 (sin27)2 sinasinfl.sin/5'sin7'sln)'s1'1~ ,!±sin2垒±sz),/ simsi+siiny+sinySim sinasinp+sin~sinT+sinTsina' 当且仅当==时取等号. 又..sinZa+sinZfl+sin2),sinasinfl+sinflsin?, - t-smTsma, 一 0%sirasisirCsin),+sinysir~≤1, 故所证不等式成立. 点评:本题将+巫 sin?,+变形为蔷 ++是破解问题的突破口,辅之重要 结论口+6+f2~ab+bc+ca的应用,可实现第二次 放缩而得证. 例7已知a,均为锐角,且寒+一1,:求 证:+卢一号. 证明:由柯西不等式的变形公式,得 — COS— 4 ot4-— sin— 4 a一(cos口)l(sin2)\ sin2fl.c0s.卢～sin2fl'/ (COSa+sin~a) sin+cos0 上式岢矾~兀贾尔什足COS20t一sinea , 注意到a,均为锐角, 所以簧摹cOc0一simsin ? ' ?cos(a+/~)一c0co--sinasin~=0, 又O<a+fl<u, ?a+8一专. 点评:利用柯西不等式的变形公式并灵活应用取 等条件可以使许多数学问题的解决变得犹如囊中取 物,易如反掌. 例8设n,6是非零实数,zER,且曼+兰 以0 上 00+6' 求喾+譬的值. 解析:由柯西不等式的变形公式,得 ..?..I◆ sinz.COS-T(sin2z)I(cos.Iz) n2.b2n62 ≥"2+b2' 上式等号成立的充要条件是一COSzaT 令sinax一COS2:27一是, 则是一—sin2x~丽co—s2x 1 口0+b' 所以 上— (COS2— X)1004 beOO .COS..z(sin2)1004 6..0n0.. (n是)...(是). 一■十— 一k(a+b)一 11003 ×(口+6)( n十b.)1004一 (&+b2)' 点评:用柯西不等式的变形公式的取等条件解决 一 些技巧性较强的竞赛试题,可收到一招制胜之 奇效. 3在几何中的妙用 例9如图1所示,等腰 直角三角形AOB的一直角边 为1,在此三角形内任取点P, 过P分别引三边的平行线,与 各边围成以P为顶点的三个0 三角形(图中阴影部分),求这图l 三个三角形的面积和的最小 值以及达到最小值时P点的位置. 分析:首先建立直角坐标系,然后建立三个三角 形的面积和S与,的函数关系式,最后利用柯西 不等式的变形公式求最值. 如图2所示的直角坐标系, 则AB所在直线的方程为 z+一1,记P点坐标为P (zr,yP),则以P为公共顶 点的三个三角形的面积和 s—1zP2 121 图2 (1--32p--yp). 由柯西不等式的变形公式,得 s一譬+誓+ ≥ 一 上 6' 当且仅当警一号一时,等号成立,即 一 , 一 专时,面积和s最小,且最小值为s 1 R' 所以三个三角形的面积之和的最小值为{,此 时点P到两直角边的距离均为{. 点评:解此题的关键是用P点的坐标表示出三 个三角形的面积.观察图形,可以看出:靠近轴的等 腰直角三角形的直角边长为Y,靠近Y轴的等腰直